Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα------>Bulletin

#1

Η άσκηση δίνεται και στο συνημμένο.

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒC ισχύει ότι :

$a \cdot l_a \cdot \sin \frac{A}{2}\, + \,b \cdot l_b \cdot \sin \frac{B}{2}\,\, + \,c \cdot l_c \cdot \sin \frac{C}{2}\,\, \ge \,\,3S$

όπου l_a,l_b,l_c

είναι τα μήκη των διχοτόμων και

είναι το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

Μπάμπης

#2

Έστω $\displaystyle D$ το ίχνος της διχοτόμου από την κορυφή

. Και έστω $\displaystyle BD=x=\frac{ac}{b+c}$

Από το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABD

λαμβάνουμε $\displaystyle l_a=\frac{x}{\sin{\frac{A}{2}}}\cdot\sin B$

Επομένως η σχέση προς απόδειξη γίνεται $\displaystyle \sum ax\sin B\geq 3S$ (1)

Όμως $\displaystyle \sin B=\frac{b}{2R}$ και $\displaystyle S=\frac{abc}{4R}$ . Επομένως αντί για την (1) ισοδύναμα αρκεί νδο

$\displaystyle \sum\frac{a^2bc}{2R(b+c)}\geq\frac{3abc}{4R}$ που ισοδυναμεί με

$\displaystyle \sum\frac{a}{b+c}\geq\frac{3}{2}$ που ισχύει (είναι η γνωστή ανισότητα Nesbitt ).

dimitris pap · #3

Παρουσιάζω μια άλλη λύση στο πρόβλημα, που καταλήγει και πάλι στην ανισότητα Nesbit!
Εγώ θεωρώ την κάθετη απ' το D (ίδιος συμβολισμός με τον smar) στην AΒ (που ειναι ίση με την κάθετη στην AC) και την ονομάζω y_a

. Ετσι η ανισότητα γίνεται:
$\displaystyle a\cdot y_a+b\cdot y_b+cy_c\geq 3S$
Ομως $\displaystyle (ABD)+(ACD)=S\iff \frac{by_a}{2}+\frac{cy_a}{2}=S\iff (b+c)y_a=2S$

Ετσι τώρα η ανισότητα γίνεται:
$\displaystyle \frac{2Sa}{b+c}+\frac{2Sb}{a+c}+\frac{2Sc}{a+b}\geq 3S$

που ισοδυναμεί με τη Nesbit κι άρα ισχύει

#4

Καλωσορίζω με τη σειρά μου όλα τα παιδιά της Ολυμπικής κοινότητας !

Είναι , όπως βλέπετε , συγκλονιστική η αγάπη αλλά και το ταλέντο αυτών των παιδιών προς τα μαθηματικά . Μακάρι να μπορούσαμε να κάνουμε όλους τους μαθητές των σχολείων μας να περάσουν μια στιγμή από αυτή τη σελίδα και να δουν με τι θαυμάσιο τρόπο κάποιοι από τους συμμαθητές τους λύνουν ή κάνουν μαθηματικά.
Είμαι βέβαιος ότι την επόμενη μέρα θα είχαν άλλη σχέση με το σχολείο και τη μάθηση. Αρκεί βέβαια και εμείς οι δάσκαλοί τους να τους λέγαμε με δυο απλά λόγια ότι για να φτάσει κάποιος να λύνει τέτοια προβλήματα, πρέπει πρώτα να νοιώσει τη χαρά από τη λύση μιας άσκησης και στη συνέχεια να αφιερώσει πολύ από το χρόνο του πάνω στα βιβλία ! Ότι τίποτα δεν κερδίζεται χωρίς κόπο , ειδικά στην επιστήμη !
Μπάμπης

Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα------>Bulletin

Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα------>Bulletin

Re: Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Γεωμετρική - τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση