Ρητοί, άρρητοι

#1

Ανοίγω αυτό το θέμα με ασκήσεις σε ρητούς και άρρητους... Ευπρόσδεκτες νέες ασκήσεις όσο και άλλες που έχουμε ήδη συζητήσει...

1.
Αν $x, y \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ και οι αριθμοί x^2+y, y^2+x,x+y

είναι όλοι ρητοί, να αποδείξετε ότι $xy<\frac {1}{4}$
viewtopic.php?f=109&t=16805

2.
Να αποείξετε ότι δεν υπάρχει θετικός ρητός αριθμός x τέτοιος ώστε να ισχύει:
$x^{x+1}=(x+1)^{x}$
viewtopic.php?f=111&t=904

3.
Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχει $n\in N^{*}$ ώστε $\log _{2009}\frac{n+1}{n}\in Q$
viewtopic.php?f=111&t=6632

4.
Να προσδιοριστούν όλοι οι ακέραιοι

για τους οποίους όλες οι ρίζες της εξίσωσης 3x^3-3x^2+m=0

είναι ρητές.
viewtopic.php?f=109&t=6829

5.
Αν $x,y \in \mathbb R^*$ και οι αριθμοί x^2+y^2 , x^3+y^3, x^6+y^6

είναι ρητοί , να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί :

α) x+y, xy , x^4+y^4

είναι ρητοί.

β) Οι αριθμοί x^5+y^5, x^7+y^7 , x^8+y^8

είναι ρητοί .
viewtopic.php?f=111&t=7293

6.
Να βρεθούν οι ρητές ρίζες της εξίσωσης $2^{x^2+y^2-2}=e^{x+y-2}$
viewtopic.php?f=60&t=8228

7.
Να αποδείξετε ότι το $\ln 2$ είναι άρρητος.
viewtopic.php?f=27&t=8245

8.
Αν $a,b,c\in \mathbb N^*$ και $\displaystyle{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=abc}$ .Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{A=\sqrt{(a^2b^2+1)(b^2c^2+1)(c^2a^2+1)}}$ είναι ρητός
viewtopic.php?f=109&t=8324

9.
Ας είναι n ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3n}$
δεν έχει θετικές ρητές ρίζες
viewtopic.php?f=111&t=8493

10.
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x \in Q}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\sqrt {x + 2009} }$ και $\displaystyle{\sqrt {x + 2010} }$ , να είναι συγχρόνως ρητοί.
viewtopic.php?f=9&t=9175

11.
Αν $\displaystyle{x,y,z,w}$ ρητοί αριθμοί με $\displaystyle{x+y+z+w=0,}$ αποδείξτε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{K=\sqrt{(xy-zw)(yz-wx)(zx-yw)}}$

είναι επίσης ρητός.
viewtopic.php?f=109&t=9386

12.
Αν $A=\{x/x \in \mathbb{R}^* \wedge \{x\}+ \{\frac{1}{x}\} \in \mathbb{Z}^*\}$ , να αποδειχθεί ότι $A\cap \mathbb{Q}= \varnothing$ ( $\{x\}=$ κλασματικό μέρος του

)
viewtopic.php?f=111&t=9701

13.
Να μετατραπεί σε άθροισμα απλών ριζικών η παράσταση $\sqrt{9+ \sqrt{56}}$
viewtopic.php?f=19&t=16959

14.
Δίνονται οι εξισώσεις ${\alpha ^2}{x^3} + \beta {x^2} - {\gamma ^2}x + \delta = 0$ (1) και ${\alpha ^2}x + \beta = 0$ (2), όπου $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta$ ρητοί και διάφοροι του μηδενός.
Να δειχτεί ότι αν οι εξισώσεις έχουν κοινή ρητή ρίζα, τότε και οι άλλες ρίζες της (1) είναι ρητές και να βρεθούν.
viewtopic.php?f=21&t=17383

15.
Να αποδείξετε, ότι η εξίσωση

$\displaystyle{x^3-3ax^2-3x+a=0,}$ με $\displaystyle{a\in \mathbb{Q},}$

έχει το πολύ μία ρητή ρίζα.
viewtopic.php?f=111&t=18657

16.
Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του φυσικού n>1

ώστε ο αριθμός $a=\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ να είναι ρητός.
viewtopic.php?f=60&t=18905

17.
Για οποιουσδήποτε δύο πραγματικούς αριθμούς a,b

με

, να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι άρρητοι $x \in (a,b)$

ώστε ο x^3

να είναι ρητός
viewtopic.php?f=111&t=18997

18.
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})$ είναι άρρητος
viewtopic.php?f=109&t=19133

19.
Αν οι ρίζες της εξίσωσης ax^2 + bx + c = 0

, με

ψηφία και $a\neq0$ , είναι ρητοί αριθμοί , δείξτε ότι ο τριψήφιος αριθμός $\overline{abc}$ είναι σύνθετος.
viewtopic.php?f=109&t=19322

20.
Να βρεθούν όλοι οι περιττοί φυσικοί

, για τους οποίους ο αριθμός : $\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}$ , είναι ρητός .
viewtopic.php?f=19&t=20105

21.
Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$ στο σύνολο των ρητών .
viewtopic.php?f=109&t=20262

22.
Αν ο x^7

και ο $x^{12}$ είναι ρητοί, τότε να αποδειχθεί ότι και ο

είναι ρητός.
viewtopic.php?f=63&t=20376

23.
Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς x,y

, αν ισχύει η σχέση :

$\displaystyle{ |x+2|+\sqrt {9-4\sqrt 5}=4+\sqrt 5 \cdot |y+3|}$
viewtopic.php?f=19&t=21941

24.
Δίνονται οι ρητοί αριθμοί a,b,c

με

.Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\sqrt {a^2+b^2+c^2} }$

είναι ρητός .
viewtopic.php?f=19&t=23054

25.
Αν ο b είναι θετικός ρητός και αν

$a-b^{3}>0$

να αποδειχθεί ότι για τον

$d=\frac{8b^{3}+a}{3b}.\sqrt{\frac{a-b^{3}}{3b}}$

ισχύει ότι η παράσταση

$\sqrt[3]{a+d}+\sqrt[3]{a-d}$

είναι ίση με έναν ρητό αριθμό.
viewtopic.php?f=6&t=14356

26.
Αποδείξτε ότι για οποιουσδήποτε περιττούς πραγματικούς αριθμούς Α,Β,C η ευθεία ${\color{blue} \varepsilon: Ax+By+C=0}$ δεν τέμνει την παραβολή ${\color{blue}C: y=x^2 }$ σε σημείο με ρητές συντεταγμένες.
viewtopic.php?f=23&t=14564

27.
Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό $n \ge 2$ , ο αριθμός $a=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot ...\cdot\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος
viewtopic.php?f=111&t=14660

28.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x , y , z ώστε η παράσταση
$\displaystyle{ \sqrt{\frac{2006}{x+y}}+\sqrt{\frac{2006}{y+z}}+\sqrt{\frac{2006}{z+x}} }$

να είναι ακέραιος αριθμός.
viewtopic.php?f=58&t=14798

29.
Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{ x^2 - 2ax + \beta = 0 }$
με α, β ρητούς αριθμούς.

Αν λ, μ θετικοί ρητοί και $\displaystyle{ \sqrt[4]{\mu } }$
θετικός άρρητος αριθμός.

