Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

TrItOs · #1

Πρόβλημα: Έστω

$a \in \mathbb{R}$ αλγεβρικό επί του $\mathbb{Q}$ ,

$\varphi_{a}(x) \in \mathbb{Q}[x]$ το ελαχιστικό πολυώνυμο του επί του $\mathbb{Q}$ ,

ας είναι το σώμα διάσπασης του $\varphi_{a}(x)$ επί του $\mathbb{Q}$ και

$[L : \mathbb{Q}] = 2^{n}$ , για κάποιο φυσικό αριθμό $n \in \mathbb{N}$ .

Να αποδειχθεί ότι κάθε στοιχείο του

είναι κατασκευάσιμο.

Μπορείτε να με βοηθήσετε με το πρόβλημα.

TrItOs · #2

Λύση: Έχουμε ότι:

Το είναι μια πεπερασμένη επέκταση του $\mathbb{Q}$ , άρα το είναι αλγεβρική επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ . Επειδή η χαρακτηριστική των ρητών αριθμών είναι μηδέν και το είναι αλγεβρική επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ , έπεται ότι το είναι διαχωρίσιμη(δηλαδή το ελαχιστικό πολυώνυμο επί των ρητών αριθμών κάθε στοιχείου του έχει απλές ρίζες(όχι πολλαπλές)) επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ .

Το είναι το σώμα διάσπασης του $\varphi_{a}(x)$ επί του $\mathbb{Q}$ . Άρα το είναι κανονική(δηλαδή το ελαχιστικό πολυώνυμο επί των ρητών αριθμών κάθε στοιχείου του έχει αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων) επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ .

Συνεπώς το είναι επέκταση (δηλαδή είναι διαχωρίσιμη και κανονική) επί του $\mathbb{Q}$ .

$\big| Aut_{\mathbb{Q}}(L) \big| = [ L : \mathbb{Q} ] = 2^{n}$ , $G = Aut_{\mathbb{Q}}(L)$

Γνωρίζουμε ότι αν

είναι ομάδα με $\big| A \big| = p^{n}$ , με

πρώτο αριθμό, τότε $\exists B \triangleleft A, \big| B \big| = p^{n-1}.$

$\exists H_{n-1} \triangleleft G = H_{n} , \big| H_{n-1} \big| = 2^{n-1}$

$\exists H_{n-2} \triangleleft H_{n-1} , \big| H_{n-2} \big| = 2^{n-2}$

$\vdots$

$\exists H_{1} \triangleleft H_{2} , \big| H_{1} \big| = 2^{1}$

$\exists H_{0} = \{ 1 \} \triangleleft H_{1} , \big| H_{0} \big| = 1$

$H_{0} \triangleleft H_{1} \triangleleft H_{2} \triangleleft \cdots \triangleleft H_{n-2} \triangleleft H_{n-1} \triangleleft H_{n}$

Θέτουμε $K_{i} = Fix ( H_{n - i} ) , \forall i \in \{ 0, 1, 2 \ldots , n - 1, n \}$ .

$\mathbb{Q} = K_{0} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq \cdots \subseteq K_{n-2} \subseteq K_{n-1} \subseteq K_{n} = L$

Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας έχουμε ότι, $\forall i \in \{ 0, 1, 2, \ldots , n \}$ : $Aut_{K_{i}} ( K_{n} ) = H_{n-i} \Rightarrow \big[ L : K_{i} \big] = \big[ K_{n} : K_{i} \big] = \big| Aut_{K_{i}} ( K_{n} ) \big| = \big| H_{n-i} \big| = 2^{n-i}$ και άρα $\big[ K_{i} : K_{0} \big ] = \big| Aut_{K_{0}} ( K_{i} ) \big| = \Big| Aut_{\mathbb{Q}} ( K_{n} ) / Aut_{K_{i}} ( K_{n} ) \Big| = \frac{\big| Aut_{\mathbb{Q}} ( K_{n} ) \big|}{\big| Aut_{K_{i}} ( K_{n} ) \big|} = \frac{\big| Aut_{\mathbb{Q}} ( L ) \big|}{\big| Aut_{K_{i}} ( L ) \big|} = \frac{2^{n}}{2^{n-i}} = 2^{i}$ συνεπώς $\big[ K_{1} : K_{0} \big] = 2$ , $\big[ K_{2} : K_{1} \big] = \frac{\big[ K_{2} : K_{0} \big]}{\big[ K_{1} : K_{0} \big]} = \frac{2^{2}}{2} = 2$ , $\big[ K_{3} : K_{2} \big] = \frac{\big[ K_{3} : K_{0} \big]}{\big[ K_{2} : K_{1} \big] \cdot \big[ K_{1} : K_{0} \big]} = \frac{2^{3}}{2 \cdot 2} = 2$ , $\ldots$ , $\big[ K_{n} : K_{n-1} \big] = 2$ .

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη ότι κάθε στοιχείου του είναι κατασκευάσιμο σημείο.

tractatus · #3

Ωραία λύση. Από πού είναι η άσκηση αν επιτρέπεται ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

tractatus έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 18, 2022 12:56 pm
Ωραία λύση. Από πού είναι η άσκηση αν επιτρέπεται ;

Δεν είναι άσκηση.
Ειναι βασικό θεώρημα στις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.
Π.χ υπάρχει στο βιβλίο του Σ.Ανδρεαδάκη Θεωρία Galois.
Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν ισχύει αν το $a\in \mathbb{C}$
και είναι αλγεβρικό στο $\mathbb{Q}$ με βαθμό επέκτασης δύναμη του δύο.
Βλέπε Θεωρία Galois J.Rotman (μεταφρασμένο στα Ελληνικά εκδόσεις Leader Books)
σελίδα 160 κάτω

Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

Re: Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

Re: Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

Re: Σώμα Διάσπασης βαθμού δύναμη δύο τότε περιέχει κατασκευάσιμα στοιχεία

Μέλη σε σύνδεση