Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

#1

Θεωρούμε $a,b,c \in [0,1]$ . Έστω

$S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)}$ .

(α) Δείξτε ότι $S\leq 1+\sqrt{abc}$ και βρείτε πότε ισχύει η ισότητα.

(β) Βρείτε τη μέγιστη τιμή του

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Επειδή $\displaystyle{a,b,c \in [0,1]}$ , υπάρχουν $\displaystyle{x,y,z \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]}$ ώστε

$\displaystyle{a=\sin ^{2}x, b=\sin ^{2}y, c=\sin ^{2}z}$ .

Τότε

$\displaystyle{S-\sqrt{abc}=\sin x \cos y \cos z +\sin y \cos z \cos x +\sin z \cos x \cos y-\sin x \sin y \sin z=\sin (x+y+z)\leq 1,}$

οπότε προκύπτει η α). Για να ισχύει η ισότητα, πρέπει προφανώς $\displaystyle{\sin (x+y+z)=1}$ άρα $\displaystyle{x+y+z=\frac{\pi}{2}}$

EDIT* Ο Αχιλλέας μου επισήμανε ότι η απάντηση στο 2ο ερώτημα είναι λανθασμένη

#3

επαναφορά για το (β) για να μη μείνει αναπάντητο

#4

Καλημέρα σε όλους.

Συνεχίζοντας με την αντικατάσταση του Θάνου, έχουμε:

$S = \sqrt {abc} + \eta \mu (x + y + z) = \eta \mu x \cdot \eta \mu y \cdot \eta \mu z + \sum {\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu y \cdot \sigma \upsilon \nu z - } \eta \mu x \cdot \eta \mu y \cdot \eta \mu z$

$\displaystyle = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu y \cdot \sigma \upsilon \nu z + \eta \mu y \cdot \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \upsilon \nu z + \eta \mu z \cdot \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \upsilon \nu y$

Εδώ, όντως, βρίσκουμε εύκολα ότι η παράσταση μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη του

. Προφανώς

, λόγω της κυκλικής μετάθεσης των μεταβλητών, το μέγιστο θα εμφανιστεί για x = y = z

. Αυτό είναι απλώς εικασία. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει απόδειξη. Έχω δει τη χρήση της (αναπόδεικτης ; ) τεχνικής "της προς στιγμήν σταθεράς", των Ιησουϊτών. Π.χ. για $\displaystyle x=y=z=\frac{\pi}{3}$ , έχουμε τιμή $\displaystyle \frac{9}{8}$ .

Παίρνοντας x=y=z

, έχουμε $\displaystyle S = f\left( x \right) = 3\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}x = 3\eta \mu x - 3\eta {\mu ^3}x,\;\;x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ που παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ , με τιμή $\displaystyle \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ .

ΣΧΟΛΙΟ: Το λογισμικό συμφωνεί. Θα χαρώ να δω πλήρη απόδειξη στην παραπάνω εικασία.

: maximum.jpg (57.78 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Ακολουθώντας τον Θάνο θέλουμε το μέγιστο της

$\displaystyle A= sin x \cos y \cos z +\sin y \cos z \cos x +\sin z \cos x \cos y$

Είναι $\displaystyle A= sin x \cos y \cos z + \cos x \sin(y+z)$

Αρα είναι $\displaystyle A\leq \sqrt{ (\cos y \cos z)^2 + (\sin(y+z))^2}$

Χρησιμοποιώντας την γνωστή $\displaystyle \cos y \cos z \leq (\cos \frac{y+z}{2})^2$

παίρνουμε
$\displaystyle (\cos y \cos z)^2 + (\sin(y+z))^2 \leq (\cos \frac{y+z}{2})^4+(\sin(y+z))^2$ $=(\cos \frac{y+z}{2})^4+4(\cos \frac{y+z}{2})^2(\sin \frac{y+z}{2})^2=\frac{1}{3}3(\cos \frac{y+z}{2})^2((4-3\cos \frac{y+z}{2})^2)\leq \frac{1}{3}(\frac{4}{2})^2=\frac{4}{3}$

Αρα $A\leq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Την ισότητα την παίρνουμε όταν $x=y=z ,\sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ενας άλλος τρόπος στα όρια λυκειακής ύλης είναι

Θεωρούμε την $\displaystyle f(x,y,z)= sin x \cos y \cos z +\sin y \cos z \cos x +\sin z \cos x \cos y$

Οταν ένα από τα x,y,z

είναι

η $\frac{\pi }{2}$
τότε η συνάρτηση δεν ξεπερνάει το

Το μέγιστο θα το παίρνει όταν $0<x,y,z<\frac{\pi }{2}$
Θεωρώντας τα δύο σταθερά η παράγωγος ως προς το τρίτο θα πρέπει να μηδενίζεται.
Γράφοντας τις τρεις εξισώσεις βγάζουμε ότι x=y=z

κλπ

#6

Για να δούμε άλλη μια προσέγγιση:

Από την αντικατάσταση του Θάνου έχουμε
$\displaystyle{S=\sin x\sin y\sin z+\sin (x+y+z).}$
Από την ανισότητα Jensen για την κοίλη $f(x)=\ln (\sin x)$ , έχουμε ότι $\sin x\sin y\sin z\leq\sin^3\left(\frac{x+y+z}{3}\right)$ , οπότε αρκεί να βρούμε το μέγιστο της
$g(z)=\sin (3z)+\sin^3z=3\sin z-3\sin^3z$ , που εύκολα βλέπουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο το $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Re: Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Re: Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Re: Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Re: Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Re: Μεγιστοποιώντας μια Έκφραση με Ριζικά

Μέλη σε σύνδεση