Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

#1

Στο χειμερινό εξάμηνο τέθηκε σε ένα μαθηματικό Τμήμα η εύρεση της εξίσωσης της κυλινδρικής επιφάνειας, που έχει οδηγό

την καμπύλη $\{z^3=x,x^2=y \}$ και γενέτειρες παράλληλες στο εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων (1,1,1), (2,3,2)

Επειδή αυτή την ενότητα δεν θυμάμαι όχι μόνο να την έχω διαβάσει ποτέ, αλλά και να την έχω διδαχθεί, έχω μαύρα σκοτάδια για τον τρόπο λύσης.

Από πείσμα κυρίως, αλλά και από περιέργεια, κάθισα να διαβάσω λίγο το όλο σκεπτικό .Λοιπόν :

(α) Βρήκα το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων .Βγάζω το (-1,0,1)

.

(β) Το τυχαίο σημείο (x,y,z)

της κυλινδρικής επιφάνειας βρίσκεται σε γενέτειρα , της οποία τα σημεία έχουν τη μορφή (x-t,y,z+t)

.

(γ) Αυτό το σημείο βρίσκεται στον οδηγό, οπότε θα ικανοποιεί τις δύο εξισώσεις.

(δ) Πώς θα κάνω ...κάπως φυσιολογικά την απαλοιφή του

από τις δύο εξισώσεις;

Με κάτι...αλχημείες, βρήκα ως απάντηση την εξίσωση της κυλ.επιφάνειας : $(x-\sqrt [6] y+z)^2=y$ , αλλά αυτό δείχνει πολύ περίεργο.

Αφήστε που ξέχασα τα απόλυτα σε κάποιο σημείο και η λύση είναι μερική.

Υπάρχει μήπως κάποια πιο απλή μέθοδος εύρεσης της εξίσωσης και ποια είναι άραγε η σωστή απάντηση ;

Ευχαριστώ προκαταβολικά !

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 07, 2021 11:48 am
Στο χειμερινό εξάμηνο τέθηκε σε ένα μαθηματικό Τμήμα η εύρεση της εξίσωσης της κυλινδρικής επιφάνειας, που έχει οδηγό

την καμπύλη $\{z^3=x,x^2=y \}$ και γενέτειρες παράλληλες στο εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων

Επειδή αυτή την ενότητα δεν θυμάμαι όχι μόνο να την έχω διαβάσει ποτέ, αλλά και να την έχω διδαχθεί, έχω μαύρα σκοτάδια για τον τρόπο λύσης.

Από πείσμα κυρίως, αλλά και από περιέργεια, κάθισα να διαβάσω λίγο το όλο σκεπτικό .Λοιπόν :

(α) Βρήκα το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων .Βγάζω το .

(β) Το τυχαίο σημείο της κυλινδρικής επιφάνειας βρίσκεται σε γενέτειρα , της οποία τα σημεία έχουν τη μορφή .

(γ) Αυτό το σημείο βρίσκεται στον οδηγό, οπότε θα ικανοποιεί τις δύο εξισώσεις.

(δ) Πώς θα κάνω ...κάπως φυσιολογικά την απαλοιφή του από τις δύο εξισώσεις;

Με κάτι...αλχημείες, βρήκα ως απάντηση την εξίσωση της κυλ.επιφάνειας : $(x-\sqrt [6] y+z)^2=y$ , αλλά αυτό δείχνει πολύ περίεργο.

Αφήστε που ξέχασα τα απόλυτα σε κάποιο σημείο και η λύση είναι μερική.

Υπάρχει μήπως κάποια πιο απλή μέθοδος εύρεσης της εξίσωσης και ποια είναι άραγε η σωστή απάντηση ;

Ευχαριστώ προκαταβολικά !

Μπάμπη καλησπέρα από Γρεβενά...

Για την κυλινδρική αυτή επιφάνεια δούλεψα με το λογισμικό geogebra και με τα παρακάτω σχήματα απαντώ
στο ερώτημά σου.

Σχήμα 1

: Κυλινδρική επιφάνεια 1.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 3068 φορές

Σχήμα 2

: Κυλινδρική επιφάνεια 2.png (24.9 KiB) Προβλήθηκε 3068 φορές

Σχήμα 3

: Κυλινδρική επιφάνεια 3.png (121.84 KiB) Προβλήθηκε 3068 φορές

Η επιφάνεια αυτή έχει παραμετρική μορφή:

$\displaystyle{(S)=\begin{Bmatrix} u^3-v \\ u^6 \\ u+v \end{Bmatrix}, \ \ u,v \in R}$

και προκύπτει από την παραλληλία της γεννέτειρας $\displaystyle{(l)}$ προς το διάνυσμα:
$\displaystyle{\overrightarrow{ OA}}$

Σχήμα 4

: Κυλινδρική επιφάνεια 4.png (163.54 KiB) Προβλήθηκε 3068 φορές

Μια άλλη όψη της κυλινδρικής αυτής επιφάνειας...

Κώστας Δόρτσιος

#3

Κώστα, χίλια ευχαριστώ για ΤΗΝ τόσο ωραία γεωμετρική παρουσίαση !

Μάλλον έτσι θα έπρεπε να παρουσιάζονται και τα μαθήματα στις σχολές αλλά και παντού.

Να είσαι γερός και καλό φθινόπωρο !

#4

Μπάμπη ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!
Να είσαι καλά και να περνάς όμορφα!

Συμπληρώνω κάτι ακόμα για την εύρεση της καρτεσιανής εξίσωσης της επιφάνειας $\displaystyle{(S)}$ .

Από την παραμετρική της μορφή που ανάφερα στην αρχική μου ανάρτηση, δηλαδή:

$\displaystyle{ (S) = \begin{pmatrix} x=u^3-v \\ y=u^6 \\ z=u+v \end{pmatrix} \ \ (1)}$

κάνοντας απαλοιφή των παραμέτρων $\displaystyle{u, v}$ προκύπτουν οι εξισώσεις:

$\displaystyle{z=\sqrt{y}+y^{1/6}-x, \ \ y\geq0 \ \ (2)}$

και

$\displaystyle{z=-\sqrt{y}-y^{1/6}-x, \ \ y\geq 0 \ \ (3) }$

Οι εξισώσεις αυτές είναι οι καρτεσιανές εξισώσεις της επιφάνειας αυτής.

Με τις εξισώσεις αυτές παίρνουμε τα δυο σχήματα:

1ο Σχήμα

: Κυλινδρική επιφάνεια 5.png (38.19 KiB) Προβλήθηκε 3034 φορές

2ο Σχήμα

: Κυλινδρική επιφάνεια 6.png (50.32 KiB) Προβλήθηκε 3034 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#5

Κώστα, τέλεια !

Σχεδόν συμφωνούμε και στις απαντήσεις. Απλά εγώ πρέπει να πάρω στη λύση μου και μία περίπτωση όταν βγάζω την έκτη ρίζα. Πιθανόν, αν τις μαζέψω όλες μαζί να πάρω αυτές που δίνεις και εσύ.

Σε χαιρετώ και καλό φθινόπωρο !!!

Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Re: Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Re: Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Re: Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Re: Εξίσωση κυλινδρικής επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση