Παραβολές με ίδιο μήκος.

Iason · #1

Γεια σας, ψάχνω να βρω μια σχέση μεταξύ δύο παραβολών. Αν έχω ένα τμήμα παραβολής y=-ax^2+b

για $-\sqrt{\frac{b}{a}}<x<\sqrt{\frac{b}{a}}$ που "πατάει" στον άξονα

και το "πιέσω" ώστε να ανοίξει λίγο. Δηλαδή αν μεταβάλλω ελάχιστα το

και το

, ώστε και πάλι να έχει ίδιο μήκος και να "πατάει" στον

άξονα (σχήμα). Υπάρχει κάποια σχέση που μπορώ να βγάλω για τις μεταβολές;

Μια διαφορετική διατύπωση. Αν δεν κάνω λάθος στον υπολογισμό, το μήκος (

) της του τμήματος παραβολής y=f(x,a,b)

(ύψος

, φάρδος

) είναι:

$\displaystyle{L=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+16a^2}+\frac{b^2}{8a}ln\left( {\frac{4a+\sqrt{b^2+16a^2}}{b}} \right)}$

Αν εδώ θεωρώντας πως $\delta L=0$ , πάρω μεταβολές $\delta a$ , $\delta b$ και κάνω αναπτύγματα, αγνοώντας όρους της τάξης $\delta^{2}$ μπορώ να πάρω μια σχέση μεταξύ των μεταβολών που να σέβεται τις διαστάσεις; Γιατί όσο το προσπάθησα δε μπόρω. Κάνω κάτι λάθος; Υπάρχει μήπως κάτι απλούστερο που χάνω;

#2

Iason έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 02, 2023 2:34 am
... τμήμα παραβολής ...
...

τμήματος παραβολής (ύψος , φάρδος ) είναι:

Προσπαθώ να καταλάβω τι ακριβώς λες, αλλά προσκρούω σε κάποιοες ασάφειες.

Πρώτα απ' όλα θέλω να ρωτήσω αν έχεις αλλάξει συμβολισμό στα σημεία που σημείωσα. Για το δεύτερο βγάζω ότι η παραβολή είναι, όχι αυτή που γράφεις αρχικά αλλά, η $y= -\dfrac {4a}{b} x^2+a$ . Σωστά;

Με αυτό ως δεδομένο, ο τύπος του μήκους που γράφεις είναι σωστός, με χρήση του $L = \bigint _{-b/2}^{b/2} \sqrt {1+\left (\dfrac {dy}{dx} \right )^2}dx$ και πράξεις.

Αφού επιβεταιώσεις, θα συνεχίσω.

Πάντως ένας τρόπος να βρεις το $\delta L$ για μικρά $\delta a,\, \delta b$ είναι με χρήση του $\delta L \approx \dfrac {\partial L}{\partial a}\delta a+\dfrac {\partial L}{\partial b}\delta b$ από όπου αμέσως η σχέση των $\delta a,\, \delta b$ .

Iason · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 02, 2023 8:58 am

Πρώτα απ' όλα θέλω να ρωτήσω αν έχεις αλλάξει συμβολισμό στα σημεία που σημείωσα. Για το δεύτερο βγάζω ότι η παραβολή είναι, όχι αυτή που γράφεις αρχικά αλλά, η $y= -\dfrac {4a}{b} x^2+a$ . Σωστά;

Ναι έχω αλλάξει τον συμβολισμό στο δεύτερο. Η παραβολή είναι αυτή σωστά.
Παρέλειψα να διευκρινίσω πως γενικά ο τύπος της παραβολής δε χρειάζεται να είναι κάτι συγκεκριμένο. Το ερώτημα προκύπτει από μια κατασκευή σε σχήμα παραβολής που ισορροπεί με τα άκρα της στο δάπεδο (όπως στο σχήμα), μπορεί να καμφθεί ελάχιστα αν ασκήσω κατακόρυφα μια δύναμη στην κορυφή της. Και έχω τις μετρήσεις για το φάρδος

και το ύψος

. Δηλαδή το που θα είναι η αρχή του συστήματος το διαλέγω εγώ.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 02, 2023 8:58 am

Πάντως ένας τρόπος να βρεις το $\delta L$ για μικρά $\delta a,\, \delta b$ είναι με χρήση του $\delta L \approx \dfrac {\partial L}{\partial a}\delta a+\dfrac {\partial L}{\partial b}\delta b$ από όπου αμέσως η σχέση των $\delta a,\, \delta b$ .

Όντως με το $\delta L \approx \dfrac {\partial L}{\partial a}\delta a+\dfrac {\partial L}{\partial b}\delta b$ που προκύπτει $\dfrac{\delta a}{\delta b}=-\dfrac{\partial _{b} L}{\partial_{a} L}$ βγάζω κατευθείαν πως,

$\dfrac{\delta a}{\delta b}=\dfrac{\dfrac{bln(\dfrac{\sqrt{b^2+16a^2}+4a}{b})}{4a}}{\dfrac{b^2\sqrt{16a^2+b^2}\ln\left(\frac{\sqrt{16a^2+b^2}+4a}{b}\right)-64a^3-4b^2a}{8a^2\sqrt{16a^2+b^2}}}$

Απλά σκεφτόμουν αν μπορώ να πω

$\delta L=0=f(x,a-\delta a, b+\delta b)-f(x,a,b)= \displaystyle{\frac{1}{2}\sqrt{b^2+16a^2}+\frac{b^2}{8a}ln\left( {\frac{4a+\sqrt{b^2+16a^2}}{b}} \right)}-\displaystyle{\frac{1}{2}\sqrt{(b+\delta b)^2+16(a-\delta a)^2}+\frac{(b+\delta b)^2}{8(a-\delta a)}ln\left( {\frac{4a-4\delta a+\sqrt{(b+\delta b)^2+16(a-\delta a)^2}}{b+\delta b}} \right)}$

Να αγνοήσω όρους $\delta^{2}$ , και θεωρώντας κάποια αναπτύγματα πχ,
$\dfrac{1}{a-\delta a}\approx \dfrac{1}{a}+\dfrac{\delta a}{a^{2}}$
Να βγάλω μια σχέση λίγο πιο μαζεμένη αλλά μάλλον δε μπορώ και στην καλύτερη να καταλήξω στα ίδια. Πρόσεξα πως έχω ξεχάσει κάποια $\delta$ στις πράξεις μου μέσα στη ρίζα που δε μπορώ να τα αγνοήσω. Άρα θα πάω με τον τύπο.
Ευχαριστώ για την βοήθεια!

Iason · #4

Άρα μετά από αυτά φαντάζομαι είναι σωστό να πω πως για τη νέα παραβολή, ο συντελεστής της μπορεί να βρεθεί από το,
$y=-4\dfrac{a-\delta a}{b+\delta b}x^2+ \mathcal{O}(y_{0}) \approx -(4\dfrac{a}{b}-\delta b \dfrac{a}{b^2}-\delta a \dfrac{1}{b}) x^2+ \mathcal{O}(y_{0})$
Όπου στο big

βάζω τους όρους $y_{0}$ που αφορούν το σύστημα συντεταγμένων.

#5

Iason έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 02, 2023 4:51 pm
Όπου στο βάζω τους όρους $y_{0}$ που αφορούν το σύστημα συντεταγμένων.

.
Tι ακριβώς εννοείς με το παραπάνω; Το κοκκινισμένο;

Iason · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 02, 2023 6:15 pm
Tι ακριβώς εννοείς με το παραπάνω; Το κοκκινισμένο;

Α ναι σωστά συγγνώμη αυτοί οι όροι είναι το ύψος της παραβολής δεν έχουν κάποια σχέση με το σύστημα συντεταγμένων. Σκεφτόμουν πως αν την μετακινώ δεξιά αριστερά στον

άξονα, ο συντελεστής δε θα χαλάει.

Παραβολές με ίδιο μήκος.

Παραβολές με ίδιο μήκος.

Re: Παραβολές με ίδιο μήκος.

Re: Παραβολές με ίδιο μήκος.

Re: Παραβολές με ίδιο μήκος.

Re: Παραβολές με ίδιο μήκος.

Re: Παραβολές με ίδιο μήκος.

Μέλη σε σύνδεση