Άλλη μία ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

μηδενοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε PQ + P+Q=0

. Να υπολογιστεί η ορίζουσα

$\displaystyle{\Delta = \det \left( \mathbb{I} + 2 P + 3 Q \right)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 15, 2019 10:06 am
Έστω μηδενοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε . Να υπολογιστεί η ορίζουσα

$\displaystyle{\Delta = \det \left( \mathbb{I} + 2 P + 3 Q \right)}$

Αρκεί μόνο ο

να είναι μηδενοδύναμος. Για τον άλλο προκύπτει από την σχέση.

Εστω $Q^{n}=0$ όπου το

το παίρνουμε περιττό.

είναι
P(I+Q)=-Q

από την σχέση προκύπτει
$P=-Q(I+Q)^{-1}$
αλλά
$(I+Q)^{-1}=I-Q+Q^{2}-....+(-1)^{n-1}Q^{n-1}$
οπότε
$P=-Q+Q^{2}-....(-1)^{n-1}Q^{n-1}=f(Q)$
όπου
$f(x)=-x+x^{2}-....+(-1)^{n-1}x^{n-1}$

αφου ο

είναι μηδενοδύναμος θα υπάρχει

αντιστρέψιμος και

ανω τριγωνικός ώστε

$Q=RDR^{-1}$
και
$P=Rf(D)R^{-1}$

τελικά

$I+2P+3Q=R(2f(D)+3D+I)R^{-1}$
προφανώς η ζητούμενη ορίζουσα είναι ιση με την ορίζουσα του

που είναι

dement · #3

Η αρχική συνθήκη γράφεται $(P+I)(Q+I)=I \implies Q+I = (P+I)^{-1}$ . Έχουμε I + 2P + 3Q = 2(P+I) - 4I + 3(Q+I) = (Q+I) [ 2(P+I)^2 -4(P+I) + 3I]

.

Οι πίνακες P, Q

, ως μηδενοδύναμοι, έχουν μοναδική ιδιοτιμή το

. Άρα και οι P+kI, Q + kI

έχουν μοναδική ιδιοτιμή το

και η ορίζουσα ισούται με (θεωρούμε ότι οι πίνακες είναι $n \times n$ )

$\displaystyle \det ((Q+I)(2(P+I)^2 -4(P+I) + 3I)) = \det \left[ 2 \left( P + \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} I \right) \left( P - \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} I \right) \right]=$

$\displaystyle = 2^n \left( \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \right)^n \left( - \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \right)^n = 1$ .

Υ.Γ. Συναντηθήκαμε Σταύρο!

Άλλη μία ορίζουσα

Άλλη μία ορίζουσα

Re: Άλλη μία ορίζουσα

Re: Άλλη μία ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση