Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (1)

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Χαιρετίζω όλα τα μέλη του

με τρεις διοφαντικές
Να βρείτε τους ακεραίους x , y σε κάθε εξίσωση :

$A) \left(1+\frac{1}{x} \right)\left(1+\frac{1}{y} \right)=1 B) \left(1+\frac{1}{x} \right)\left(1+\frac{1}{y} \right)=2 \Gamma ) \left(1+\frac{1}{x} \right)\left(1+\frac{1}{y} \right)=3$

stavros11 · #2

Δεν ξέρω καθόλου θεωρία πάνω σε αυτού του είδους τις εξισώσεις, αλλά θα κάνω μία προσπάθεια. Συγγνώμη εκ των προτέρων για κάποιο λάθος.

Α) Ο μόνος δυνατός τρόπος να βγει το 1 με γινόμενο των συγκεκριμένων παρενθέσεων είναι 1=2*0,5. Το 1*1 και το (-1)*(-1) αποκλείονται, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να βγάλουμε 1 και -1 από τις παρενθέσεις αν x και y ακέραιοι. Επίσης η μέγιστη τιμή τον παρενθέσεων είναι 2 (αφού η μέγιστη τιμή των κλασμάτων είναι 1), άρα δεν μπορούμε να βγάλουμε ζεύγη με ακέραιο μεγαλύτερο του 2 (πχ. 1=5*0,2).
Άρα οι λύσεις είναι x=1, y=-2 ή x=-2, y=1

Β) Δεν βρίσκω κάποια ακέραια λύση. Αν χρησιμοποιηθεί ρητός (θετικός αλλά μικρότερος του 1) όπως στο Α), θα πρέπει ο άλλος παράγοντας να είναι μεγαλύτερος του 2 που δεν γίνεται. Άρα τα μόνα ζευγάρια είναι 2=2*1 και 2=(-2)*(-1), αλλά οι εξίσωσεις $1+\frac{1}{x}=1 , 1+\frac{1}{x}=-2 , 1+\frac{1}{x}=-1$ δεν έχουν ακέραιες λύσεις.

Γ) x=1, y=2 ή x=2, y=1

#3

Σταύρο,

Ας σου δώσω μια υπόδειξη για να λύσεις τις ασκήσεις:

(α) Αν κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα στις παρενθέσεις και μετά τις πράξεις στο (α) (δηλ. χιαστί, κ.τ.λ.) θα πάρεις....(συμπλήρωσε την απάντηση), δηλ. άπειρες λύσεις.

(β) Ομοίως μετά τις πράξεις θα πάρεις (x-1)(y-1)=2

(καλό θα είναι να μη με πιστέψεις και να το δείξεις).
Πώς μπορούμε να γράψουμε το 2 ως γινόμενο ακεραίων; Η απάντηση θα σου δώσεις τις λύσεις.

(γ) Πάλι κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε x+y+1=2xy

ή ισοδύναμα (x-1)(y-1)+xy=2

την οποία θα σε αφήσω να λύσεις εσύ (υπάρχει ένας σύντομος τρόπος αν γνωρίζει κανείς ότι δυο διαδοχικοί ακέραιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, αλλά ίσως βρείς άλλο τρόπο εσύ).

Αλλοιώς, από την x+y+1=2xy

μπορείς να δείξεις ότι $y=\frac{x+1}{2x-1}$ κ.ο.κ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

stavros11 · #4

Καταρχήν ευχαριστώ για τις υποδείξεις... Απ' ότι κατάλαβα ο τρόπος να βρούμε τα πιθανά ζεύγη είναι λάθος αν οι παρενθέσεις μπορούν να πάρουν ρητές (και όχι ακέραιες τιμές), γιατί υπάρχουν πολλά ζευγάρια.

achilleas έγραψε:(α) Αν κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα στις παρενθέσεις και μετά τις πράξεις στο (α) (δηλ. χιαστί, κ.τ.λ.) θα πάρεις....(συμπλήρωσε την απάντηση), δηλ. άπειρες λύσεις.

$(\frac{x+1}{x})(\frac{y+1}{y})=\frac{xy+x+y+1}{xy}$
Άρα η εξίσωση γίνεται:
$xy+x+y+1=xy\Rightarrow x+y=-1$
Άπειρες λύσεις αρκεί το y να είναι κατά 1 μικρότερο από το αντίθετο του x ή το αντίθετο. Απορρίπτονται οι λύσεις x=0, y=-1 και x=-1, y=0 γιατί οι μεταβλητές είναι στον παρονομαστή.

achilleas έγραψε:(β) Ομοίως μετά τις πράξεις θα πάρεις (καλό θα είναι να μη με πιστέψεις και να το δείξεις).
Πώς μπορούμε να γράψουμε το 2 ως γινόμενο ακεραίων; Η απάντηση θα σου δώσεις τις λύσεις.

Τα κλάσματα είναι όμοια με τα από πάνω, άρα έχουμε:
$xy+x+y+1=2xy \Rightarrow x+y-xy+1=0 \Rightarrow x+y-xy-1=-2 \Rightarrow -x(y-1)+(y-1)=-2 \Rightarrow (1-x)(y-1)=-2 \Rightarrow (x-1)(y-1)=2$

Και οι λύσεις είναι:
$2=2*1\Rightarrow x=3,y=2$
$2=(-2)*(-1) \Rightarrow x=-1, y=0$ Απορρίπτεται γιατί το y είναι σε παρονομαστή.

achilleas έγραψε:(γ) Πάλι κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε ή ισοδύναμα την οποία θα σε αφήσω να λύσεις εσύ (υπάρχει ένας σύντομος τρόπος αν γνωρίζει κανείς ότι δυο διαδοχικοί ακέραιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, αλλά ίσως βρείς άλλο τρόπο εσύ).

Αλλοιώς, από την μπορείς να δείξεις ότι $y=\frac{x+1}{2x-1}$ κ.ο.κ.

Η εξίσωση γίνεται:
$xy+x+y+1=3xy \Rightarrow x+1=3xy-xy-y \Rightarrow x+1=2xy-y \Rightarrow x+1=(2x-1)y \Rightarrow y=\frac{x+1}{2x-1}$

Ο y είναι ακέραιος, άρα πρέπει αν x>0 $2x-1|x+1 \Rightarrow 2x-1<x+1 \Rightarrow x<2$ . Επίσης το x δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές εκτός από το -1, γιατί μετά την απλοποίηση των προσήμων, ο αριθμητής θα είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, άρα το y δεν θα είναι ακέραιος.

Τελικά οι λύσεις είναι:
x=1, y=2
x=0, y=-1 απορρίπτεται γιατί το x είναι σε παρονομαστή
x=-1, y=0 επίσης απορρίπτεται γιατί το y είναι σε παρονομαστή

#5

Σταύρο, πολύ ωραία ως εδώ!!

Απλά να σου θυμήσω ότι δεν πρέπει να ξεχάσουμε στο τέλος ότι τα ζεύγη με x=0

ή

απορρίπτονται (γιατί;)

Θα σου αφήσω τη χαρά να ολοκληρώσεις το πρόβλημα εσύ., δηλ. κυρίως το μέρος Γ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

stavros11 · #6

achilleas έγραψε:Σταύρο, πολύ ωραία ως εδώ!!

Απλά να σου θυμήσω ότι δεν πρέπει να ξεχάσουμε στο τέλος ότι τα ζεύγη με ή απορρίπτονται (γιατί;)

Θα σου αφήσω τη χαρά να ολοκληρώσεις το πρόβλημα εσύ., δηλ. κυρίως το μέρος Γ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστώ για την βοήθεια.
Ναι απορρίπτονται γιατί είναι στους παρονομαστές... Το είχα ξεχάσει. Θα τροποποιήσω το παραπάνω ποστ με τις τελικές λύσεις για να μην τα ξαναβάζω από κάτω.

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #7

Ο διάλογος που αναπτύσσεται μέσα από το

είναι το πραγματικό όφελος για όλους μας αγαπητέ Σταύρο από την πανέμορφη Ρόδο.
Σε ότι αφορά αυτήν την σειρά ασκήσεων οι υποδείξεις του Αχιλλέα είναι εύστοχα διατυπωμένες
και σε οδηγούν όχι μόνο στη λύση αλλά και στο πως πρέπει να σκεφτείς.
Λίγο αργότερα θα δώσω και εγώ λύση (αν χρειαστεί).

stavros11 · #8

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Ο διάλογος που αναπτύσσεται μέσα από το είναι το πραγματικό όφελος για όλους μας αγαπητέ Σταύρο από την πανέμορφη Ρόδο.

Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος που αποφάσισα να γράφω στο forum. Σας παρακολουθούσα το χειμώνα που έδινα στους διαγωνισμούς της ΕΜΕ και βρήκα πολλές ασκήσεις. Τελικά αποφάσισα να γίνω κι εγώ μέλος, γιατί σίγουρα κάτι θα μου δώσει και απ' ότι φαίνεται ήδη έχω αρχίσει να μαθαίνω. Δυστυχώς δεν είχα την δυνατότητα να έχω μεγάλες γνώσεις σε θεωρία για ασκήσεις πέρα από το σχολικό επίπεδο γιατί μέχρι πέρσι που πήρα μέρος για πρώτη φορά σε διαγωνισμό της ΕΜΕ (στην Β' Γυμνασίου κακώς δεν είχα δώσει) δεν είχα ασχοληθεί με εξωσχολικά Μαθηματικά. Τελικά πήρα μέρος στην Γ' Γυμνασίου το χρόνο που μας πέρασε, έφτασα στον Αρχιμήδη. Ανέβηκα στην Αθήνα, δεν προκρίθηκα, αλλά αυτό με έκανε να ασχοληθώ με τα Μαθηματικά. Ένας καθηγητής κάνει μαθήματα εδώ στη Ρόδο για παιδιά που ενδιαφέρονται, τα οποία παρακολουθώ και τα υπόλοιπα τα μαθαίνω όσο μπορώ από βιβλία και από εσάς.

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #9

Συγχαρτήρια Στάυρο για την διάκρισή σου στον Αρχιμήδη

Μέσα από το

θα ανταλάσσουμε απόψεις και ιδέες ...ασκήσεις και λύσεις...
Να δώσω συνοπτικά κάποιες λύσεις ...
Σε κάθε περίπτωση πρέπει $x\neq 0 \kappa \alpha \iota y\neq 0$
Για το α) απειρία λύσεων της μορφής ( x , y ) = ( x , - x - 1 ) με x διαφορετικό των 0 , -1
Για το β) μετά από πράξεις (x-1)(y-1)=2 άρα
x-1 = 1 και y-1 = 2 ή
x-1 = -1 και y-1 =-2 ή
x-1 = 2 και y-1 =1 ή
x-1 =-2 και y-1 =-1
τελικά (x,y) = (2,3) ή (3,2) .
Για το γ) μετά από πράξεις xy+(x-1)(y-1)=2(*)
και εδώ μια προσέγγιση διασφορετική :
Αν ήταν x=y τότε οδηγούμαστε στην 2x² - 2x - 1 = 0 η οποία δεν έχει ακέραιες λύσεις
Άρα $x\neq y$ .
(i) Έστω x < y . Άρα $x-1<x\leq y-1<y$
Αν 0< x-1 τότε (x-1)(y-1)<xy άρα 2(x-1)(y-1)<xy+(x-1)(y-1)=2 άρα (x-1)(y-1)<1 άτοπο
άρα χ= 1 ή x < 0
Για χ=1 , y =2 (δεκτό)
Για x < 0 , ελέγχουμε το y .
Το y > 1 δεν μπορεί να ισχύει γιατί η (*) έχει μέλη διαφορετικού προσήμου .
Άρα y = 1 ή y < 0
Για y = 1 προκύπτει από (*) x = 2 , άτοπο αφού έχουμε δεχτεί ότι x < y .
Aν y < 0 τότε (x-1)(y-1)>xy άρα 2 = xy+(x-1)(y-1) > 2xy άρα xy <1 που είναι πάλι άτοπο .
Οπότε λόγω συμμετρίας τα ζεύγη λύσεων είναι (x , y ) = (1,2) ή (2,1)

#10

Μια άλλη προσέγγιση για το Γ).

achilleas έγραψε: (γ) Πάλι κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε ή ισοδύναμα (*) την οποία θα σε αφήσω να λύσεις εσύ (υπάρχει ένας σύντομος τρόπος αν γνωρίζει κανείς ότι δυο διαδοχικοί ακέραιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, αλλά ίσως βρείς άλλο τρόπο εσύ).
...

Από την (*) και το παραπάνω σχόλιο μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας και λόγω συμμετρίας να υποθέσουμε ότι o

είναι άρτιος κι (άρα αναγκαστικά) ο

περιττός με x=2a

και

.

Τότε η (*) γράφεται $\displaystyle{(2a-1)2b+2a(2b+1)=2}$ που μετά τις πράξεις μας δίνει $\displaystyle{a-b=1}$ , οπότε $\displaystyle{x-1=y}$ .

Συνεπώς, η (*) γράφεται $\displaystyle{y(y-1)+(y+1)y=2}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{y^2=1}$ . Αφού $x\ne 0$ , είναι $y\ne -1$ , οπότε αναγκαστικά y=1

και

.

Λόγω συμμετρίας, παίρνουμε το άλλο ζευγάρι (x,y)=(1,2)

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (1)

Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (1)

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση