Πίνακες

georgevg · #1

Να βρεθούν οι τετραγωνικοί πίνακες που ικανοποιούν την σχέση: X^2=A

,
όπου $A=\begin{bmatrix} 4&1 \\ 0&4 \end{bmatrix}$

(Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;)

#2

Δεν είμαι σίγουρος αν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη μέθοδος για λύση πολυωνιμκών εξισώσεων με πίνακες. Εδώ, επειδή η εξίσωση είναι απλή και επειδή ο

είναι σε κανονική μορφή Jordan βοηθάει αρκετά.

Θέλουμε X^2 = 4I + N

όπου $\displaystyle{ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.}$

Ισχύει όμως και ότι X^2 = aX + bI

από Cayley-Hamilton.

Δεν μπορούμε να έχουμε a=0

άρα καταλήγουμε στο ότι X = cI + dN

. Επειδή

παίρνουμε

$\displaystyle{ 4I + N = c^2I + 2cdN}$

το οποίο δίνει τις λύσεις (c,d) = (2,1/4)

και

.

Άρα $\displaystyle{ X = \pm \begin{pmatrix} 2 & 1/4 \\ 0 & 2\end{pmatrix}}$

#3

georgevg, καλώς όρισες στο mathematica.gr

georgevg έγραψε:..Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;

Η λύση του Δημήτρη είναι η συντομότερη δυνατή γιατί χρησιμοποιεί το ότι ο πίνακας

είναι σε κανονική μορφή Jordan. Στην γενικότερη περίπτωση όπου ο πίνακας

είναι διαγωνοποιήσιμος και θετικά ημιορισμένος, η διαδικασία έχει περισσότερους υπολογισμούς και βήματα:
1) Επειδή ο πίνακας

είναι διαγωνοποιήσιμος και θετικά ορισμένος, υπάρχει διαγώνιος πίνακας $\Delta$ -με τις μη-αρνητικές ιδιοτιμές του

στην διαγώνιό του- και αντιστρέψιμος πίνακας

, έτσι ώστε $A= P^{-1}\Delta\,P$ .
2) ...

georgevg · #4

Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο για τις απαντήσεις σας.Θα ήθελα επίσης να ρωτήσω μήπως υπάρχει και πιο εύκολος τρόπος επίλυσης έστω και με περισσότερες πράξεις;

#5

georgevg έγραψε:Να βρεθούν οι τετραγωνικοί πίνακες που ικανοποιούν την σχέση: ,
όπου $A=\begin{bmatrix} 4&1 \\ 0&4 \end{bmatrix}$

(Μπορεί κάποιος να βοηθήσει σχετικά με την λύση εξισώσεων παρόμοιας μορφής;)

Επίσης, επειδή η διάσταση του πίνακα είναι τόσο μικρή, μπορείς να αναζητήσεις τις λύσεις υπό τη μορφή

$\displaystyle{X=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}}$ ,

οπότε

$\displaystyle{X^2=\begin{bmatrix} a^2+bc&b(a+d) \\ c(a+d)&bc+d^2 \end{bmatrix}}$ .

Επομένως θέλεις να λύσεις το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}a^2+bc=bc+d^2=4, \\ c(a+d)=0, \\ b(a+d)=1\end{cases}}$ .

Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις φαίνεται ότι $\displaystyle{c=0, b=\frac{1}{a+d}}$ και από την πρώτη $\displaystyle{a=\pm 2, d=\pm 2.}$

Τελικά υπάρχουν δύο τέτοιοι πίνακες. Οι

$\displaystyle{\begin{bmatrix} 2&\frac{1}{4} \\ 0&2 \end{bmatrix}}$

και $\displaystyle{-\begin{bmatrix} 2&\frac{1}{4} \\ 0&2 \end{bmatrix}}$

georgevg · #6

Ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας.

Πίνακες

Πίνακες

Re: Πίνακες

Re: Πίνακες

Re: Πίνακες

Re: Πίνακες

Re: Πίνακες

Μέλη σε σύνδεση