Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1368: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός , ώστε ο αριθμός:
να διαιρείται με το .
να διαιρείται με το .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Για να κλείνει.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 30, 2017 9:45 pmΑΣΚΗΣΗ 1368: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός , ώστε ο αριθμός:
να διαιρείται με το .
Γράφω λύση ουσιαστικά με modulo αλλά χρησιμοποιώ πιο απλή γλώσσα για διευκόλυνση νεαρότερων μαθητών.
Αν ο αριθμός διαιρείται με το τότε θα διαιρείται και με το . Γράφοντας διαδοχικά , θα διαπιστώνουμε ότι ο είναι αντίστοιχα της μορφής (άμεσο με πράξεις). To μόνο πολλαπλάσιο του προέρχεται από τον , οπότε επικεντρωνόμαστε σε αυτόν.
Για έχουμε
που βέβαια δεν είναι πολλαπλάσιο του .
Με άλλα λόγια κανείς αριθμός της μορφής δεν είναι πολλαπλάσιο του .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1369 Να λυθεί το σύστημα:
(Η άσκηση είναι από παλιό μαθηματικό διαγωνισμό ξένου Κράτους)
(Η άσκηση είναι από παλιό μαθηματικό διαγωνισμό ξένου Κράτους)
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ευκολάκι!ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:13 pmΑΣΚΗΣΗ 1369 Να λυθεί το σύστημα:
(Η άσκηση είναι από παλιό μαθηματικό διαγωνισμό ξένου Κράτους)
Κουράστηκα να πληκτρολογώ!
Απ' την πρώτη αντικαθιστούμε στην τέταρτη σχέση και βρίσκουμε:
Η δεύτερη είναι αδύνατη γιατί Δ<0.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1370 Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός , ώστε ο αριθμός:
, να είναι ρητός.
, να είναι ρητός.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1371
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού δεν είναι διαιρέτες του ;
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού δεν είναι διαιρέτες του ;
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1372
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο , του οποίου η βάση είναι , οι δύο ίσες πλευρές , και το ύψος από την κορυφή .
Αν , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο , του οποίου η βάση είναι , οι δύο ίσες πλευρές , και το ύψος από την κορυφή .
Αν , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1373
Αν οι ικανοποιούν την
,
να δείξετε ότι
.
Αν οι ικανοποιούν την
,
να δείξετε ότι
.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Τετραγωνίζοντας τη δοθείσα , παίρνουμε : (*)Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:24 pmΑΣΚΗΣΗ 1372
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο , του οποίου η βάση είναι , οι δύο ίσες πλευρές , και το ύψος από την κορυφή .
Αν , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
Ονομάζω το ύψος προς την . Φυσικά είναι : . Έτσι
η ( * ) γίνεται : . Αλλά ( βλέπε τρίγωνο ) είναι : , τελικά ,
με αποτέλεσμα η να είναι ορθή και οι άλλες -άρες
-
- Δημοσιεύσεις: 200
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ορέστη καλησπέραΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pmΑΣΚΗΣΗ 1373
Αν οι ικανοποιούν την
,
να δείξετε ότι
.
Στην πρώτη σχέση πολ/ζοντας με προκύπτει
Έπειτα με
και τέλος με
Προσθέτοντας τις προκύπτει το ζητούμενο. Για να μην γράψω όλες τις πράξεις παρατηρώ ότι
Ομοίως και για τα υπόλοιπα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Γεια σου Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:21 pmΑΣΚΗΣΗ 1371
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού δεν είναι διαιρέτες του ;
και
Οι διαιρέτες του που δεν είναι διαιρέτες του , θα πρέπει να έχουν μία από τις πιο κάτω μορφές:
, με
, με
, με
, με
, με
Συνεπώς το ζητούμενο πλήθος είναι
δηλαδή
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΣΗΜ: Διόρθωσα στην τελευταία ομάδα διαιρετών , αντί , θέλειΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 15, 2018 1:19 pmΓεια σου Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:21 pmΑΣΚΗΣΗ 1371
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού δεν είναι διαιρέτες του ;
και
Οι διαιρέτες του που δεν είναι διαιρέτες του , θα πρέπει να έχουν μία από τις πιο κάτω μορφές:
, με
, με
, με
, με
, με
Συνεπώς το ζητούμενο πλήθος είναι
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ας δούμε και μια διαφορετική λύση με Τριγωνομετρία. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Θανάση.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:24 pmΑΣΚΗΣΗ 1372
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο , του οποίου η βάση είναι , οι δύο ίσες πλευρές , και το ύψος από την κορυφή .
Αν , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
Έστω , με .
,
που αληθεύει μόνο όταν .
edit: Χρησιμοποιώ Τριγωνομετρία Β΄ Λυκείου (νόμιμη...), αλλά αφού αφορά διαγωνισμούς, νομίζω, έχει αξία και αυτή η προσέγγιση.
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Πολλαπλασιάζω τη δοθείσα με , τότεΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pmΑΣΚΗΣΗ 1373
Αν οι ικανοποιούν την
,
να δείξετε ότι
.
.
Απλοποιώντας παίρνουμε
.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω
Να αποδείξετε ότι
ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)
Να αποδείξετε ότι
ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Τρί Νοέμ 20, 2018 6:53 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Στην άσκηση 38 του Εικοσιδωδεκάεδρου, τεύχος 20
Προτάθηκε από τον Δημήτρη Ιωάννου.
Να βρεθούν οι τιμές των ακεραίων αριθμών που επαληθεύουν την εξίσωση
.
Λύση: Ισχύει και .
Για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει να έχουμε:
και
Οι λύσεις των εξισώσεων και είναι
ή και ή .
Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ζεύγη:
Προτάθηκε από τον Δημήτρη Ιωάννου.
Να βρεθούν οι τιμές των ακεραίων αριθμών που επαληθεύουν την εξίσωση
.
Λύση: Ισχύει και .
Για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει να έχουμε:
και
Οι λύσεις των εξισώσεων και είναι
ή και ή .
Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ζεύγη:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Θα δείξουμε ότι .ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Ιαν 17, 2018 7:16 pmΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω
Να αποδείξετε ότι
ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)
Επειδή η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση έχει άρτιο πλήθος ορών μπορούμε να τους πάρουμε ανά δύο.
Επίσης τα κλάσματα μικραίνουν όσο πηγαίνουμε προς τα αριστερά άρα η παράσταση στην παρένθεση είναι πάντα θετικός αριθμός. Έτσι (η ισότητα ισχύει όταν ).
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Άσκηση 1375
Μία εύκολη:
Αν να αποδειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Μία εύκολη:
Αν να αποδειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Αρκεί .
Όμως, και τα κυκλικά.
Οπότε αρκεί .
Από AM-GM, είναι . Προσθέτοντας τις κυκλικές μ'αυτήν έχουμε τη ζητούμενη.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ωραία η λύση του Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τρί Μαρ 12, 2019 11:46 pmΑρκεί .
Όμως, και τα κυκλικά.
Οπότε αρκεί .
Από AM-GM, είναι . Προσθέτοντας τις κυκλικές μ'αυτήν έχουμε τη ζητούμενη.
Υπάρχει και άλλη λύση που απαιτεί μονάχα γνώσεις Γ' Γυμνασίου!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες