Παραγοντοποιηση

nonlinear · #1

Να παραγοντοποιηθει η παρασταση :

$\displaystyle{{a^4} \cdot \left( {b - c} \right) + {b^4} \cdot \left( {c - a} \right) + {c^4} \cdot \left( {a - b} \right)}$

#2

Αν ονομάσουμε $\displaystyle{P(a,b,c)}$ το πολυώνυμο 5ου βαθμού, παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{a=b}$ ή $\displaystyle{b=c}$ ή $\displaystyle{c=a}$ είναι $\displaystyle{P=0.}$
Επομένως υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{Q}$ ώστε $\displaystyle{P=(a-b)(b-c)(c-a)Q.}$ Από τη διαίρεση του $\displaystyle{P}$ με το $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)}$ βρίσκουμε $\displaystyle{Q=-(a^2+b^2+c^2 +ab+bc+ca).}$

Είναι δηλαδή $\displaystyle{P=(b-a)(c-b)(a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca).}$

parmenides51 · #3

Αλλίως;

stavros11 · #4

Ισχύει:

$\displaystyle{a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)=(b-c)a^4+b^4c-b^4a+c^4a-bc^4=(b-c)a^4+(c^4-b^4)a+b^4c-bc^4}$

$\displaystyle{=(b-c)a^4+(c^4-b^4)a+b^4c-bc^4=(b-c)a^4-(b^2-c^2)(b^2+c^2)a+bc(b^3-c^3)=}$

$\displaystyle{=(b-c)a^4-(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3)a+bc(b-c)(b^2+bc+c^2)=(b-c)[a^4-(b^3+b^2c+bc^2+c^3)a+b^3c+b^2c^2+bc^3]}$

Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{P(a)=a^4-(b^3+b^2c+bc^2+c^3)a+b^3c+b^2c^2+bc^3}$ , το οποίο όπως φαίνεται από την αρχική παράσταση της εκφώνησης έχει ρίζες τα $\displaystyle{b,c}$ .

Κάνοντας Horner και με τα δύο έχουμε:
$\displaystyle{\begin{tabular}{|c|c|c|c|c||c} 1 & 0 & 0 & -b^3-b^2c-bc^2-c^3 & b^3c+b^2c^2+bc^3 & b \\ \hline & b & b^2 & b^3 & -b^3c-b^2c^2-bc^3\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-5} 1& b & b^2 & -b^2c-bc^2-c^3 & \boxed{0} \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-5} \end{tabular}}$

$\displaystyle{\begin{tabular}{|c|c|c|c||c} 1& b & b^2 & -b^2c-bc^2-c^3 & c \\ \hline & c & bc+c^2 & b^2c+bc^2+c^3 \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} 1& b+c & b^2+bc+c^2 & \boxed{0} \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} \end{tabular}}$

Άρα $\displaystyle{P(a)=(a-b)(a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)}$ .

Άρα η δοθείσα παράσταση ισούται με $\displaystyle{(b-c)(a-b)(a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)}$

Παραγοντοποιηση

Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Μέλη σε σύνδεση