Σύστημα Παλιό

Eukleidis · #1

Να λυθεί το παρακάτω σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = 11\\ xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right) = 18\\ xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + yz\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + zx\left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 118 \end{array} \right.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Eukleidis έγραψε:Να λυθεί το παρακάτω σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = 11\\ xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right) = 18\\ xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + yz\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + zx\left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 118 \end{array} \right.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλυτη από Τόγκα

Καλησπέρα.

Η μέθοδος για να λυθεί το σύστημα δεν είναι δύσκολη, αλλά τα νούμερα δεν βοηθούν(εκτός αν κάνω κάπου λάθος).

Θέτω x+y+z=a

, οπότε

. Με αντικατάσταση στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση παίρνουμε:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} xyz = \frac{{11a - 18}}{3} \hfill \\ 11{a^2} - axyz - 360 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 11{a^2} + 9a - 540 = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = \frac{{ - 9 \pm 3\sqrt {2649} }}{{22}}}$

Έχουμε λοιπόν, $\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} x + y + z = a \hfill \\ xy + yz + zx = 11 \hfill \\ xyz = \frac{{11a - 18}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.}$ , και από τους τύπους Vieta οι x, y, z

είναι λύσεις της εξίσωσης

$\boxed{{t^3} - a{t^2} + 11t - \frac{{11a - 18}}{3} = 0}$

Αυτή όμως η εξίσωση, για τις συγκεκριμένες τιμές του

, δεν ξέρω πώς λύνεται. Αν κάποιος γνωρίζει άλλο τρόπο, θα ήθελα πολύ να τον δω.

ΥΓ.1 Είναι η άσκηση 3342

, σελίδα

του βιβλίου Άλγεβρα και συμπλήρωμα Άλγεβρας-τόμος Β (15η έκδοση) του Πέτρου Τόγκα.

ΥΓ.2 Αν στη δεύτερη εξίσωση είναι

, αντί για

, τότε μία λύση του συστήματος είναι (1,2,3)

. Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο βιβλίο του Τόγκα.

Αρχιμήδης 6 · #3

Εκτός και αν το σύστημα δεν έχει λύσεις...

Αρχιμήδης 6 · #4

george visvikis έγραψε: $\boxed{a = \frac{{ - 9 \pm 3\sqrt {2649} }}{{22}}}$

$\boxed{{t^3} - a{t^2} + 11t - \frac{{11a - 18}}{3} = 0}$

Για την τελευταία εξίσωση ισχύει D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2<0

Άρα το αρχικό σύστημα δεν έχει λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

#5

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
george visvikis έγραψε: $\boxed{a = \frac{{ - 9 \pm 3\sqrt {2649} }}{{22}}}$

$\boxed{{t^3} - a{t^2} + 11t - \frac{{11a - 18}}{3} = 0}$

Για την τελευταία εξίσωση ισχύει

Άρα το αρχικό σύστημα δεν έχει λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

Eκείνη την εποχή(που γράφτηκε το βιβλίο) δεν υπήρχε σαφής αναφορά σε πραγματικές και μη λύσεις. Οι λύσεις μπορούσαν κάλλιστα να είναι και μιγαδικές. Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει μία πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες(από λογισμικό). Το θέμα είναι πώς λύνεται, αν δεν έχει γίνει τυπογραφικό στη εκφώνηση.

Αρχιμήδης 6 · #6

george visvikis έγραψε:
Αρχιμήδης 6 έγραψε:
george visvikis έγραψε: $\boxed{a = \frac{{ - 9 \pm 3\sqrt {2649} }}{{22}}}$

$\boxed{{t^3} - a{t^2} + 11t - \frac{{11a - 18}}{3} = 0}$

Για την τελευταία εξίσωση ισχύει

Άρα το αρχικό σύστημα δεν έχει λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Eκείνη την εποχή(που γράφτηκε το βιβλίο) δεν υπήρχε σαφής αναφορά σε πραγματικές και μη λύσεις. Οι λύσεις μπορούσαν κάλλιστα να είναι και μιγαδικές. Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει μία πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες(από λογισμικό). Το θέμα είναι πώς λύνεται, αν δεν έχει γίνει τυπογραφικό στη εκφώνηση.

Καλημέρα Γιώργο!

Αν θέλει να εξεταστεί στους πραγματικούς τότε έχει λυθεί.
Αν θέλει μιγαδικούς τότε δεν έχει λυθεί.
Το ότι δεν διευκρινίζει την φύση των λύσεων μπορεί να το κάνει για να μην βοηθήσει τον λύτη αλλά όταν σε μια άσκηση υπάρχουν άγνωστοι πρέπει να προσδιορίζουμε το σύνολο που ανήκουν.
Είναι σαν να ρωτάω που βρίσκεται μια χώρα και να μου πουν
1) Στην τάδε ήπειρο.
2) Στη Γη
3)Στο ηλιακό μας σύστημα
4)Στο γαλαξία μας
Όλες είναι σωστές γιατί αρχικά δεν όρισα το χώρο που θέλω να μελετηθεί.

#7

george visvikis έγραψε:
Eukleidis έγραψε:Να λυθεί το παρακάτω σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = 11\\ xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right) = 18\\ xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + yz\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + zx\left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 118 \end{array} \right.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλυτη από Τόγκα

ΥΓ.2 Αν στη δεύτερη εξίσωση είναι , αντί για , τότε μία λύση του συστήματος είναι . Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο βιβλίο του Τόγκα.

Δίκιο έχεις. Για

μου φαίνεται...

Σύστημα Παλιό

Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Re: Σύστημα Παλιό

Μέλη σε σύνδεση