Παραλληλία

#1

: Παραλληλία...png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 1202 φορές

Έστω

η διχοτόμος και

η διάμεσος τριγώνου ABC, AB<AC

. Αν η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

, να δείξετε ότι DE||AB

.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:Παραλληλία...png
Έστω η διχοτόμος και η διάμεσος τριγώνου . Αν η κάθετη από το στην τέμνει την

στο , να δείξετε ότι .

Γειά σου Γιώργο
Θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BD}{DM}=\dfrac{2c}{b-c},(1)$
Από το θ.Μενελάου στο τρίγωνο ADM

με τέμνουσα $BIE,\dfrac{EA}{AM}=\dfrac{AI}{ID}\dfrac{2c}{c+b},(2)$
Απο τις σχέσεις (1),(2)

θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c+b}{c-b}$ $ADC,\dfrac{AI}{ID}\dfrac{c}{c+b}\dfrac{b-c}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c+b}{c-b}$
Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο

$ADC,\dfrac{AI}{ID}.\dfrac{c}{c+b}\dfrac{b-c}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c+b}{b-c}$

Γιάννης

Γιάννης

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Έστω

το σημείο τομής της

και

.
Προεκτείνουμε την

και έστω

το σημείο που τέμνει την

.

Επειδή $AI\perp BZ$ και $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ , το τρίγωνο BAZ

είναι ισοσκελές και BI=IZ

. Όμως στο τρίγωνο BZC

, έχουμε το μέσο

και το μέσο

, άρα

.

Έστω

το σημείο που η

τέμνει την

. Επειδή

, προκύπτει ότι το

είναι το μέσο της

.

Τέλος από CEVA στο τρίγωνο ABM

, έχουμε ότι:

$\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{BD}{DM}\cdot \dfrac{ME}{AE}=1 \Leftrightarrow \dfrac{BD}{DM}\cdot \dfrac{ME}{AE}=1\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DM}=\dfrac{AE}{EM}$ . Άρα από αντίστροφο Θαλή DE//AB

.

#4

george visvikis έγραψε:Παραλληλία...png
Έστω η διχοτόμος και η διάμεσος τριγώνου . Αν η κάθετη από το στην τέμνει την

στο , να δείξετε ότι .

Καλησπέρα .

κάτι παρεμφερές με τον φέρελπι Διονύση

Ας είναι $N\,\,,\,\,Z$ τα σημεία τομής της

με τις $AD\,\,,\,\,AC$ αντίστοιχα.

Επειδή το

είναι και μέσο της

θα είναι $NM// = \dfrac{{ZC}}{2}$ .

Λόγω της παραλληλίας αυτής και το Θ. Μενελάου

: παραλληλία_1.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

στο τρίγωνο $\vartriangle ADM\,\,$ με διατέμνουσα την $\overline {BNE}$ έχουμε :

$\dfrac{{AN}}{{ND}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BM}} \cdot \dfrac{{ME}}{{EA}} = 1\, \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{DM}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BM}} \cdot \dfrac{{ME}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DM}} = \dfrac{{EA}}{{EM}} \Rightarrow AB//DE$

( Αφού CM = MB

).

Φιλικά Νίκος

#5

Πριν από λίγο ο νεαρός Διονύσιος Αδαμόπουλος με προσωπικό μήνυμα και πολύ σεμνότητα μου υπέδειξε μια απροσεξία μου και τον ευχαριστώ πολύ .

Τα παιδιά μας διαβάζουν και έχουν απαίτηση (και καλά κάνουν) να είμαστε άψογοι 100% .

κάτι παρόμοιο , εδώ

Νίκος

sot arm · #6

Καλησπέρα σε όλους!

Μια ακόμη λύση, έστω πως η δια του

παράλληλη στην

τέμνει την

στο σημείο

.

Τότε από τις παραλληλίες έπεται πως: $\displaystyle{\widehat{FAD}=\widehat{BKD}=90^{\circ} \Rightarrow FA \perp AD }$
όμως αφού η

διχοτόμος έπεται πως η σημειοσειρά: $\displaystyle{(F,D,B,C)}$ είναι αρμονική.

Αφού το

είναι μέσο του

από θεώρημα Newton

προκύπτει:
$\displaystyle{MB^{2}=MD \cdot MF \Leftrightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MF}{MB} (1)}$

Από την παραλληλία των AF,BE

έπεται από θεώρημα Θαλή: $\displaystyle{\frac{MF}{MB}=\frac{MA}{ME} (2)}$

Τώρα είναι: $\displaystyle{(1),(2)\rightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MA}{ME}}$ που από το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή δίνει την ζητούμενη παραλληλία.

: Παραλληλία.png (85.59 KiB) Προβλήθηκε 1036 φορές

#7

sot arm έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!

Μια ακόμη λύση, έστω πως η δια του παράλληλη στην τέμνει την στο σημείο .

Τότε από τις παραλληλίες έπεται πως: $\displaystyle{\widehat{FAD}=\widehat{BKD}=90^{\circ} \Rightarrow FA \perp AD }$
όμως αφού η διχοτόμος έπεται πως η σημειοσειρά: $\displaystyle{(F,D,B,C)}$ είναι αρμονική.

Αφού το είναι μέσο του από θεώρημα προκύπτει:
$\displaystyle{MB^{2}=MB \cdot MF \Leftrightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MF}{MB} (1)}$

Από την παραλληλία των έπεται από θεώρημα Θαλή: $\displaystyle{\frac{MF}{MB}=\frac{MA}{ME} (2)}$

Τώρα είναι: $\displaystyle{(1),(2)\rightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MA}{ME}}$ που από το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή δίνει την ζητούμενη παραλληλία.

Παραλληλία.png

Πολύ ωραία και λύση του νεαρού, Σωτήρη.

Νίκος

Ιστοσελίδα · #8

george visvikis έγραψε: Έστω η διχοτόμος και η διάμεσος τριγώνου . Αν η κάθετη από το στην τέμνει την

στο , να δείξετε ότι .

Καλημέρα. Συμφωνώ με το φίλο μου, το Νίκο Φραγκάκη, ότι οι λύσεις των ασκήσεων πρέπει να είναι σαφείς, ευανάγνωστες και να σέβονται τον αναγνώστη!

: Παραλληλία.png (64.7 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Από θεώρημα Μενελάου στο $\triangleleft BCZ$ με διατέμνουσα AEM

και θεώρημα διχοτόμου στο $\triangleleft ABC$ έχουμε:

$\dfrac{{AZ}}{{AC}} \cdot \dfrac{{CM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BE}}{{EZ}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{AZ = AB} \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{EZ}}{{EB}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{BM + DM}} = \dfrac{{EZ}}{{ZN + NE}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{BM + DM - BD}} = \dfrac{{EZ}}{{ZN + NE - EZ}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{2DM}} = \dfrac{{EZ}}{{2NE}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{DM}} = \dfrac{{EZ}}{{NE}}\mathop = \limits^{\Theta \alpha \lambda \eta } \dfrac{{AE}}{{EM}}\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau .\Theta \alpha \lambda \eta } ED\parallel AB$

Παραλληλία

Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Re: Παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση