Μία ορίζουσα!

Tolaso J Kos · #1

Έστω

πρώτος και έστω $\omega$ μια πρωταρχική

-οστή ρίζα της μονάδος (primite root of unity). Ορίζουμε
$\displaystyle{\mathcal{V}= \det\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &\cdots &1 \\ 1& \omega &\omega^2 &\cdots &\omega^{p-1} \\ 1 &\omega^2 &\left ( \omega^2 \right )^2 &\cdots &\left ( \omega^2 \right )^{p-1} \\ \vdots& \vdots &\vdots & \ddots& \vdots\\ 1& \omega^{p-1} &\left ( \omega^{p-1} \right )^2 &\cdots &\left ( \omega^{p-1} \right )^{p-1} \end{pmatrix}}$ Να υπολογιστεί ο ρητός αριθμός $\displaystyle{\mathcal{V}^2}$ .

#2

Η ορίζουσα, είναι ορίζουσα VanderMonde οπότε έχουμε

$\displaystyle{ V = \prod_{0 \leqslant i < j \leqslant p-1}(\omega^j - \omega^i)}$

και άρα

$\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}}\prod_{i=0}^{p-1} \prod_{j \neq i} (\omega^i - \omega^j)}$ .

Το πρόσημο $(-1)^{\binom{p}{2}}$ εμφανίζεται επειδή για κάθε ζεύγος (i,j)

με $i \neq j$ πολλαπλασίασα μια φορά το $\omega^j - \omega^i$ και μία το $\omega^i - \omega^j$ ενώ θα έπρεπε και οι δύο παράγοντες να είναι οι $\omega^{\max\{i,j\}}-\omega^{\min\{i,j\}}$

Θεωρώ τώρα το πολυώνυμο

$\displaystyle{ P(x) = \prod_{j=0}^{p-1} (x - \omega^j) = X^p - 1}$

Οπότε είναι και

$\displaystyle{ p\left(\omega^i\right)^{p-1} = P'(\omega^i) = \prod_{j \neq i} (\omega^i - \omega^j)}$

Άρα

$\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}}p^p\left( \prod_{i=0}^{p-1} \omega^i\right)^{p-1}}$

Όμως $\displaystyle{ -1 = P(0) = (-1)^p \prod_{i=0}^{p-1} \omega^i}$

Άρα εν τέλει είναι

$\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}+ (p^2-1)}p^p}$

Αλλιώς,

$\displaystyle{ V^2 = \begin{cases} 4 & \text{\gr αν } p = 2 \\ p^p & \text{\gr αν } p \equiv 1 \bmod 4 \\ -p^p & \text{\gr αν } p \equiv 3 \bmod 4\end{cases}}$

Μία ορίζουσα!

Μία ορίζουσα!

Re: Μία ορίζουσα!

Μέλη σε σύνδεση