Διαιρούν...
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρούν...
Καλησπέρα σε όλους.
Αρχικά, είναι προφανές ότι όλα τα ζεύγη με θετικό ακέραιο είναι λύσεις. Στο εξής, υποθέτουμε ότι .
Έστω . Παίρνουμε και με . Οι πρώτες δύο διαιρετότητες δίνουν και , και αφού έχουμε ότι . Έστω, με θετικό ακέραιο.
Η τρίτη διαιρετότητα γράφεται . Είναι, , άρα , οπότε και . Αφού και , προκύπτει ότι (1).
Επιπλέον, , οπότε όπως πριν προκύπτει ότι (2).
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Περίπτωση 1: . Τότε, , άτοπο.
Περίπτωση 2: . Τότε, αφού , έχουμε και . Εύκολα λοιπόν έχουμε την λύση .
Περίπτωση 3: . Τότε, έχουμε:
Αν , τότε από την (1) προκύπτει ότι . Επίσης από την (2) προκύπτει ότι . Θεωρούμε το τριώνυμο , με παράγωγο (εδώ έχουμε σταθεροποιήσει το ), η οποία για είναι αρνητική, καθώς
. Οπότε η για φθίνει.
Επομένως, , άτοπο.
Αν , τότε η (1) γράφεται . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
. Τότε, , απ' όπου εύκολα έχουμε ότι , δηλαδή .
. Τότε, . Τώρα θεωρούμε ξανά το τριώνυμο με παράγωγο , οπότε η φθίνει για . Συνεπώς,
, άτοπο.
Συνοψίζοντας λοιπόν, λύσεις τα ζεύγη και με θετικό ακέραιο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες