Ακρότητες ... μεγαλύτερων

KARKAR · #1

: Ακρότητες 2.png (11.28 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Σημείο

κινείται επί του θετκού ημιάξονα

. Η ευθεία που διέρχεται από το

και το

τέμνει την ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση : y=ax ,

με $a>0 , x\geq 0$ , στο σημείο

, σχηματίζοντας το τρίγωνο SOT

.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή

του

, δείξτε ότι αυτή επιτυγχάνεται όταν t=m

και δώστε μιαν εξήγηση , αυτής της ευχάριστης "σύμπτωσης".

( φυσικά το

του εμβαδού είναι τετραγωνικές μονάδες , ενώ του

τρέχουσες μονάδες )

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ακρότητες 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί του θετκού ημιάξονα . Η ευθεία που διέρχεται από το

και το τέμνει την ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση :

με $a>0 , x\geq 0$ , στο σημείο , σχηματίζοντας το τρίγωνο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του , δείξτε ότι αυτή επιτυγχάνεται όταν

και δώστε μιαν εξήγηση , αυτής της ευχάριστης "σύμπτωσης".

( φυσικά το του εμβαδού είναι τετραγωνικές μονάδες , ενώ του τρέχουσες μονάδες )

Καλημέρα!

: Ακρότητες...μεγαλύτερων.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

● Έστω $t\ne p$
Αν $\displaystyle{\frac{1}{{p - t}} = a}$ , τότε η

είναι παράλληλη με την ευθεία y=ax

. Για να τέμνονται στο πρώτο τεταρτημόριο

θα πρέπει να είναι t>p

, ή αν είναι p>t

, τότε: $\displaystyle{\frac{1}{{p - t}} > a > 0 \Leftrightarrow t > \frac{{ap - 1}}{a}}$

Η ευθεία $\displaystyle{PT:y = \frac{1}{{p - t}}(x - t)}$ τέμνει την y=ax

στο σημείο $\displaystyle{S\left( {\frac{t}{{1 - ap + at}},\frac{{at}}{{1 - ap + at}}} \right)}$

$\displaystyle{(OST) = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{t}{{1 - ap + at}}}&{\frac{{at}}{{1 - ap + at}}} \\ t&0 \end{array}} \right|| = \frac{{a{t^2}}}{{2(1 - ap + at)}}}$ και με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκουμε ότι παρουσιάζει

ελάχιστο για $\displaystyle{t = m = \frac{{2(ap - 1)}}{a}}$ ίσο με $\boxed{{(OST)_{\min }} = m}$

● Αν τώρα t= p

τότε έχουμε $\displaystyle{(OS'T') = \frac{{a{p^2}}}{2}}$ . Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{m \leqslant \frac{{a{p^2}}}{2}}$

Πράγματι: $\displaystyle{\frac{{2(ap - 1)}}{a} \leqslant \frac{{a{p^2}}}{2} \Leftrightarrow {a^2}{p^2} - 4ap + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow {(ap - 2)^2} \geqslant 0}$

KARKAR · #3

: Ακρότητες 2.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Μια αντιμετώπιση , η οποία απαντά και στο 2ο ερώτημα , είναι με χρήση του λήμματος

ότι το (SOT)

ελαχιστοποιείται , όταν το

είναι μέσο της

. Βλέπε εδώ .

Αυτόματα τώρα , το

είναι η τομή της ημιευθείας y=ax

με την

,

δηλαδή το $S(\dfrac{2}{a},2)$ . Εύκολα πλέον βρίσκουμε το $T(\dfrac{2(ap-1)}{a},0)$ ,

του οποίου η τετμημένη ισούται ( αριθμητικά ) με το ελάχιστο εμβαδόν !

Ακρότητες ... μεγαλύτερων

Ακρότητες ... μεγαλύτερων

Re: Ακρότητες ... μεγαλύτερων

Re: Ακρότητες ... μεγαλύτερων

Μέλη σε σύνδεση