Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

andreashmmy · #1

Έστω $V=\mathbb{R}^2$ και $U=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:2x+y-z=0\}$

Να βρεθεί μία βάση και μία διάσταση του

.

Η λύση του καθηγητή είναι η εξής:

Έστω τυχαίο $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ θέτει $z=2x+y\Rightarrow (x,y,2x+y)=x(1,0,2)+y(0,1,1)$ . Τα (1,0,2),(0,1,1)

παράγουν εκ κατασκευής τους τον

και είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δείχνει ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα). Άρα $\dim{U}=2$ .

Η λύση μου πριν κοιτάξω τη λύση του καθηγητή ήταν:

Έστω τυχαίο $(x,y,x) \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow 2x+y-z=x(2,0,0)+t(0,1,0)+z(0,0,-1)$ . Άρα τα (2,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)

παράγουν εκ κατασκευής τους τον

και είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δείχνω γραμμική ανεξαρτησία). Άρα $\dim{U}=3$ .

Είναι σωστή η λύση μου;;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά. Όχι, δεν είναι σωστή η λύση σου. Αρχικά, δεν είναι σωστή η γραφή

$\displaystyle{2x+y-z=x(2,0,0)+t(0,1,0)+z(0,0,-1)}$

Το πρώτο μέλος είναι αριθμός ενώ το δευτέρο διάνυσμα του χώρου και εκτός αυτού, το U

παριστάνει ένα επίπεδο του χώρου, δεν μπορεί να είναι τρισδιάστατο.

Έστω $\displaystyle{(x,y,z)\in U}$ . Τότε,

$\displaystyle{(x,y,z)=(x,y,2x+y)=x(1,0,2)+y(0,1,1)\in \langle{(1,0,2),(0,1,1)\rangle}}$

και τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα βάση του U.

andreashmmy · #3

Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση και τη βοήθεια!!!

#4

andreashmmy έγραψε: Έστω τυχαίο $(x,y,x) \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow 2x+y-z=x(2,0,0)+t(0,1,0)+z(0,0,-1)$ . Άρα τα παράγουν εκ κατασκευής τους τον και είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δείχνω γραμμική ανεξαρτησία). Άρα $\dim{U}=3$ .

Είναι σωστή η λύση μου;;

Ας συγχωρήσουμε τα δύο τυπογραφικά(;) λάθη στην πρώτη γραμμή. Από κεί και πέρα η λύση σου είναι πολύ λάθος. Μάλλον δεν έχει κατανοήσει ποιο είναι το δεδομένο της άσκησης γι' αυτό γράφεις άσχετα θέματα με το ερώτημα.

Δεν θα αναφέρω αυτή την στιγμή τι πάει στραβά με την λύση σου, για να το ανακαλύψεις μόνος σου. Αν δεν βγάλεις άκρη, εδώ είμαστε για να σου δώσουμε υπόδειξη. Το πρώτο πράγμα είναι να κατανοήσεις τι σου δίνεται και τίνος πράγματος ψάχνεις βάση.

Βέβαια σου δίνει λύση ο Βαγγέλης αλλά πρόκειται για απλή επανάληψη της λύσης που σου έδωσε ο Καθηγητής σου. Το ερώτημα είναι όχι αν η λύση του Καθηγητή σου είναι σωστή αλλά γιατί είναι λάθος η δική σου.

Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

Re: Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

Re: Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

Re: Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου V

Μέλη σε σύνδεση