Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

freyia · #141

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 63: Αν οι αριθμοί είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}<30\left (\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot10}+\frac{1}{10\cdot13}\right )}$
και μετά βελτιώστε το στο

$\displaystyle{\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le \frac {111}{70} <\frac {45}{26}=30\left (\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot10}+\frac{1}{10\cdot13}\right )}$

Είναι $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}=k\Rightarrow x=3k , y=4k , z=2k$

Επομένως $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{3k}{6k}+\frac{4k}{5k}+\frac{2k}{7k}=\frac{1}{2}+\frac{4}{5}+\frac{2}{7}$ =

$=\frac{111}{70}$

Όμως, (όπως έχει γράψει ο κ. Λάμπρου), $30(\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\frac{1}{10.13})=\frac{45}{26}$
Eπομένως ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε διότι $\frac{111}{70}<\frac{45}{26}$ , επειδή 111.26<70.45

, δηλαδή επειδή 2886<3150

#142

AΣΚΗΣΗ 64: Αν $\displaystyle{a , b , x , y \in Z}$ , και $\displaystyle{b-2a|2a(x+y)}$ , ΄δείξτε ότι $\displaystyle{b-2a|b(x+y)}$

#143

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 64: Αν $\displaystyle{a , b , x , y \in Z}$ , και $\displaystyle{b-2a|2a(x+y)}$ , ΄δείξτε ότι $\displaystyle{b-2a|b(x+y)}$

Είναι άμεσο από την ισότητα

$\displaystyle{b(x+y)=(b-2a)(x+y)+2a(x+y).}$

#144

ΑΣΚΗΣΗ 65 Αν $\displaystyle{\frac{x^2 +y^2 +z^2}{y}=4x+4z-7y}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{3x^3 +y^3 +xyz}{x^3 +3y^3 +xyz}=\frac{29}{15}}$

Edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό:Αντί -3y

,είναι

, στην εκφώνηση.

Socrates, ευχαριστώ που το παρατήρησες.

#145

ΑΣΚΗΣΗ 66: Αν $\displaystyle{a+\frac{1}{bc}=2b , b+\frac{1}{ca}=2c , c+\frac{1}{ab}=2a}$ , να βρεθούν οι αριθμοί

$\displaystyle{a , b , c}$ .

AΣΚΗΣΗ 67: Αν $\displaystyle{x,y,z \in Q^{*}_+$ και $\displaystyle{\frac{3x}{4y+5z}=\frac{4y}{5z+3x}=\frac{5z}{3x+4y}}$ , να

αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2}+\frac{2}{z^2}}$ είναι ρητός.

EDIT: Διορθώθηκε μια αβλεψία, όπως εντόπισε ο Μιχάλης Λάμπρου: Στην δεύτερη, αντί

, θέλει $Q^{*}_+$

#146

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66: Αν $\displaystyle{a+\frac{1}{bc}=2b , b+\frac{1}{ca}=2c , c+\frac{1}{ab}=2a}$ , να βρεθούν οι αριθμοί

$\displaystyle{a , b , c}$ .

$a,b,c\neq 0$

$\begin{matrix} 2b=a+\dfrac{1}{bc}\\\\ 2c=b+\dfrac{1}{ca}\\\\ 2a=c+\dfrac{1}{ab} \end{matrix}\quad \Rightarrow \quad$ $\begin{matrix} \dfrac{2b}{a}=\dfrac{1}{abc}+1\\\\ \dfrac{2c}{b}=\dfrac{1}{abc}+1\\\\ \dfrac{2a}{c}=\dfrac{1}{abc}+1\\\\ \end{matrix}\quad \Rightarrow \quad \dfrac{2b}{a}=\dfrac{2c}{b}=\dfrac{2a}{c}=\dfrac{1}{abc}+1$

-------------

$\dfrac{2b}{a}=\dfrac{2c}{b}=\dfrac{2a}{c}=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b+c)}=2\Rightarrow a=b=c$

άρα $a^3=1\Longrightarrow a=b=c=1$ ικανοποιούν το αρχικό σύστημα

#147

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 67: Αν $\displaystyle{x,y,z \in Q}$ και $\displaystyle{\frac{3x}{4y+5z}=\frac{4y}{5z+3x}=\frac{5z}{3x+4y}}$ , να

αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2}+\frac{2}{z^2}}$ είναι ρητός.

$\dfrac{3x}{4y+5z}=\dfrac{4y}{5z+3x}=\dfrac{5z}{3x+4y}=\dfrac{3x+4y+5z}{2(3x+4y+5z)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$

$\begin{matrix} 6x=4y+5z~~(1)\\\\ 8y=5z+3x~~(2)\\\\ 10z=3x+4y~~(3) \end{matrix}$

$(3)\Rightarrow 10z=3x+(6x-5z)\Rightarrow 5z=3x$

$(1)\Rightarrow 3x=4y$

άρα $3x=4y=5z=a\in \mathbb Q^*$

$2(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2})=\dfrac{100}{a^2}=(\dfrac{10}{a})^2$

#148

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
AΣΚΗΣΗ 67: Αν $\displaystyle{x,y,z \in Q}$ και $\displaystyle{\frac{3x}{4y+5z}=\frac{4y}{5z+3x}=\frac{5z}{3x+4y}}$ , να

αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2}+\frac{2}{z^2}}$ είναι ρητός.

Όπως είναι, η άσκηση έχει πρόβλημα. Πρέπει να βάλουμε μία ακόμη υπόθεση. Προτείνω π.χ. x, y, z >0

ή, άλλη πρόταση, $3x+4y+5z\ne 0$ .

Για παράδειγμα τα x=y=5, z=-7

ικανοποιούν την αρχική υπόθεση (όλα τα κλάσματα είναι ίσα με

) αλλά

$\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2}+\frac{2}{z^2}}= \sqrt{\frac{2}{25} +\frac{2}{25}+\frac{2}{49}}= \frac {\sqrt{246}}{35}\notin \mathbb Q}$

Φιλικά,

Μιχάλης

#149

ΑΣΚΗΣΗ 68: Αν $\displaystyle{\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a}+b}}$ , με $\displaystyle{a , b \in Q^{*}_+}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$

(b) Ο αριθμός : $\sqrt{\sqrt{a}+b}$ , είναι άρρητος

gauss1988 · #150

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 68: Αν $\displaystyle{\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a}+b}}$ , με $\displaystyle{a , b \in Q^{*}_+}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$

(b) Ο αριθμός : $\sqrt{\sqrt{a}+b}$ , είναι άρρητος

MONO ΓΙΑ TO (a) (ΤΟ β) ίσως αύριο)

Μετά από ύψωση των μελών στο τετράγωνο: $\displaystyle{a-\sqrt b =\sqrt a +b\Rightarrow a-b=\sqrt a +\sqrt b\Rightarrow }$

$\displaystyle{(a-b)(\sqrt a -\sqrt b)=a-b\Rightarrow \sqrt a-\sqrt b =1}$ , διότι $\displaystyle{a-b\neq 0}$ , γιατί αλλιώς θα ήταν $\displaystyle{a=b}$ και τότε

από την υπόθεση θα ήταν $\displaystyle{\sqrt{a-\sqrt a}=\sqrt{\sqrt a +a}\Rightarrow a-\sqrt a=\sqrt a+a \Rightarrow}$

$\displaystyle{\sqrt a =0\Rightarrow a=0}$ . Aλλά δίδεται ότι $\displaystyle{a\neq 0}$ . Άρα έχουμε άτοπο αν δεχθούμε ότι $\displaystyle{a=b}$ .

#151

ΑΣΚΗΣΗ 69: Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ , αν γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{5a +6b +90c =670}$

Garfield · #152

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69: Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ , αν γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{5a +6b +90c =670}$

Είναι $\displaystyle{ 5a +6b +90c =670 \Longleftrightarrow 5a = 670 -6b - 90c = \textnormal{ \gr άρτιος} \implies a=2}$

Με αντικατάσταση στην αρχική έχουμε: $\displaystyle{ 10 + 6b +90 = 670 \Longleftrightarrow b + 15c =110 \Longleftrightarrow b = 5 \left( 22 - 3c \right) \implies 5| b \implies b=5 }$ γιατί

είναι πρώτος.

Άρα για a=2 , b=5

η αρχική σχέση μας δίνει: $\displaystyle{ 10 + 30 +90c =670 \Longleftrightarrow 90c = 630 \Longleftrightarrow c=7 }$

Επομένως οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: $\displaystyle{ \boxed{ a=2 , b=5, c=7}}$

#153

Αφού συγχαρώ το μέλος μας Garfield , για τις ωραίες λύσεις, συνεχίζω με μια ακόμα άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ 70: Αν $\displaystyle{n\in N}$ , να βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ο αριθμός:

$\displaystyle{a=\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}}$ , είναι φυσικός.

kleovoulos · #154

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αφού συγχαρώ το μέλος μας Garfield , για τις ωραίες λύσεις, συνεχίζω με μια ακόμα άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ 70: Αν $\displaystyle{n\in N}$ , να βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ο αριθμός:

$\displaystyle{a=\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}}$ , είναι φυσικός.

Έριξα μία γρήγορη ματιά μιας και δεν έχω χρόνο (διαβάζω για τον Ευκλείδη) και βρήκα ότι για n=2

το α είναι φυσικός αριθμός, αυτό γιατί:

$\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}=\frac{1}{3}+\frac{2}{2}+\frac{2^2}{6}=\frac{1}{3}+1+\frac{4}{6}=\frac{1}{3}+1+\frac{2}{3}=1+1=2$

Πολύ γρήγορη λύση και με καμία μαθηματική σκέψη, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι σωστή.

Ένα λεπτό αφού δημοσίευσα τη λύση, έλεγξα και για άλλες τιμές και παρατήρησα ότι το α είναι φυσικός αριθμός για κάθε n που είναι δύναμη του 2 (4,8,16,32,64 κτλ.)

#155

kleovoulos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αφού συγχαρώ το μέλος μας Garfield , για τις ωραίες λύσεις, συνεχίζω με μια ακόμα άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ 70: Αν $\displaystyle{n\in N}$ , να βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ο αριθμός:

$\displaystyle{a=\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}}$ , είναι φυσικός.
Έριξα μία γρήγορη ματιά μιας και δεν έχω χρόνο (διαβάζω για τον Ευκλείδη) και βρήκα ότι για το α είναι φυσικός αριθμός, αυτό γιατί:

$\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}=\frac{1}{3}+\frac{2}{2}+\frac{2^2}{6}=\frac{1}{3}+1+\frac{4}{6}=\frac{1}{3}+1+\frac{2}{3}=1+1=2$

Πολύ γρήγορη λύση και με καμία μαθηματική σκέψη, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι σωστή.

Ένα λεπτό αφού δημοσίευσα τη λύση, έλεγξα και για άλλες τιμές και παρατήρησα ότι το α είναι φυσικός αριθμός για κάθε n που είναι δύναμη του 2 (4,8,16,32,64 κτλ.)

Έκανες ένα βήμα Κλεόβουλε, αλλά θέλει και άλλο ψάξιμο. Παρατήρησε, ότι ο αριθμός μας είναι φυσικός, και όταν π.χ

$\displaystyle{n=7}$ , ενώ ο $\displaystyle{7}$ δεν είναι δύναμη του $\displaystyle{2}$ .

#156

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αφού συγχαρώ το μέλος μας Garfield , για τις ωραίες λύσεις, συνεχίζω με μια ακόμα άσκηση :

ΑΣΚΗΣΗ 70: Αν $\displaystyle{n\in N}$ , να βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ο αριθμός:

$\displaystyle{a=\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}}$ , είναι φυσικός.

$a=\dfrac{n^2+3n+2}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{6}$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) Αν 6|n+1

τότε οποιοσδήποτε αριθμός

της μορφής n=6k-1

είναι λύση για $k\geq 1$ ακέραιο.

2) Αν 6|n+2

τότε οποιοσδήποτε αριθμός

της μορφής n=6k-2

είναι λύση για $k\geq 1$ ακέραιο.

3) Αν 2|n+1

και

τότε οποιοσδήποτε αριθμός που είναι ταυτόχρονα περιττός και αφήνει υπόλοιπο 1 στη διαίρεσή του με το 3 είναι λύση. Συνεπώς ο αριθμός

είναι της μορφής n=6k+1

για $k\geq 0$ ακέραιο (για να το δείτε αυτό πάρτε π.χ. τις υπόλοιπες διαιρέσεις του

με το 6 και δείτε ότι καταλήγετε σε άτοπο).

4) Αν 2|n+2

και

τότε οποιοσδήποτε αριθμός που είναι άρτιος και αφήνει υπόλοιπο 2 στη διαίρεσή του με το 3 είναι λύση. Συνεπώς ο αριθμός n είναι της μορφής n=6k+2

για $k\geq 0$ ακέραιο.

Αλέξανδρος

#157

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 70: Αν $\displaystyle{n\in N}$ , να βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ο αριθμός:

$\displaystyle{a=\frac{1}{3}+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{6}}$ , είναι φυσικός.

Kαι λίγο διαφορετικά:

Έχουμε βρει πιο πάνω (Αλέξανδρος) ότι $\displaystyle{a=\frac{(n+1)(n+2)}{6}}$ . O αριθμός $\displaystyle{(n+1)(n+2)}$ , είναι πάντα άρτιος ως γινόμενο διαδοχικών αριθμών. Άρα για να διαιρείται με το $\displaystyle{6}$ , αρκεί να διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ .
Παίρνοντας τώρα τις περιπτώσεις $\displaystyle{n=3k , n=3k+1 , n=3k+2}$ , με $\displaystyle{k\in N}$ , εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι ακέραιος, μόνο όταν $\displaystyle{n=3k+1}$ , ή $\displaystyle{n=3k+2}$ (και η λύση αυτή, είναι προφανώς ισοδύναμη με αυτή του Αλέξανδρου)

#158

AΣΚΗΣΗ 71:Δείξτε ότι

$\displaystyle{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{1996}})+(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^{1995}})+ . . . +(1+\frac{1}{2^{998}})(1+\frac{1}{2^{999}})<1000}$

Garfield · #159

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 71:Δείξτε ότι

$\displaystyle{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{1996}})+(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^{1995}})+ . . . +(1+\frac{1}{2^{998}})(1+\frac{1}{2^{999}})<1000}$

Αρχικά παρατηρούμε ότι το άθροισμά μας έχει 998

όρους( το πλήθος μας το μετράει ο εκθέτης του 1/2

στην πρώτη παρένθεση, ξεκινάμε με $\displaystyle{ \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2} \right)^{1}}$ και φτάνουμε μέχρι το $\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^{998} }$ )

Θέτουμε για ευκολία $\displaystyle{ A =\left(1+\frac{1}{2}\right) \left(1+\frac{1}{2^{1996}}\right)+\left(1+\frac{1}{2^2}\right) \left(1+\frac{1}{2^{1995}}\right)+ . . . +\left(1+\frac{1}{2^{998}}\right) \left(1+\frac{1}{2^{999}}\right)}$

Κάνοντας τις επιμεριστικές σε κάθε ζεύγος παρενθέσεων βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{ A =998 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{ 2^{1996}} \right) + \left( \frac{1}{ 2^{2}} + \frac{1}{ 2^{1995}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{ 2^{1995}} + \frac{1}{ 2^{1996}} \right) + \frac{998}{ 2^{1997}} \quad}$ ( είχαμε 998

άσσους και 998

κλάσματα της μορφής $\displaystyle{\frac{1}{ 2^{1997}}$ )

$\displaystyle{ \implies A = 998 + \frac{1}{2} + \frac{1}{ 2^{2}} + \frac{1}{ 2^{3}} + \cdots + \frac{1}{ 2^{1995}} + \frac{1}{ 2^{1996}} + \frac{998}{ 2^{1997} } }$

Τώρα παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{ \bullet \quad \frac{998}{ 2^{1997}} < \frac{998}{ 2^{10} } = \frac{998}{ 1024} <1 }$

$\displaystyle{ \bullet \quad \frac{1}{2} + \frac{1}{ 2^{2}} + \frac{1}{ 2^{3}} + \cdots + \frac{1}{ 2^{1995}} + \frac{1}{ 2^{1996}} = \frac{ \frac{1}{ 2^{1996}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} - 1} = 1 -\frac{1}{ 2^{1996}} <1 }$ ( πρόκειται για άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο

).

Επομένως έχουμε ότι: $\displaystyle{ A = 998 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{ 2^{2}} + \frac{1}{ 2^{3}} + \cdots + \frac{1}{ 2^{1995}} + \frac{1}{ 2^{1996}} \right) + \frac{998}{ 2^{1997} } < 998 +1 +1 =1000}$

#160

ΑΣΚΗΣΗ 72: (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{k}$ , ισχύει :

$\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}$

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα:

$\displaystyle{S=\frac{1}{1.14}+\frac{1}{14.27}+\frac{1}{27.40}+ ... +\frac{1}{1990.2003}}$

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση