Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

#1

Έστω ένας πίνακας

με ακέραια στοιχεία και έστω $\lambda \in (0,1)$ μια ιδιοτιμή του

με ιδιοδιάνυσμα $\mathbf{v}$ . Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του $\mathbf{v}$ είναι άρρητο.

#2

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 4:52 pm
Έστω ένας πίνακας με ακέραια στοιχεία και έστω $\lambda \in (0,1)$ μια ιδιοτιμή του με ιδιοδιάνυσμα $\mathbf{v}$ . Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του $\mathbf{v}$ είναι άρρητο.

Καλό. Μετά από τόσα χρόνια διδασκαλίας σε πρωτοετείς πώς να βρίσκουν ιδιοδιανύσματα, δεν το είχα παρατηρήσει.

Αν το ιδιοδιάνυσμα είχε μόνο ρητές συντεταγμένες, μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη ότι όλες οι συτεταγμένες του είναι ακέραιες (αφού τα πολλαπλάσια του

ειναι επίσης ιδιαδιανύσματα). Είναι τότε

$Av = \lambda v$ , άρα $A^nv = \lambda ^n v$ . Παίρνουμε όριο. Το δεξί μέλος τείνει στο

αλλά το αριστερό είναι πάντα μη-μηδενικό lattice point, οπότε πάντα απέχει τουλάχιστον

από το

. Άτοπο.

#3

Το πήρα από το άρθρο εδώ Μιχάλη.

Στο άρθρο υπάρχουν και εφαρμογές για την αρρητότητα διάφορων αριθμών. Π.χ. ο πίνακας $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$ έχει ιδιοτιμή τη $\sqrt{2}-1 \in (0,1)$ και ιδιοδιάνυσμα $\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$ επομένως ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.

#4

Δημήτρη, ευχαριστώ για την παραπομπή.

Δυστυχώς δεν έχω πρόσβαση στο περιοδικό. Μου ζητά (να πληρώσω ή) να μπω από το εδώ Πανεπιστήμιο, που ξέρω ότι είναι μέλος της Ελληνικής Κοινοπραξίας Βιβλιοθηκών, αλλά δεν τα καταφέρνω. Ίσως από τότε που πήρα σύνταξη να έχασα το ... δικαίωμα πρόσβασης στην Βιβλιοθήκη. Ποιος ξέρει; Συμβαίνουν αυτά.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 7:55 pm
Δημήτρη, ευχαριστώ για την παραπομπή.

Δυστυχώς δεν έχω πρόσβαση στο περιοδικό. Μου ζητά (να πληρώσω ή) να μπω από το εδώ Πανεπιστήμιο, που ξέρω ότι είναι μέλος της Ελληνικής Κοινοπραξίας Βιβλιοθηκών, αλλά δεν τα καταφέρνω. Ίσως από τότε που πήρα σύνταξη να έχασα το ... δικαίωμα πρόσβασης στην Βιβλιοθήκη. Ποιος ξέρει; Συμβαίνουν αυτά.

Μιχάλη διατήρησα πρόσβαση στην Βιβλιοθήκη του πρώην πανεπιστημίου μου στις ΗΠΑ για μία περίπου δεκαετία μετά την παραίτηση μου: δεν γνωρίζω πότε ακριβώς την έχασα, δεν χρησιμοποιούσα άλλωστε το σύστημα και τόσο συχνά, αλλά πέρυσι το καλοκαίρι που ζήτησα κάτι... κατάλαβα ότι τα πράγματα σφίξανε κάπως...

Με την ευκαιρία, ιδού μία ακόμη αναπάντεχη εξέλιξη που αφορά ιδιοδιανύσματα: https://www.quantamagazine.org/neutrino ... -20191113/ -- ίσως να έχει ήδη συζητηθεί εδώ, δεν θυμάμαι!

Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Re: Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Re: Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Re: Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Re: Πίνακες και άρρητοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση