Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύνολο

TrItOs · #1

Πρόβλημα:
Έστω $\displaystyle{S}$ υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{E}^{n}}$ .
Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία που δεν είναι συνευθειακά
και υποθέτουμε ότι για κάθε τρία μη-συνευθειακά σημεία $\displaystyle{x , y , z}$ στο

υπάρχει ένα μοναδικό σημείο

στο

τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overline{xp} \text{ , } \overline{yp}}$ και $\displaystyle{\overline{zp}}$ να εμπεριέχονται στο

.
Αποδείξτε ότι ο πυρήνας του

αποτελείται από ένα μοναδικό σημείο.
Ο πυρήνας του

ορίζεται ως $\ker(S) = \big \{ x \in S : \overline{x y} \in S , \forall y \in S \big \}$ .

Λύση:
Ο πυρήνας του συνόλου

είναι $\displaystyle{K = \ker(S) = \big \{ x \in S : \overline{x y} \in S , \forall y \in S \big \}}$ .
Ξέρουμε ότι: το $\displaystyle{K}$ είναι κυρτό σύνολο.
Δεδομένου ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία $\displaystyle{x , y , z \in S}$ που δεν είναι συνευθειακά, τότε υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{p \in S}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overline{p x} \text{ , } \overline{p y} \text{ , } \overline{p z} \in S}$ .

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι: $\displaystyle{|K| \geqslant 2}$ .
Έστω $\displaystyle{a , b \in K}$ .
Αλλά τότε $\displaystyle{ \begin{cases} \overline{a x} \text{ , } \overline{a y} \text{ , } \overline{a z} \in S \\ \\ \overline{b x} \text{ , } \overline{b y} \text{ , } \overline{b z} \in S \end{cases}}$ ,
το οποίο είναι αντίφαση, επειδή υπάρχει ένα μοναδικό $\displaystyle{p}$ με αυτή την ιδιότητα.

Άρα $\displaystyle{| K | \leqslant 1 \Longrightarrow K = \varnothing}$ ή $\displaystyle{| K | = 1}$ .

Υποθέτουμε διας της ατόπου ότι: $\displaystyle{K = \varnothing \Longrightarrow \forall u \in S : \exists v \in S , \overline{u v} \notin S}$ .
Η ερώτησή μου είναι: Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{|K|=1}$ ;
Σκέφτηκα ότι $\displaystyle{p \in K}$ , αλλά είναι σωστό;

Μπορείτε να βοηθήσετε με την λύση του προβλήματος; Ευχαριστώ πολύ!

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 2:08 am
...
Σκέφτηκα ότι $\displaystyle{p \in K}$ , αλλά είναι σωστό;[/b]

Μπορείτε να βοηθήσετε με την λύση του προβλήματος; Ευχαριστώ πολύ!

Και βέβαια είναι σωστό. Εξ υποθέσεως!

Σου σημειώνω που το έχεις υποθέσει.

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 2:08 am

Έστω $\displaystyle{S}$ υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{E}^{n}}$ .
Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία που δεν είναι συνευθειακά
και υποθέτουμε ότι για κάθε τρία μη-συνευθειακά σημεία $\displaystyle{x , y , z}$ στο
υπάρχει ένα μοναδικό σημείο στο τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overline{xp} \text{ , } \overline{yp}}$ και $\displaystyle{\overline{zp}}$ να εμπεριέχονται στο .

Το τελευταίο ακριβώς λέει ότι (εξ ορισμού) $p\in K$ .

TrItOs · #3

Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι $p \in \ker(S)$ δηλαδή, $\overline{pw} \in S$ για κάθε $w \in S$ .

Το οποίο δεν το έχουμε αποδείξει...και δεν το υποθέτουμε, οπότε χρειάζεται απόδειξη...

#4

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2024 5:08 pm
Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι $p \in \ker(S)$ δηλαδή, $\overline{pw} \in S$ για κάθε $w \in S$ .

Το οποίο δεν το έχουμε αποδείξει...και δεν το υποθέτουμε, οπότε χρειάζεται απόδειξη...

Μάλλον κάτι δεν βλέπεις σωστά.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια. Ξαναλέω εμφατικά ότι στην εκφώνηση του προβλήματος ΕΧΕΙΣ υποθέσει ότι υπάρχει το

.

Το ξαναγράφω εδώ με κοπή αντιγραφή από το προηγούμενο. Πέρα από αυτό δεν μπορώ να κάνω τίποτα άλλο:

Έστω $\displaystyle{S}$ υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{E}^{n}}$ .
Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τουλάχιστον τρία σημεία που δεν είναι συνευθειακά
και υποθέτουμε ότι για κάθε τρία μη-συνευθειακά σημεία $\displaystyle{x , y , z}$ στο

υπάρχει ένα μοναδικό σημείο

στο

τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overline{xp} \text{ , } \overline{yp}}$ και $\displaystyle{\overline{zp}}$ να εμπεριέχονται στο

.

Το τελευταίο ακριβώς λέει ότι (εξ ορισμού) $p\in K$ .

TrItOs · #5

Λέω ότι πρέπει να αποδείξουμε: $\overlin{pw} \in S , \forall w \in S$ . Αυτό το

έχει προκύψει επειδή το

έχει τουλάχιστον τρία σημεία. Γιατί αυτό απαραίτητα ανήκει στο

?
Γιατί ισχύει αυτό;
Δεν μπορώ να καταλάβω.
Σας ευχαριστώ.

Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύνολο

Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύνολο

Re: Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύν

Re: Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύν

Re: Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύν

Re: Τρία μη-συνευθειακά σημεία, υπάρχει μοναδικό σημείο που περιέχει τα τμήματα στο σύνολο, τότε ο πυρήνας είναι μονοσύν

Μέλη σε σύνδεση