υπάρχει επιλογή προσήμων;

algal · #1

Έστω διανύσματα u_1,u_2,...,u_n

. Το ερώτημα είναι το εξής:
Υπάρχει επιλογή προσήμων $a_1=\pm 1,a_2=\pm 1,..., a_n=\pm 1$ τέτοια ώστε:
$\begin{Vmatrix} a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n \end{Vmatrix}\leq \sqrt{n}$ ;

#2

algal έγραψε:Έστω διανύσματα . Το ερώτημα είναι το εξής:
Υπάρχει επιλογή προσήμων $a_1=\pm 1,a_2=\pm 1,..., a_n=\pm 1$ τέτοια ώστε:
$\begin{Vmatrix} a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n \end{Vmatrix}\leq \sqrt{n}$ ;

Υποθέτω ότι τα u_k

είναι μοναδιαία γιατί αλλιώς η άσκηση είναι προφανώς λάθος. Σωστά;

Με επαγωγή.

Για δύο μοναδιαία διανύσματα $\displaystyle{u_1, \, u_2}$ έχουμε από την ταυτότητα του παραλληλογράμμου

$\displaystyle{ || u_1+u_2||^2 + || u_1-u_2||^2 = 2|| u_1||^2 + 2|| u_2||^2 =4}$ . Άρα τουλάχιστον ένας από τους
$\displaystyle{|| u_1+u_2||^2 , \, || u_1-u_2||^2 }$ είναι $\displaystyle{\le 2}$ , και τελειώσαμε.

Για το πέρασμα από το

στο

, έστω για κάποια επιλογή προσήμων έχουμε $\begin{Vmatrix} a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n \end{Vmatrix}\leq \sqrt{n}$ .

Γράφουμε $\displaystyle{u=a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n}$ (τα a_k

είναι η συγκεκριμένη επιλογή προσήμων). Τότε

$\displaystyle{ || u+u_{n+1}||^2 + || u-u_{n+1}||^2 = 2|| u||^2 + 2|| u_{n+1}||^2 \le 2n + 2}$ .

Άρα τουλάχιστον ένας από τους $\displaystyle{|| u+u_{n+1}||^2 , \, || u-u_{n+1}||^2 }$ είναι $\displaystyle{\le n+1}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Διαφορετικά, επειδή

$\displaystyle{ \sum_{(a_1,\ldots,a_n) \in \{-1,1\}^n} \|a_1u_1 + \cdots + a_nu_n\|^2 = n2^n}$

τότε θα υπάρχει τουλάχιστον μια επιλογή ώστε $\displaystyle{ \|a_1u_1 + \cdots + a_nu_n\| \leqslant \sqrt{n}.}$

υπάρχει επιλογή προσήμων;

υπάρχει επιλογή προσήμων;

Re: υπάρχει επιλογή προσήμων;

Re: υπάρχει επιλογή προσήμων;

Μέλη σε σύνδεση