Ορθογωνιακή κάλυψη

KARKAR · #1

: Ορθογωνιακή κάλυψη.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

Δύο ίσοι κύκλοι με ακτίνα

, εφάπτονται εξωτερικά . Περιβάλλουμε τους δύο κύκλους

με ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε:Ορθογωνιακή κάλυψη.pngΔύο ίσοι κύκλοι με ακτίνα , εφάπτονται εξωτερικά . Περιβάλλουμε τους δύο κύκλους

με ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου .

Αυτή η άσκηση με παίδεψε πολύ. Αποφάσισα λοιπόν, για διδακτικούς λόγους, να ανεβάσω τη λύση της σε τρία μέρη.

: Ορθογωνιακή κάλυψη.a.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Πρώτο Μέρος:
Έστω

το έγκεντρο του τριγώνου ABC

,

το εμβαδόν του και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Τότε $\boxed{r=s-a}$

Επειδή τα τρίγωνα IKL, IBC

είναι όμοια, ο λόγος των υψών τους θα ισούται με το λόγο ομοιότητας:

$\displaystyle{\frac{{KL}}{{BC}} = \frac{{IH}}{{IM}} \Leftrightarrow \frac{2}{a} = \frac{{r - 1}}{r} = \frac{{s - a - 1}}{{s - a}} \Leftrightarrow \frac{2}{a} = \frac{{b + c - a - 2}}{{b + c - a}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{a^2} = (a - 2)(b + c)}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle{{b^2} + {c^2} = {a^2} \Leftrightarrow {(b + c)^2} - 2bc = {a^2} \Leftrightarrow b + c = \sqrt {{a^2} + 4E} }$ . Αντικαθιστώντας στην (1)

έχουμε:

$\displaystyle{{a^2} + 4E = \frac{{{a^4}}}{{{{(a - 2)}^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{E(a) = \frac{{{a^3} - {a^2}}}{{{{(a - 2)}^2}}},a > 2}$

$\displaystyle{E'(a) = \frac{{a({a^2} - 6a + 4)}}{{{{(a - 2)}^3}}}}$ , οπότε παρουσιάζει για $\boxed{a = 3 + \sqrt 5 }$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{{E_{\min }} = \frac{{11 + \sqrt 5 }}{2} = 5\Phi + 3}$

Εδώ εμπλέκεται το "βίτσιο" του γεωμέτρη που θέλει ντε και καλά να επαληθεύσει το αποτέλεσμα με το σχήμα. Δυστυχώς δεν επαληθεύεται. Όποιος αποπειραθεί να κάνει το σχήμα, θα δει ότι δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με αυτές τις προδιαγραφές. Όποιος πάλι, δουλέψει με geogebra θα βρει άλλη τιμή για το ελάχιστο. Προφανώς η λύση "μπάζει". Πού είναι όμως το λάθος;

Την αφήνω ένα 24ωρο, μήπως κάποιο μέλος του θέλει να βρει το λάθος, η μήπως κάποιος θέλει να αναρτήσει τη σωστή λύση.

KARKAR · #3

Η εκφώνηση συνοδεύται από σχήμα , στο οποίο οι δύο κύκλοι εφάπτονται στην υποτείνουσα .

Η μελέτη του προβλήματος -και από το θεματοδότη - στηρίχθηκε σ' αυτήν την υπόθεση , όμως

η εκφώνηση δεν την επιβάλλει . Στην προσπάθεια να καλυφθούν και άλλες περπτώσεις ( όχι

όμως όλες ) αναρτήθηκαν και οι ομότιτλες ασκήσεις

( λύθηκε μαεστρικά από

το Γιώργο ) και

( άλυτη προς το παρόν ) , πάντως το ελάχιστο εκεί είναι μικρότερο

από εκείνο της περίπτωσης

. Φυσικά είναι απλό να δούμε ότι το ισοσκελές και

ορθογώνιο δίνει εμβαδόν $6+4\sqrt{2}\simeq 11.657$ , που νομίζω ότι είναι το

αποτέλεσμα . Ασφαλώς πρόκειται -τουλάχιστον -για λάθος επιλογή φακέλου

#4

Μέρος Δεύτερο: Μία διαφορετική προσέγγιση
Κρατάω από την προηγούμενη ανάρτησή μου του τύπους: $\boxed{r=s-a}$ και $\displaystyle{\frac{2}{a} = \frac{{r - 1}}{r} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = \frac{{2r}}{{r - 1}}}$

Επειδή τώρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, θα είναι $\displaystyle{E = s(s - a) = r(a + r) \Leftrightarrow }$ $\boxed{E(r) = \frac{{{r^3} + {r^2}}}{{r - 1}}}$ , r>1

.

Η συνάρτηση είναι απλή και εύκολα βρίσκουμε ότι παρουσιάζει ελάχιστο για $\boxed{r=\Phi}$ ίσο με $\boxed{{E_{\min }} = 5\Phi + 3}$

Παρατηρούμε ότι το λάθος ακολουθεί και αυτή την προσέγγιση. Μήπως όμως τώρα είναι πιο ορατό;

Το απογευματάκι θα δώσω την εξήγηση αυτού του μπλεξίματος (αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε).

#5

Μέρος τρίτο:
Έλυσα την άσκηση και με άλλους δύο τρόπους (δεν τους γράφω για να μην γίνω κουραστικός), αλλά το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο. Άλλαζαν οι συναρτήσεις,

αλλά η ελάχιστη τιμή παρέμενε ίδια $\boxed{5\Phi+3}$ . Αυτή η παρατήρηση με οδήγησε στην διαπίστωση ότι το λάθος δεν βρίσκεται στον τρόπο, αλλά στη μελέτη των συναρτήσεων. Και όταν το ακρότατο μιας συνάρτησης δεν είναι αυτά που φαίνεται, τι μπορεί να συμβαίνει; Πιθανόν η θέση του ακρότατου να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αυτός ο συλλογισμός ξεκλείδωσε την άσκηση.

: Ορθογωνιακή κάλυψη.b.png (19.72 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Υπενθυμίζω από την αμέσως προηγούμενή μου ανάρτηση ότι $\displaystyle{E(r) = \frac{{{r^3} + {r^2}}}{{r - 1}}}$ . Επειδή τα σημεία K, L

απέχουν από την

απόσταση ίση με

, τότε το έγκεντρο

θα απέχει της

απόσταση μεγαλύτερη του

. Άρα $\boxed{r>1}$ .

$\displaystyle{\omega + \varphi = {45^0} \Rightarrow \tan (\omega + \varphi ) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{r - 1}}{x} + \frac{{r - 1}}{{2 - x}}}}{{1 - \frac{{{{(r - 1)}^2}}}{{x(2 - x)}}}} = 1 \Leftrightarrow {r^2} = - {x^2} + 2x + 1 = - {(x - 1)^2} + 2 \le 2}$

Άρα $\boxed{1 < r \le \sqrt 2 }$ . Εύκολα τώρα, η συνάρτηση $\displaystyle{E(r)}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( {1,\sqrt 2 } \right]}$ , οπότε θα παρουσιάζει στο $\boxed{{{r_0} = \sqrt 2 }}$ ,

ολικό ελάχιστο ίσο με $\boxed{E\left( {\sqrt 2 } \right) = 6 + 4\sqrt 2 }$ . Προφανώς αυτό συμβαίνει όταν x=1

, δηλαδή το

είναι μέσο του

και κατά

συνέπεια το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ορθογωνιακή κάλυψη

Ορθογωνιακή κάλυψη

Re: Ορθογωνιακή κάλυψη

Re: Ορθογωνιακή κάλυψη

Re: Ορθογωνιακή κάλυψη

Re: Ορθογωνιακή κάλυψη

Μέλη σε σύνδεση