Να βρείτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα τον αριθμό $\displaystyle{ \lambda + \sqrt[4]{\mu } }$
viewtopic.php?f=27&t=12047

30.
Αν $a,b \in \mathbb{Q}^*$ και $a+b \neq 0$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac {1}{a^2+b^2}+\frac {1}{(a+b)^2}+ \sqrt {\frac {1}{a^4}+ \frac {1}{b^4}+ \frac {1}{(a^2+b^2)^2}}} \in \mathbb{Q}}$
viewtopic.php?f=69&t=12170

31.
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άρρητοι a, b

με

ρητός.
viewtopic.php?p=67071#p67071

32.
Έστω ο ακέραιος $\displaystyle{n>1}$ και ο άρρητος $\displaystyle{x}$ . Είναι δυνατόν ο αριθμός

$\displaystyle{y:=\sqrt[n]{x+\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[n]{x-\sqrt{x^2-1}}}$

να είναι ρητός;
viewtopic.php?p=70502#p70502

33.
Ορίζουμε ένα σημείο Μ(x,y) του επιπέδου xy ως ρητό, όταν και οι δύο συντεταγμένες του είναι ρητοί αριθμοί.

Να αποδείξετε πως αν το κέντρο ενός δοθέντος κύκλου στο επίπεδο xy δεν είναι ρητό σημείο τότε υπάρχουν το πολύ δύο ρητά

σημεία πάνω στον κύκλο.
viewtopic.php?f=9&t=11626

34.
Αν σε ένα τρίγωνο ABC

οι πλευρές a,c

έχουν ακέραιο μήκος, η δεύτερη μεγαλύτερη σε μήκος πλευρά έχει μήκος μικρότερο από $2+\sqrt{3}$ και $\angle{B}=120^{\circ}$ τότε η πλευρά

είναι άρρητος αριθμός.
viewtopic.php?f=110&t=11699

35.
Δείξτε πως κάθε θετικός ρητός αριθμός μπορεί να παρασταθεί κατά έναν και μοναδικό τρόπο απο τη μορφή:

$\displaystyle{ a_1 + \frac{{a_2 }}{{1 \cdot 2}} + \frac{{a_3 }}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + .... + \frac{{a_\kappa }}{{1 \cdot 2 \cdot 3...\kappa }} }$

όπου $\displaystyle{ a_1 ,a_2 ,...a_\kappa }$

αριθμοί ακέραιοι οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a_1 \ge 0 \\ 0 \le a_2 < 2 \\ 0 \le a_3 < 3 \\ .... \\ 0 \le a_\kappa < \kappa \\ \end{array} }$
viewtopic.php?f=111&t=12043

36.
Αν οι αριθμοί a,b,c

είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

4x^2-4(2a-3b)x+(3a^2+8b^2-c^2-10ab-2ac+2bc)=0

έχει δύο ρητές ρίζες, τις οποίες και να βρείτε.
viewtopic.php?f=69&t=23087

37.
Έστω

ένα απειροσύνολο πραγματικών, το οποίο περιέχει έναν τουλάχιστον ρητό και έναν τουλάχιστον άρρητο.

Να αποδειχθεί ότι για τον οποιονδήποτε ακέραιο $n \ge 2$ , υπάρχουν

διαφορετικά στοιχεία του

, το άθροισμα

των οποίων είναι άρρητος.
viewtopic.php?f=109&t=16845

38.
Για κάθε $\displaystyle{n\geq 3}$ , υπάρχει εγγράψιμο

-γωνο, του οποίου οι πλευρές και οι διαγώνιοι είναι ακέραιου μήκους.
viewtopic.php?f=111&t=16781

39.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί πραγματικοί $\chi$ για τους οποίους οι παραστάσεις $\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ και $\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$ είναι ακέραιοι αριθμοί.
viewtopic.php?f=19&t=16505

40.
Να εξετάσετε αν οι αριθμοί $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{7}$ μπορούν να αποτελέσουν
όρους(όχι κατ' ανάγκη διαδοχικούς) της ίδιας αριθμητικής προόδου.
viewtopic.php?f=21&t=16683

41.
Έστω a,b,c

και οι τρεις αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Αν οι αριθμοί ab,bc

και

είναι ρητοί, τότε και ο αριθμός
$k=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ είναι ρητός.
viewtopic.php?p=85947#p85947

42.
Έστω $\displaystyle{ A > 0 }$ ρητός αριθμός.
Να δείξετε ότι το $\displaystyle{ A }$ είναι το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές που έχουν ρητό μήκος αν
και μόνον αν υπάρχουν τρείς ρητοί αριθμοί $\displaystyle{ u,v,w }$ ώστε $\displaystyle{ u^2 - v^2 = v^2 - w^2 = A }$
viewtopic.php?f=27&t=16530

43.
Nα δείξετε ότι:
α) Καμία δύναμη του 2 (με εκθέτη φυσικό) δεν είναι πολλαπλάσιο του 10
β) Ο αριθμός log2

είναι άρρητος
viewtopic.php?f=23&t=16413

44.
Έστω

πραγματικός αριθμός.Αν οι αριθμοί x^3+x

και

είναι ρητοί, να αποδειχθεί ότι ο

είναι ρητός.
viewtopic.php?p=84116#p84116

45.
Αν ο

είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, τέτοιος ώστε οι x^2+x

και

να είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι ο

είναι ρητός.
Υπάρχει άρρητος

ώστε οι

και

να είναι και οι δύο ρητοί;
viewtopic.php?f=109&t=7053

46.
Αν

είναι ένα σύνολο πραγματικών με τρία τουλάχιστον στοιχεία τέτοιο ώστε $x,y \in A \Rightarrow x+y \in \mathbb{Q}$ , να αποδείξετε ότι $A \subseteq \mathbb{Q}$
viewtopic.php?f=109&t=14882

47.
Αν

είναι ένας θετικός ακέραιος και ο $\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^2+\{\sqrt{a}\}^3$ είναι ρητός, να αποδειχθεί ότι ο

είναι τετράγωνο ακεραίου.
({...}=κλασματικό μέρος)
viewtopic.php?f=111&t=15076

48.
Αν a,b,c

θετικοί ακέραιοι και $\frac {a \sqrt{3}+b\sqrt{2}}{b\sqrt{3}+c\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$ , να αποδείξετε ότι a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a-b+c)

viewtopic.php?f=69&t=11580

49.
Αν η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} a_1x^2+b_1x+c_1 & x\in \mathbb{Q}\\ a_2x^2+b_2x+c_2 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$ είναι γνησίως αύξουσα, να αποδειχθεί ότι $a_{1}=a_{2}=0, b_{1}=b_{2}>0$ και $c_{1}=c_{2}$
viewtopic.php?f=56&t=7902

50.
α. Να αποδείξετε ότι το $\displaystyle{\sqrt 2 }$ δεν είναι ρητός αριθμός (εφαρμογή βιβλίου - γνωστή)
β. Μπορούμε να αποδείξουμε (με γνώσεις Α΄ Λυκείου) ότι και το $\displaystyle{\sqrt 3 }$ δεν είναι ρητός αριθμός;
γ. Όμοια και για το $\displaystyle{\sqrt 5 }$
viewtopic.php?f=6&t=9667

α) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
β) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.
γ) Μεταξύ ρητού και άρρητου υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
δ) Μεταξύ ρητού και άρρητου υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.
ε) Μεταξύ δύο άρρητων υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
στ) Μεταξύ δύο άρρητων υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.
viewtopic.php?f=60&t=16687

α) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει ρητός (εύκολο)
β) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει άρρητος (πιο δύσκολο) και
γ) Μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει ρητός (ακόμη πιο δύσκολο)
viewtopic.php?f=28&t=19096

freyia · #2

Πολύ ωραίεες ασκήσεις (άσχετο αν τις πιο πολλές δεν θα μπορέσω να λύσω. Θα προσπαθήσω όμως. Με τέτοιες ασκήσεις περνάει ευχάριστα η ώρα και ας μην τις λύσω

)

Ρητοί, άρρητοι

Ρητοί, άρρητοι

Re: Ρητοί, άρρητοι

Μέλη σε σύνδεση