Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Με αφορμή το Θέμα αυτό

Αξιοσημείωτες συνευθειακότητες..png (36.5 KiB) Προβλήθηκε 2803 φορές

Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι:

i) Το ισοτομικό του έγκεντρου του τριγώνου το σημείο (Gergone), το σημείο (Nagel) και το ισοτομικό σημείο του ορθοκέντρου του είναι συνεθευθειακά.

ii) Το (βαρύκεντρο του ) είναι σημείο της ευθείας που συνδέει το και το και χωρίζει το τμήμα σε λόγο

iii) Η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο του και το ισοτομικό του σημείο περιέχει το ισοτομικό σημείο του κέντρου του κύκλου Euler του .

Στάθης

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Επαναφορά

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Με αφορμή το Θέμα αυτό
Αξιοσημείωτες συνευθειακότητες..png
Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι:

i) Το ισοτομικό του έγκεντρου του τριγώνου το σημείο (Gergone), το σημείο (Nagel) και το ισοτομικό σημείο του ορθοκέντρου του είναι συνεθευθειακά.

ii) Το (βαρύκεντρο του ) είναι σημείο της ευθείας που συνδέει το και το και χωρίζει το τμήμα σε λόγο

iii) Η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο του και το ισοτομικό του σημείο περιέχει το ισοτομικό σημείο του κέντρου του κύκλου Euler του .

Στάθης

Καλησπέρα και Καλές Γιορτές σε όλους

Κάνω μία αρχή αποδεικνείοντας το α) και θα δω αργότερα τί μπορώ να κάνω με τα υπόλοιπα:

Αρχικά η συνευθειακότητα των έχει αποδειχθεί εδώ οπότε αρκεί να δείξω ότι συνευθειακά.

Capture3.PNG (71.09 KiB) Προβλήθηκε 2103 φορές

Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου με τις αντίστοιχα και διχοτόμοι των .
Έστω οι προβολές των στις και οι τομές των με τις αντίστοιχα.Έστω οι τομές των με τις αντίστοιχα.
Είναι

Έτσι ο διπλός λόγος

Όμοια θα είναι
Επειδή οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους και κοινή ακίνα την ,έτσο πρέπει συνευθειακά ως τομές των ομόλογων ακτίνων τους.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

195.PNG (78.14 KiB) Προβλήθηκε 1986 φορές

Κάνω το iii μια και που το ii υπάρχει εδώ.
Έστω οι προβολές των στις αντίστοιχα.
Έστω και

Από το λήμμα εδώ έχουμε ότι .Αν η ακτίνα του περίκυκλου του ισχύει ότι ,από νόμο ημιτόνων στο έχουμε ότι

Είναι

Επειδή η σχέση Steiner δίνει

Άρα

Οπότε ο διπλός λόγος είναι συμμετρικός ως προς τα άρα λόγω συμμετρίας θα ισούται με τον και όπως στο προηγούμενο ερώτημα αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Απέδειξα μια ακόμη ενδιαφέρουσα συνευθειακότητα :

Δείξτε ότι σε τρίγωνο το σημείο ,το βαρύκεντρο και το ισοτομικό του ορθόκεντρου είναι σημεία συνευθειακά και μάλιστα .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Επίσης !......:Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο το ισοτομικό του σημείου ανήκει στην ευθεία που ενώνει το ορθόκεντρο με το ισοτομικό του ορθόκεντρου (σε αυτήν την ευθεία ανήκει και το ισοτομικό του περίκεντρου!).

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Δύο ακόμη:
Σε τρίγωνο να δειχθεί ότι :

• Το σημείο ,το ισογώνιο του ισοτομικού του και το περίκεντρο είναι σημεία συνευθειακά.

• Το έκκεντρο ,το ισογώνιο του και το περίκεντρο είναι συνευθειακά .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Πρόδρομε,

Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα

Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά"

Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου

Μπράβο σου !!!!

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Πρόδρομε,

Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα

Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά"

Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου

Μπράβο σου !!!!

Σας ευχαριστώ κύριε Στάθη! Έχω ξεκινήσει να τις συγκεντρώνω σε ένα ,συνεχίζω με άλλη μία ενδιαφέρουσα (ίσως να είναι γνωστή πρόταση ,εώς τώρα δεν έχω βρει κάτι):

199.PNG (27.79 KiB) Προβλήθηκε 1779 φορές

Έστω τρίγωνο , το σημείο επαφής του έγκυκλου με τον κύκλο , το ορθόκεντρο , το βαρύκεντρο, το σημείο και το σημείο .

• α) Να δείξετε ότι τα είναι συνευθειακά, όπου το ισογώνιο σημείο του .

• β) Να δείξετε ότι τα είναι συνευθειακά όπου το ισογώνιο σημείο του