Καθετότητα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Απρ 11, 2016 7:03 pm

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD . Ο κύκλος διαμέτρου AB τέμνει τις ευθείες CA, CB, DA και DB στα σημεία E, F, G και H, αντίστοιχα (όλα διαφορετικά των A και B.) Οι ευθείες EF και GH τέμνονται στο σημείο I . Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας \angle GIF είναι κάθετη στην ευθεία CD.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 11, 2016 8:22 pm

socrates έγραψε:Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD . Ο κύκλος διαμέτρου AB τέμνει τις ευθείες CA, CB, DA και DB στα σημεία E, F, G και H, αντίστοιχα (όλα διαφορετικά των A και B.) Οι ευθείες EF και GH τέμνονται στο σημείο I . Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας \angle GIF είναι κάθετη στην ευθεία CD.
Είναι πολύ βαρύς ο φάκελος για το θέμα αυτό στο οποίο φυσικά ο (δεύτερος) κύκλος αρκεί να διέρχεται από τα A και B χωρίς κατ' ανάγκη η AB να είναι διάμετρός του.
Προτείνω να το αφήσουμε για λίγο στους μαθητές της Α' Λυκείου μιας και έχουν "φράσκια" την ύλη των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 17, 2016 11:35 pm

socrates έγραψε:Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD . Ο κύκλος διαμέτρου AB τέμνει τις ευθείες CA, CB, DA και DB στα σημεία E, F, G και H, αντίστοιχα (όλα διαφορετικά των A και B.) Οι ευθείες EF και GH τέμνονται στο σημείο I . Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας \angle GIF είναι κάθετη στην ευθεία CD.
1.png
1.png (35.54 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές
Έστω \left( O \right) ο περίκυκλος του τετραπλεύρου ABCD και \left( K \right) τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα A,B . Τότε DC αντιπαράλληλη της AB
(από το εγγεγραμμένο στον \left( O \right) τετράπλευρο ABCD ) και AB αντιπαράλληλη της GF (από το εγγεγραμμένο στον \left( K \right) τετράπλευρο ABFG ), άρα \boxed{DC\parallel GF}:\left( 1 \right) .

Είναι \angle FGI\mathop = \limits^{H,G,F,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle FBH \equiv \angle CBD\mathop = \limits^{A,B,C,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle CAD \equiv EAG\mathop = \limits^{G,F,E,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle IFG \Rightarrow \vartriangle IGF ισοσκελές

οπότε η διχοτόμος της γωνίας \angle GIF θα είναι και ύψος του δηλαδή κάθετη στην GI και από τη σχέση \left( 1 \right) κάθετη και στην DC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης