Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Tolaso J Kos · #1

Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος... αν όχι, καλό θα ήταν να μεταφερθεί.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους παρακάτω αριθμούς: $\displaystyle{1,\, \, \sqrt{2},\, \, \sqrt[3]{3},\, \, \sqrt[4]{4},\, \, ...\, \, \sqrt[\nu ]{\nu }}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος... αν όχι, καλό θα ήταν να μεταφερθεί.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους παρακάτω αριθμούς: $\displaystyle{1,\, \, \sqrt{2},\, \, \sqrt[3]{3},\, \, \sqrt[4]{4},\, \, ...\, \, \sqrt[\nu ]{\nu }}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kostas_zervos · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος... αν όχι, καλό θα ήταν να μεταφερθεί.

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους παρακάτω αριθμούς: $\displaystyle{1,\, \, \sqrt{2},\, \, \sqrt[3]{3},\, \, \sqrt[4]{4},\, \, ...\, \, \sqrt[\nu ]{\nu }}$

Για $\nu\geq 3$ έχουμε :

$\sqrt[\nu+1]{\nu+1}<\sqrt[\nu]{\nu}\iff \left(\nu+1\right)^{\frac{1}{\nu+1}}<\nu^{\frac{1}{\nu}}\iff$

$\iff \left(\nu+1\right)^{\nu}<\nu^{\nu+1}\iff \left(\nu+1\right)^{\nu}<\nu^{\nu}\nu\iff$

$\iff \dfrac{1}{\nu}<\left(\dfrac{\nu}{\nu+1}\right)^{\nu}\iff \left(1-\dfrac{1}{\nu+1}\right)^{\nu}>\dfrac{1}{\nu}$ που ισχύει γιατί από ανισότητα Bernulli έχουμε:

$\left(1-\dfrac{1}{\nu+1}\right)^{\nu}\geq 1-\dfrac{\nu}{\nu+1}=\dfrac{1}{\nu+1}>\dfrac{1}{\nu}$ .

Άρα για $\nu\geq 3$ ο μεγαλύτερος είναι ο $\sqrt[3]{3}$ .

Επίσης $\sqrt{2}>1$ και $\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}\iff \left(\sqrt[3]{3}\right)^6>\left(\sqrt{2}\right)^6\iff 9>8$ , άρα ο μεγαλύτερος είναι ο $\sqrt[3]{3}$ .

alkmel · #4

Επίσης ίσως ενδιαφέρει και η λύση με την μονοτονία της $\displaystyle{ \frac{ \ln x}{x}}$ , που έχει μέγιστο στο

.
Καλό Πάσχα.

Tolaso J Kos · #5

alkmel έγραψε:Επίσης ίσως ενδιαφέρει και η λύση με την μονοτονία της $\ln x / x$ , που έχει μέγιστο στο .
Καλό Πάσχα.

Να ευχαριστήσω καταρχάς τον κ. Γιώργο και τον κ. Κώστα που ασχολήθηκαν με την άσκηση....
Alkmel θα μπορούσες να γίνεις πιο συγκεκριμένος, καθώς δε πολυκατάλαβα; Έχω την ίδια λύση με του κ. Κώστα.

#6

Φαντάζομαι ότι εννοεί τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = {x^{\frac{1}{x}}}}$ που είναι $\displaystyle{{e^{\frac{1}{e}}}}$

Tolaso J Kos · #7

george visvikis έγραψε:Φαντάζομαι ότι εννοεί τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = {x^{\frac{1}{x}}}}$ που είναι $\displaystyle{{e^{\frac{1}{e}}}}$

Α.. κατάλαβα.. δηλαδή έχουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{\dfrac{1}{x}}}$ είναι συνεχής, παραγωγίσιμη στους θετικούς και επιπλέον γράφεται ως: $\displaystyle{f(x)=e^{\frac{\ln x}{x}}}$ οπότε παραγωγίζοντας έχουμε ότι έχει μέγιστο στο

και καταλήγουμε άμεσα στο συμπέρασμα..

Πολύ ωραίο....

Καλό γιορτές σε όλους... Καλό Πάσχα.

alkmel · #8

Γεια σας.
Ισως δεν βοηθάνε οι γνώσεις μου στη Latex.
Μιλώ για την συνάρτηση $f(x) = \frac { \ln x}{x},~ x>0$ , όπου έχει μέγιστο στο

.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος;

Μέλη σε σύνδεση