Ασκήσεις στη Γεωμετρία

vzf · #21

Για την 8 ακόμα μια λύση στη διεύθυνση http://www.ilasic.org/IMAGE/ στο τεύχος 54 στη σελίδα 14.

#22

vzf έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 8: Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τέσσερα σημεία στον $\mathbb{R}^2$ που οι αποστάσεις τους είναι όλες περιττοί ακέραιοι.

http://artofproblemsolving.com/communit ... 94p3448266

Tolaso J Kos · #23

Άσκηση 15

Έστω $\gamma$ μία λεία καμπύλη στο επίπεδο μήκους $2\pi$ η οποία φράσει μια περιοχή εμβαδού

. Αποδείξτε ότι $A<\pi$ .

#24

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 15

Έστω $\gamma$ μία λεία καμπύλη στο επίπεδο μήκους $2\pi$ η οποία φράσει μια περιοχή εμβαδού . Αποδείξτε ότι $A<\pi$ .

Υποθέτω ότι η γνήσια ανισότητα $A< \pi$ είναι τυπογραφικό σφάλμα αφού ο κύκλος ακτίνας

έχει $L=2\pi$ και $A=\pi$ .

Με αυτό ως δεδομένο, το ζητούμενο είναι άμεσο από την ισοπεριμετρική ανισότητα, βλέπε π.χ.
εδώ.

Συγκεκριμένα ισχύει $4\pi A \le L^2$ , όπου

το εμβαδόν και

το μήκος της καμπύλης. Στην περίπτωσή μας $L=2\pi$ , από όπου $A\le \pi$ .

Αν θέλουμε απόδειξη της ισοπεριμετρικής (υπάρχουν διάφορες), η βιβλιογραφία έχει πολλές. Αν κάποιος δεν έχει δει καμία, ας προσπαθήσει να αποδείξει μόνος του το ωραίο αυτό θεώρημα. Μια ενδιαφέρουσα είναι με σειρές Fourier και άλλη είναι του Καραθεοδωρή.

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #25

Καλημέρα ας δούμε μία απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας με τη βοήθεια του θεωρήματος Green. Πάντως η απόδειξη με τις σειρές Fourier που έχω δει χρησιμοποιεί την ανισότητα Wirtinger που έχουμε δει στο θέμα Ασκήσεις στην Ανάλυση (άσκηση 27) σε μία παραλλαγμένη της μορφή.

$\begin{tikzpicture} \draw [ thick, dashed, decorate,decoration={snake,amplitude=0.3cm,segment length=0.3cm,post length=0.3cm}](-5, 0) -- (11,0); \end{tikzpicture}$

Παραμετρικοποιούμε τη καμπύλη $\gamma$ με σταθερή ταχύτητα $\ell /2\pi$ . (με $\ell$ δηλώνεται το μήκος της καμπύλης). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle \int_0^{2\pi} x(t)\, {\rm dt} =0$ . Τότε:

$\displaystyle{\frac{\ell^2}{2\pi}= \int_{0}^{2\pi}\left \| \gamma(t) \right \|^2 \, {\rm d}t= \int_{0}^{2\pi}\left [ x'(t)^2 + y'(t)^2 \right ]\, {\rm d}t }$

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν χρησιμοποιούμε το θεώρημα Green. Οπότε:

$\displaystyle{\iint \limits_{{\rm int}\gamma}{\rm d}x \, {\rm d}y =\int_{0}^{2\pi} x (t) y'(t)\, {\rm d}t}$

Τότε όμως έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell^2 - 4\pi A &=2\pi \int_{0}^{2\pi}\left [ x'(t)^2 + y'(t)^2 -2x(t)y'(t) \right ]\, {\rm d}t \\ &=2\pi \int_{0}^{2\pi}\left [ x'(t)^2 -x(t)^2 \right ]\, {\rm d}t +2\pi \int_{0}^{2\pi}\left [ y'(t)- x(t) \right ]^2 \, {\rm d}t\geq 0 \end{aligned}}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Tolaso J Kos · #26

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 9

Αποδείξτε ότι αν $\displaystyle{f:S\longrightarrow \mathbb{R}}$ είναι μια μη-μηδενιζόμενη και συνεχής πραγματική συνάρτηση , ορισμένη σε μια

συνεκτική επιφάνεια $\displaystyle{S}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^3}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στην $\displaystyle{S}$ .

Έστω $f(p)<0, \;\; f(q)>0$ για κάποια $p, q \in \mathbb{S}$ . Προφανώς $p \neq q$ διότι σε διαφορετική περίπτωση θα χαμε 0<f(p)=f(q)<0

το οποίο δίδει άτοπο. Εφόσον $p, q \in \mathbb{S}$ και $p \neq q$ και η επιφάνει $\mathbb{S}$ είναι συνεκτική υπάρχει μια συνεχής καμπύλη $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ πάνω στην $\mathbb{S}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\gamma(a)=p, \;\; \gamma(b)=q}$ (ή και το ανάποδο)

Ορίζουμε τη συνάρτηση $g=f\circ \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $g(t)=(f\circ \gamma)(t)= f(\gamma(t))$ και εύκολα βλέπουμε ότι είναι συνεχής στο [a, b]

. Επίσης $g(a)\cdot g(b)=f(\gamma(a))\cdot f(\gamma(b))=f(p)\cdot f(q)<0$ οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα $t_0\in(a,b)$ τέτοιο ώστε $g(t_0)=f(\gamma(t_0))=0$ όπου $\gamma(t_0) \in \mathbb{S}$ (άτοπο) διότι $f\neq 0$ .

Άρα η

δεν αλλάζει πρόσημο πάνω στην $\mathbb{S}$ .

BAGGP93 · #27

Ωραία Τόλη. Μια παρατήρηση. Η καμπύλη $\displaystyle{\gamma}$ ορίζεται στο $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ και παίρνει τιμές στην

$\displaystyle{S}$ , όχι στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

BAGGP93 · #28

Άσκηση 16 (Εύκολη αλλά με ωραίο συμπέρασμα)

Έστω $\displaystyle{S\subseteq \mathbb{R}^3}$ μια κανονική επιφάνεια και $\displaystyle{c:I\longrightarrow S}$ , όπου $\displaystyle{I}$

ένα ανοικτό διάστημα της πραγματικής ευθείας, μια γεωδαισιακή καμπύλη(λεία) της $\displaystyle{S}$ .

Αποδείξτε ότι η νόρμα της παραγώγου, $\displaystyle{\,\,\,||c^\prime||}$ , παραμένει σταθερή ( Το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό).

BAGGP93 · #29

Άσκηση 17 (Διαφορικές Μορφές)

Έστω $\displaystyle{f=\left(f_1,...,f_n\right):\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^n}$ μια διαφορίσιμη απεικόνιση. Συμβολίζουμε με

$\displaystyle{\left\{y_1,...,y_n\right\}}$ τις συντεταγμένες της εικόνας της $\displaystyle{f}$ και με $\displaystyle{\left\{x_1,...,x_n\right\}}$

τις συντεταγμένες του πεδίου ορισμού της $\displaystyle{f}$ . Αν $\displaystyle{\omega=\mathrm{d}y_1\,\land...\land\,\mathrm{d}y_{n}}$

(στοιχείο όγκου) , τότε $\displaystyle{f^{\star}\omega=\left(\det\,\mathrm{d}f\right)\,\mathrm{d}x_1\,\land...\land\,\mathrm{d}x_{n}}$

(Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητών)

Tolaso J Kos · #30

2 απλές στην αναλυτική γεωμετρία

Άσκηση 18

Έστω $(c)=F_1 \cap F_2$ όπου F_1 : x^2 +y^2 +z^2=16

και

. Να παραμετρικοποιηθεί η ορθή προβολή $\gamma$ της (c)

επί του επιπέδου συντεταγμένων Oxy

.

Άσκηση 19
Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό τη καμπύλη $\gamma: \{ xy=1, \; z=0 \}$ και γενέτειρες παράλληλες στην ευθεία των σημείων $A(1, 2, 3), \;\; B( 3, 1, 2)$ .

BAGGP93 · #31

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 17 (Διαφορικές Μορφές)

Έστω $\displaystyle{f=\left(f_1,...,f_n\right):\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^n}$ μια διαφορίσιμη απεικόνιση. Συμβολίζουμε με

$\displaystyle{\left\{y_1,...,y_n\right\}}$ τις συντεταγμένες της εικόνας της $\displaystyle{f}$ και με $\displaystyle{\left\{x_1,...,x_n\right\}}$

τις συντεταγμένες του πεδίου ορισμού της $\displaystyle{f}$ . Αν $\displaystyle{\omega=\mathrm{d}y_1\,\land...\land\,\mathrm{d}y_{n}}$

(στοιχείο όγκου) , τότε $\displaystyle{f^{\star}\omega=\left(\det\,\mathrm{d}f\right)\,\mathrm{d}x_1\,\land...\land\,\mathrm{d}x_{n}}$

(Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητών)

ΛΥΣΗ

Έστω $\displaystyle{p\in\mathbb{R}^{n}}$ και $\displaystyle{v_1,...,v_n\in(\mathbb{R}^{n})_{p}}$ .

Εξ' ορισμού

$\displaystyle{\begin{aligned}(f^{\star}\omega)_{p}(v_1,...,v_n)&=\omega_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_1),...,(\mathrm{d}f)_{p}(v_n))\\&=\left(\mathrm{d}y_1\,\land...\land\mathrm{d}y_n \right )_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_1),...,(\mathrm{d}f)_{p}(v_n))\\&=\begin{vmatrix} (\mathrm{d}y_1)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_1))&... &(\mathrm{d}y_1)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_n)) \\ ...& ... & ...\\ (\mathrm{d}y_n)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_1))&... & (\mathrm{d}y_n)_{f(p)}((\mathrm{d}f)_{p}(v_n)) \end{vmatrix}\,\,(I) \end{aligned}}$

όπου, για κάθε $\displaystyle{i\,,j\in\left\{1,...,n\right\}}$ ισχύει :

$\displaystyle{\mathrm{d}f)_{p}(v_{j})=\mathrm{d}f\cdot v_{j}=}$

$\displaystyle{=\left(\dfrac{\partial{f_1} }{\partial{x_1}}(p)\,(v_{j})_{1}+...+\dfrac{\partial{f_1} }{\partial{x_n}}(p)\,(v_{j})_{n},...,\dfrac{\partial{f_i} }{\partial{x_1}}(p)\,(v_{j})_{1}+...+\dfrac{\partial{f_i} }{\partial{x_n}}(p)\,(v_{j})_{n},...,\dfrac{\partial{f_n} }{\partial{x_1}}(p)\,(v_{j})_{1}+...+\dfrac{\partial{f_n} }{\partial{x_n}}(p)\,(v_{j})_{n} \right )}$

άρα :

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(\mathrm{d}y_{i}\right)_{f(p)}(\mathrm{d}f)_{p}(v_{j}))&=<\rm{grad}y_{i}(f(p)),(\mathrm{d}f)_{p}(v_{j}))>\\&=<e_{i},\mathrm{d}f\cdot v_{j}>\\&=\dfrac{\partial{f_i} }{\partial{x_1}}(p)\,(v_{j})_{1}+...+\dfrac{\partial{f_i} }{\partial{x_n}}(p)\,(v_{j})_{n},...,\end{aligned}}$

το οποίο είναι το $\displaystyle{i\,j}$ στοιχείο του πίνακα

$\displaystyle{(\mathrm{d}f)_{p}\cdot \begin{pmatrix} v_{1\,1}&... &v_{n\,1} \\ ...& ... & ...\\ v_{1\,n}&... & v_{n\,n} \end{pmatrix}}$

Έτσι, η σχέση $\displaystyle{(I)}$ δίνει :

$\displaystyle{(f^{\star}\omega)_{p}(v_1,...,v_n)=\rm{det}\left((\mathrm{d}f)_{p}\cdot \begin{pmatrix} v_{1\,1}&... &v_{n\,1} \\ ...& ... & ...\\ v_{1\,n}&... & v_{n\,n} \end{pmatrix}\right)=}$

$\displaystyle{=\rm{det}(\mathrm{d}f)_{p}\cdot \begin{vmatrix} v_{1\,1}&... &v_{n\,1} \\ ...& ... & ...\\ v_{1\,n}&... & v_{n\,n} \end{vmatrix}=}$

$\displaystyle{=\left(\rm{det}(\mathrm{d}f)_{p}\right)\,\left(\mathrm{d}x_1\,\land...\land \mathrm{d}x_n\right)_{p}(v_1,...,v_n)}$

αφού,

$\displaystyle{\begin{aligned} v_{ij}&=<e_{j},\left(v_{i\,1},...,v_{i\,j},...,v_{i\,n}\right)>\\&=<\rm{grad}x_{j}(p),\left(v_{i\,1},...,v_{i\,j},...,v_{i\,n}\right)>\\&=\left(\mathrm{d}x_j\right)_{p}(v_{i})\end{aligned}}$

για $\displaystyle{i\,,j\in\left\{1,...,n\right\}}$

και συνεπώς : $\displaystyle{f^{\star}\omega=\left(\rm{det}\mathrm{d}f\right)\,\mathrm{d}x_1\,\land...\land\mathrm{d}x_n}$ .

Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Re: Ασκήσεις στη Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση