Ακριβώς 15 διαιρέτες.

Ιστοσελίδα · #1

Πόσοι ακέραιοι μικρότεροι του 20000

έχουν ακριβώς

διαιρέτες ;

algal · #2

Ισχύει ότι:
Αν ο αριθμός

δεν είναι τέλειο τετράγωνο τότε έχει άρτιο αριθμό διαιρετών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η σχέση ab=m

είναι συμμετρική ως προς

και

.(πρακτικά αυτό σημαίνει ότι οι διαιρέτες πάνε ''ζευγαράκια'').
Συνεπώς αφού εδώ έχουμε περιττό πλήθος διαιρετών συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω τώρα

ο αριθμός που ψάχνουμε. Τότε:
a=m^2

και $a\leq 20000$ όπου a,m

θετικοί ακέραιοι. Ψάχνουμε δηλαδή για αριθμό $m\leq{ \sqrt{20000}}$ , δηλαδη ο

είναι το πολύ 141

. Έστω τώρα $m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_s^{r_s}$ όπου p_i

διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί. Οι διαιρέτες του

είναι το πολύ $\sqrt{m}$ , δηλαδή το πολύ $\sqrt{141}$ . Άρα ο

τελικά είναι της μορφής: $m=2^{r_1}3^{r_2}5^{r_3}7^{r_4}11^{r_5}$ .
Ένας αριθμός $a=p_1^{2r_1}p_2^{2r_2}...p_s^{2r_s}$ έχει (1+2r_1)(1+2r_2)...(1+2r_s)

διαιρέτες. Άρα στη συγκεκριμένη περίπτωση (1+2r_1)(1+2r_2)...(1+2r_5)=15=3*5

ή

. Η δεύτερη περίπτωση εύκολα καταλήγει σε άτοπο. Άρα $r_i\in \left\{0,1,2 \right\}, i=1,2,...,5$ . Διακρίνω τις περιπτώσεις:
(1) αν r_1=2

τότε για την τιμή

έχω 4 δυνατοτες δηλαδή μπορούν και τα 4 υπόλοιπα r_i

να πάρουν την τιμή 1 πχ ο αριθμός 2^2*7^1

, για

.
(2) αν

τότε έχω επίσης 4 δυνατότητες
(3) αν r_3=2

τότε έχω 2 δυνατότητες
(4) αν r_4=2

τότε έχω μία δυνατότητα
(5) αν r_5=2

τότε δεν έχω δυνατότητα επιλογής της τιμής

Συνεπώς οι αριθμοί είναι 11.

Ακριβώς 15 διαιρέτες.

Ακριβώς 15 διαιρέτες.

Re: Ακριβώς 15 διαιρέτες.

Μέλη σε σύνδεση