προβολες

eugeniagl · #1

Έστω ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^2$ και υποχώρος $W =\{(x,2x),x\in\mathbb{R}\}$ .Βρείτε όλες τις προβολές στον

.
Μπορείτε να βοηθήσετε;
θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω κάπως τη σχέση ETE=TE

αν

αφήνει αναλλοίωτο τον

;

#2

eugeniagl έγραψε:Έστω ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^2$ και υποχώρος $W =\{(x,2x),x\in\mathbb{R}\}$ . Βρείτε όλες τις προβολές στον ...

Ίσως θα μπορούσαμε να βοηθήσουμε, αλλά μπορείς να διευκρινήσεις το τι σημαίνει "όλες οι προβολές στον " ;
Προβολή τυχόντος διανύσματος στον

; Προβολή τυχόντος υποχώρου στον

; Προβολή τίνος στον

" ;

Φιλικά

eugeniagl · #3

ορίζουμε

γραμμικό μετασχηματισμό στον $\mathbb{R}^2$ ώστε E(u)=u

αν

ανήκει στον

και

αν

ανήκει στον

, όπου

συμπληρωματικός υπόχωρος του

. Tότε

προβολή πάνω στον

.

#4

eugeniagl έγραψε:ορίζουμε γραμμικό μετασχηματισμό στον $\mathbb{R}^2$ ώστε αν ανήκει στον και αν ανήκει στον , όπου συμπληρωματικός υπόχωρος του . Tότε προβολή πάνω στον .

Επομένως ζητάς όλες τις προβολές $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ με ${\rm{Im}}T=W$ και ${\rm{ker}}T=W^{\bot}$ όπου $W^{\bot}$ το ορθογώνιο συμπλήρωμα του

.

Υ.Γ. Ένας γραμμικός μετασχηματισμός $T:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n$ είναι προβολή, αν και μόνο αν, ισχύει T^2=T

(ταυτοδύναμος) . Επομένως μια προβολή δεν συνδέεται, κατ' αρχήν τουλάχιστον, με κάποιον υπόχωρο.

#5

Μια μικρή βοήθεια:

Για την προβολή $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ πρέπει T(w)=w

για $w\in{\rm{Im}\,}T=W=\langle{(1,2)}\rangle$ , T(u)=0

για $u\in{\rm{ker}}\,T=W^{\bot}=\langle{(1,-1/2)}\rangle$ .
Επομένως τα διανύσματα (1,2)

,

πρέπει να είναι ιδιοδιανύσματα του

με αντίστοιχες ιδιοτιμές

και

. Αν

ο πίνακας του

ως προς την ιδιοβάση αυτή και

ο πίνακας του

ως προς την κανονική βάση του $\mathbb{R}^2$ , τότε $B=P^{-1}A\,P$ , όπου

ο πίνακας μετάβασης από την κανονική βάση στην ιδιοβάση. Αλλά οι πίνακες

και $P,\,P^{-1}$ είναι γνωστοί. Άρα...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

eugeniagl έγραψε:Έστω ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^2$ και υποχώρος $W =\{(x,2x),x\in\mathbb{R}\}$ .Βρείτε όλες τις προβολές στον .

Επέστρεψα στα πάτρια.

Γρηγόρη, νομίζω ότι δεν απαντάς πλήρως: Έχεις βρει την (μία και μοναδική) ορθογώνια προβολή ενώ υπάρχουν και άλλες. Ορθά η άσκηση ζητά "όλες τις προβολές".

Ας αρχίσουμε από την αρχή.

Αν

διανυσματικός χώρος και W, U

δύο συμπληρωματικοί υπόχωροί του, δηλαδή $W+U=V, \, W\cap U=(0)$ , τότε αποδεικνύεται ότι κάθε $x\in V$ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως x=w+u

με $w\in W, \, u\in \, U$ (ευθύ άθροισμα). Η προβολή στον

, ακριβέστερα στον

κατά μήκος του

(projection on

along

), είναι η (καλά ορισμένη) απεικόνηση $P: V\to W, \, Px=w$ .

Στην απάντηση του Γρηγόρη έχει ληφθεί μόνο η περίπτωση $U=W^{\bot}$ . Βλέπε εδώ για προβολές γενικά.

Αποδεικνύεται απλά ότι η

είναι γραμμική και έχει ιδιότητες $P^2=P, \, P(U)=(0)$ .

Στν παραπάνω άσκηση $W =\{(x,2x),x\in\mathbb{R}\}$ (μονοδιάστατος). Τα συμπληρώματά του είναι οποιοσδήποτε από τους (μονοδιάστατους) υπόχωρους $U_c = \{(x,cx),x\in\mathbb{R}\}$ όπου $c\ne 2$ (άμεσο).

Έστω τώρα $(x,y) \in \mathbb R^2$ τυχαίο και $c\ne 2$ δοθέν. Θέλουμε $(w,2w) \in W, \, (v,cv) \in U_c$ με (x,y)=(w,2w) + (v,cv)

. Λύνοντας, εύκολα βρίσκουμε ότι $w= \frac {cx-y}{c-2}, \, u= -\frac {2x-y}{c-2}$ , δηλαδή

$\displaystyle{(x,y)= \left ( \frac {cx-y}{c-2}, \, \frac {2(cx-y)}{c-2} \right ) + \left (- \frac {2x-y}{c-2}, \,- \frac {c(2x-y)}{c-2} \right )}$

Τελικά η ζητούμενη προβολή είναι η $\displaystyle{\boxed {P_c(x,y) = \left ( \frac {cx-y}{c-2}, \, \frac {2(cx-y)}{c-2} \right ) \in W }}$

Εδώ τελειώνει η άσκηση αλλά προσθέτω ότι για c=-1/2

παίρνουμε την ορθογώνια προβολή, που έχει ακόμα και την ιδιότητα P=P^*

.

Φιλικά,

Μιχάλης

προβολες

προβολες

Re: προβολες

Re: προβολες

Re: προβολες

Re: προβολές

Re: προβολές

Μέλη σε σύνδεση