Ένα όμορφο πρόβλημα με εφαρμογή

Μαρία Σαμπάνη · #1

Εστωσαν $\displaystyle{{{\rm{{\rm P}}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{{\rm P}}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}{{\rm{{\rm P}}}_{\rm{3}}}{\rm{ \kappa \alpha \iota }}{{\rm{Q}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{Q}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}{{\rm{Q}}_{\rm{3}}}}$ σημεία σε μια σφαίρα. Να δειχθεί οτι είναι αδύνατο να ενώσουμε κάθε $\displaystyle{{{\rm{{\rm P}}}_i}}$ με κάθε $\displaystyle{{{\rm{Q}}_i}}$ με 9 καμπύλες της σφαίρας οι οποίες τέμνονται μόνο στα δοθέντα σημεία.

#2

Κλασικότατο πρόβλημα αλλά ίσως η απόδειξη να μην είναι όσο γνωστή θα έπρεπε.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο του Euler που λέει ότι αν έχουμε

κορυφές,

ακμές και

χωρία τότε (στην περίπτωση που το γράφημα είναι συνεκτικό) είναι V-E+F = 2

. Επειδή είναι V=6

και

λαμβάνουμε F=5

.

Μετράμε τα ζεύγη (e,f)

όπου

μια ακμή που ανήκει στην περιφέρεια ενός χωρίου

. Επειδή κάθε ακμή ανήκει σε δύο χωρία, τότε έχουμε 2e=18

τέτοια ζεύγη. Όμως κάθε χωρίο έχει στην περιφέρειά του τουλάχιστον τέσσερις ακμές (*) οπότε θα έχουμε και τουλάχιστον 4f = 20

ζεύγη, άτοπο.

(*) Οι κορυφές της περιφέρειας ενός χωρίου εναλλάσσονται μεταξύ των P_i

και

. Οπότε στην περιφέρεια του χωρίου πρέπει να έχουμε άρτιο αριθμό από κορυφές και άρα και από ακμές.

sakis1963 · #3

Χαιρετώ.
Η εκλαϊκευμένη εκδοχή του κλασικού αυτού προβλήματος είναι :
Εχουμε τρεις κατοικίες σε μια νέα γειτονιά.
Μπορούμε να τις τροφοδοτήσουμε με ηλ. ρεύμα, νερό, τηλέφωνο χωρίς να διασταυρωθούν τα δίκτυα;
Αν η γη μας είχε σχήμα 'σαμπρέλας' (torus) NAI!

Φιλικά Σάκης

υ.γ. Ισως ο Δημήτρης να έχει και μια μαθηματική λύση γι'αυτό

Ένα όμορφο πρόβλημα με εφαρμογή

Ένα όμορφο πρόβλημα με εφαρμογή

Re: Ένα όμορφο πρόβλημα με εφαρμογή

Re: Ένα όμορφο πρόβλημα με εφαρμογή

Μέλη σε σύνδεση