Διαφορική Γεωμετρία

andromeda.pappa · #1

Πώς μπορώ να υπολογίσω το

' (όπου

το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα) μιας φυσικά παραμετροποιημένης καμπύλης αν η καμπυλότητα της είναι 3?
Ξέρω οτι $T=\beta'(s)\,, \kappa=\|\beta''(s)\|$ , όπου $\beta$ είναι η φυσικά παραμετροποιημένη καμπύλη και $\kappa$ η καμπυλότητα.

#2

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 4:22 pm
Πώς μπορώ να υπολογίσω το ' (όπου το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα) μιας φυσικά παραμετροποιημένης καμπύλης αν η καμπυλότητα της είναι 3?
Ξέρω οτι $T=\beta'(s)\,, \kappa=\|\beta''(s)\|$ , όπου $\beta$ είναι η φυσικά παραμετροποιημένη καμπύλη και $\kappa$ η καμπυλότητα.

Η καμπύλη είναι στον $\mathbb{R}^2$ ή στον $\mathbb{R}^3$ ;

andromeda.pappa · #3

Νομίζω στον χώρο αλλά η ερώτηση δεν το διευκρίνιζε (είναι από παλιά προφορική εξέταση του μαθήματος)

#4

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 4:47 pm
Νομίζω στον χώρο αλλά η ερώτηση δεν το διευκρίνιζε (είναι από παλιά προφορική εξέταση του μαθήματος)

Αν είναι στον χώρο τότε, αν δεν δίνεται και η στρέψη της καμπύλης, υπάρχουν αρκετές καμπύλες με σταθερή καμπυλότητα (η έλικα είναι μια από αυτές). Αν είναι στο επίπεδο, τότε η απάντηση είναι απλή, αλλά προτιμώ να μην την δώσω. Μπορείς να την βρεις;

andromeda.pappa · #5

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 4:59 pm

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 4:47 pm
Νομίζω στον χώρο αλλά η ερώτηση δεν το διευκρίνιζε (είναι από παλιά προφορική εξέταση του μαθήματος)
Αν είναι στον χώρο τότε, αν δεν δίνεται και η στρέψη της καμπύλης, υπάρχουν αρκετές καμπύλες με σταθερή καμπυλότητα (η έλικα είναι μια από αυτές). Αν είναι στο επίπεδο, τότε η απάντηση είναι απλή, αλλά προτιμώ να μην την δώσω. Μπορείς να την βρεις;

Νομίζω ότι $\left \| T' \right \|=\left \| \beta '' \right \|=\kappa= 3$

#6

1) Για να έχει νόημα η ερώτηση θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι πρόκειται για καμπύλη στον $\mathbb{R}^2$ .

2) Η απάντηση

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 5:43 pm
Νομίζω ότι $\left \| T' \right \|=\left \| \beta '' \right \|=\kappa= 3$

μας λέει μόνο κάτι για το μέτρο του $\left \| T' \right \|$ . Όμως θέλουμε την εξίσωση του εφαπτόμενου διανύσματος T(s)

!

Υπόδειξη: Αποδεικνύεται* ότι αν μια κανονική, δυο φορές διαφορίσιμη, επίπεδη καμπύλη έχει σταθερή θετική καμπυλότητα, τότε είναι τμήμα κύκλου.
(Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα).

Μπορείς, τώρα, να βρεις την εξίσωση του εφαπτόμενου διανύσματος T(s)

;

(*) όχι πολύ εύκολα. Αν χρειαστεί θα δώσουμε μια απόδειξη αργότερα.

andromeda.pappa · #7

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 6:45 pm
1) Για να έχει νόημα η ερώτηση θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι πρόκειται για καμπύλη στον $\mathbb{R}^2$ .

2) Η απάντηση
andromeda.pappa έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 5:43 pm
Νομίζω ότι $\left \| T' \right \|=\left \| \beta '' \right \|=\kappa= 3$
μας λέει μόνο κάτι για το μέτρο του $\left \| T' \right \|$ . Όμως θέλουμε την εξίσωση του εφαπτόμενου διανύσματος !

Υπόδειξη: Αποδεικνύεται* ότι αν μια κανονική, δυο φορές διαφορίσιμη, επίπεδη καμπύλη έχει σταθερή θετική καμπυλότητα, τότε είναι τμήμα κύκλου.
(Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα).

Μπορείς, τώρα, να βρεις την εξίσωση του εφαπτόμενου διανύσματος ;

(*) όχι πολύ εύκολα. Αν χρειαστεί θα δώσουμε μια απόδειξη αργότερα.

Αφού θα είναι τμήμα κύκλου τότε νομίζω ισχύει το παρακάτω

$b(s) = (rcos(\frac{s}{r})+x0, rsin(\frac{x}{r})+y0)$
$T(s) ={b}'(s) =(-sin(\frac{s}{r}) , cos(\frac{x}{r}))$

Όπου,

$r=\frac{1}{\kappa }$

#8

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:30 am
Αφού θα είναι τμήμα κύκλου τότε νομίζω ισχύει το παρακάτω

$b(s) = (rcos(\frac{s}{r})+x0, rsin(\frac{x}{r})+y0)$
$T(s) ={b}'(s) =(-sin(\frac{s}{r}) , cos(\frac{x}{r}))$

Όπου,

$r=\frac{1}{\kappa }$

Σωστά.

andromeda.pappa · #9

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:37 am

andromeda.pappa έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:30 am
Αφού θα είναι τμήμα κύκλου τότε νομίζω ισχύει το παρακάτω

$b(s) = (rcos(\frac{s}{r})+x0, rsin(\frac{x}{r})+y0)$
$T(s) ={b}'(s) =(-sin(\frac{s}{r}) , cos(\frac{x}{r}))$

Όπου,

$r=\frac{1}{\kappa }$
Σωστά.

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια!

Διαφορική Γεωμετρία

Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Re: Διαφορική Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση