Μεσογειάδα 2008 (γεωμετρία)

#1

Έστω c ο παρεγεγγραμμένος κύκλος τριγώνου ΑΒC με κέντρο το Ι, ο οποίος εφάπτεται της BC στο D και των προεκτάσεων των AC, AB στα Ε,Ζ αντιστοίχως. Η ED είναι κάθετη στην ΑΒ και την τεμνει στο Η. Η ZF είναι η κάθετη από το Ζ προς την ΗΙ την οποία τέμνει στο F. Να υπολογίσετε τις γωνίες BFD , AFE

Στο συνημμένο έχω την λύση όχι με τον κλασικό τρόπο (Ευκλείδεια) αλλά και με τριγωνομετρία.
Ακόμη χρειάστηκα το "αντίστροφο" του Απολλώνειου κύκλου δηλαδή
Στην προεκταση της διαμέτρου BC κύκλου (c) βρίσκεται σημείο Χ Αν τα C,B,X,Y είναι συζυγή αρμονικά και Α τυχαίο σημείο του κύκλου τότε η BΑ είναι διχοτόμος της ΥΑΧ που και εκει κάνω την απόδειξη με μιγαδικούς και όχι με τον παραδεδεγμένο τρόπο (Ευκλείδεια)

#2

Η ευθεία

είναι η πολική του σημείου

ως προς τον κύκλο $(I_{a}),$ τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του $\bigtriangleup ABC$ στη γωνία $\angle A$ (αντί του (Ι) στην εκφώνηση ).

Επειδή η

περνάει από το σημείο

έχουμε ότι η πολική του

ως προς τον ίδιο κύκλο, περνάει από το σημείο

Η ευθεία τώρα ZF,

είναι η πολική του

ως προς τον $(I_{a})$ γιατί είναι κάθετη επί την ευθεία $HI_{a}$ και περνάει από

( το σημείο επαφής της εφαπτομένης του (Ia)

από το

).

Συμπεραίνουμε επομένως, ότι τα σημεία $Z,\ F,\ C$ είναι συνευθειακά και έστω το σημείο $P\equiv DE\cap ZF.$

$\bullet$ Είναι γνωστό ότι τα σημεία $H,\ D,\ P,\ E$ είναι αρμονικά συζυγή, ως σημεία τομής της ευθείας δια του

από τον κύκλο $(I_{a})$ και την πολική του

ως προς αυτόν.

Άρα η δέσμη F.HDPE

είναι αρμονική και επειδή $HF\perp FP,$ συμπεραίνουμε ότι η ευθεία $FP\equiv ZFC$ διχοτομεί τη γωνία $\angle DFE$ και άρα έχουμε $\angle DFC = \angle CFE$ ,(1)

Η δέσμη

είναι επίσης αρμονική και τεμνόμενη από την ευθεία AB,

μας δίνει την αρμονική σημειοσειρά $H,\ B,\ Z,\ A.$

Έτσι, η δέσμη F.HBZA

είναι αρμονική και επειδή έχουμε $HF\perp FZ,$ συμπεραίνουμε ότι η ευθεία

διχοτομεί τη γωνία $\angle AFB$ και άρα έχουμε $\angle AFH = \angle HFB$ ,(2)

$\bullet$ Από εγγράψιμο τετράπλευρο $CEI_{a}F$ έχουμε ότι $\angle CFE = \angle CI_{a}E = \angle AEH = 90^{o} - \angle A$ $\Longrightarrow$ $\angle EFI_{a} = \angle A$ ,(3)

Από

προκύπτει ότι το τετράπλευρο AHFE

είναι εγγράψιμο και ακολουθεί το συμπέρασμα ότι $\angle AFE = \angle AHE = 90^{o}$ ,(4)

Από εγγράψιμο AHFE

έχουμε επίσης $\angle AFH = \angle AEH$ ,(5)

Από $(2),\ (5)$ $\Longrightarrow$ $\angle HFB = \angle AEH = \angle CDE = \angle HDB$ ,(6)

Από

προκύπτει ότι το τετράπλευρο BHDF

είναι εγγράψιμο.

Συμπεραίνουμε έτσι, ότι $\angle BFD = \angle BHD = 90^{o}$ ,(7)

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Μεσογειάδα 2008 (γεωμετρία)

Μεσογειάδα 2008 (γεωμετρία)

Re: Μεσογειάδα 2008 (γεωμετρία)

Μέλη σε σύνδεση