Συνάρτηση

Σπύρος98 · #1

Καλησπέρα. Ψάχνοντας έπεσα πάνω σε μία άσκηση του ανοιχτού πανεπιστημίου. Θα ήθελα να ρωτήσω μπορεί να ισχύει κάτι τέτοιο;

Έστω η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\rightarrow \mathbb{F}^{n}$ , $n\geq 2$ , ώστε για κάθε $\displaystyle \left ( x_{1},x_{2},\ldots, x_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ , ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n} \right )=\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )}$ Να εξετάσετε αν η

είναι γραμμική απεικόνιση.

#2

Σπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\rightarrow \mathbb{F}^{n}$ , $n\geq 2$ , ώστε για κάθε $\displaystyle \left ( x_{1},x_{2},\ldots, x_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ , ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n} \right )=\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )}$ Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.

Ναι ισχύει και είναι πολύ απλό στην απόδειξή του.

Πρέπει εξ ορισμού να δείξεις

$\displaystyle{ T \left ( x_{1}+ y_{1} ,x_{2}+ y_{2},\ldots, x_{n} + y_{n}\right ) =T \left ( x_{1} ,x_{2},\ldots, x_{n} \right ) + T \left ( y_{1} ,y_{2},\ldots, y_{n} \right )}$ και

$\displaystyle{ T \left ( ax_{1} ,ax_{2},\ldots, ax_{n} \right) =aT \left ( x_{1} ,x_{2},\ldots, x_{n} \right ) }$

Και τα δύο είναι άμεσα αν αντικαταστήσεις τα

με τον ορισμό τους.

Το αφήνω να το δεις, ώστε να συνηθίσεις/ξεκαθαρίσεις ποιο είναι το ζητούμενο.

Και συνεχίζω βάζοντας άσκηση:

Να βρεθεί ο πίνακας του , ως προς την κανονική βάση.

M.S.Vovos · #3

Ας προσθέσω και εγώ ένα ερώτημα.

Να εξετάσετε αν η γραμμική απεικόνιση

είναι γραμμικός ισομορφισμός.

Φιλικά,
Μάριος

Σπύρος98 · #4

Ευχαριστώ.

Είναι αρκετά εύκολο να αποδείξουμε ότι η

είναι γραμμική το ξέρω. Η διατύπωση όμως της άσκησης μου φάνηκε περίεργη.

Όσον αφορά τα ερωτήματα που θέσατε, είναι αρκετά εύκολα. Έτσι:

1) Ο πίνακας είναι ο $\displaystyle{\left ( T:\mathbf{e,e} \right )=\left ( \alpha _{ij} \right )=\left\{\begin{matrix} 1 &,i\leq j \\ 0 &,1>j \end{matrix}\right.}$

2) Η

είναι ισομορφισμός, αφού $\displaystyle{\det(\left ( T:\mathbf{e,e} \right ))=1\neq 0}$ (είναι σωστή η γραφή;).

#5

Σπύρος98 έγραψε: 1) Ο πίνακας είναι ο $\displaystyle{\left ( T:\mathbf{e,e} \right )=\left ( \alpha _{ij} \right )=\left\{\begin{matrix} 1 &,i\leq j \\ 0 &,1>j \end{matrix}\right.}$

2) Η είναι ισομορφισμός, αφού $\displaystyle{\det(\left ( T:\mathbf{e,e} \right ))=1\neq 0}$ (είναι σωστή η γραφή;).

1) Προσοχή, στο

έχεις τυπογραφικές αβλεψίες. Το σωστό είναι

$\displaystyle{\left ( T:\mathbf{e,e} \right )=\left ( \alpha _{ij} \right )=\left\{\begin{matrix} 1 &,{\color {red} i\geq j} \\ 0 &, {\color {red} i <j } \end{matrix}\right.}$

2) To 2) που γράφεις είναι σωστό αλλά να και ένας άλλος τρόπος: Ο

είναι

διότι εύκολα βλέπουμε ότι αν

$\displaystyle{\displaystyle \left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )=0 }$

τότε $\displaystyle{ x_{1} =x_{2}=...=x_{n}=0}$ .

Τρίτος τρόπος είναι να δείξουμε ότι ο

είναι επί (σχεδόν άμεσο). Και στα δύο χρησιμοποιώ ότι τα πεδία ορισμού και τιμών είναι ίδια.

M.S.Vovos · #6

Κύριε Μιχάλη, μια ερώτηση.

Η εκφώνηση δεν θα έπρεπε να λέει "και για κάθε $n\geq 2$ ";

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

M.S.Vovos έγραψε:Κύριε Μιχάλη, μια ερώτηση.

Η εκφώνηση δεν θα έπρεπε να λέει "και για κάθε $n\geq 2$ ";

Μάριε η αρχική εκφώνηση το λέει.

M.S.Vovos · #8

Εννοώ να χρησιμοποιήσει τον ποσοδείκτη.

#9

M.S.Vovos έγραψε:Εννοώ να χρησιμοποιήσει τον ποσοδείκτη.

Μάριε,

Ουσιαστικά η εκφώνηση λέει: " Έστω $n\ge 2$ οποιοσδήποτε φυσικός ... "

Στο σημείο που κοκκίνισα υπάρχει ποσοδείκτης.

Αν θέλουμε πιο φορμαλιστικά, λέμε:" $\forall n \in \mathbb N$ με $n\ge 2$ , ορίζουμε ... "

Μην μπλέκουμε το παραπάνω με αυτό που δεν είναι σαφές ποιος είναι ο ποσοδείκτης. Στο παραπάνω δεν αμφιβάλει κανείς, παρά την ελλειπή διατύπωση.

#10

Και μία ακόμη ερώτηση προς τον Σπύρο:

Σπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\rightarrow \mathbb{F}^{n}$ , $n\geq 2$ , ώστε για κάθε $\displaystyle \left ( x_{1},x_{2},\ldots, x_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ , ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n} \right )=\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )}$ Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.

Αφού είδαμε ότι είναι ισομορφισμός, βρες την αντίστροφη δηλώνοντας την εικόνα του

$T^{-1} (y_{1}, \, y_{2}, \, ... \, , y_{n})$

Κατόπιν βρες τον πίνακα του $T^{-1}$

Σπύρος98 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Και μία ακόμη ερώτηση προς τον Σπύρο:

Σπύρος98 έγραψε: Έστω η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\rightarrow \mathbb{F}^{n}$ , $n\geq 2$ , ώστε για κάθε $\displaystyle \left ( x_{1},x_{2},\ldots, x_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ , ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n} \right )=\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )}$ Να εξετάσετε αν η είναι γραμμική απεικόνιση.
Αφού είδαμε ότι είναι ισομορφισμός, βρες την αντίστροφη δηλώνοντας την εικόνα του

$T^{-1} (y_{1}, \, y_{2}, \, ... \, , y_{n})$

Κατόπιν βρες τον πίνακα του $T^{-1}$

Για τα $x=\left ( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ , $y=\left ( y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} \right )\in \mathbb{F}^{n}$ με $\displaystyle{T(x)=y\Rightarrow T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n} \right ) =\left ( y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n} \right )}$ και τον τύπο της γραμμικής απεικόνισης

$\displaystyle{\displaystyle T\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n} \right )=\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle{\left ( x_{1},x_{1}+x_{2},\ldots ,\sum_{i=1}^{n-1}x_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )=\left ( y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} \right )\Rightarrow }$

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x_{1}=y_{1}\\ x_{2}=y_{2}-y_{1}\\ x_{3}=y_{3}-y_{2}\\ \vdots \\x_{n}=y_{n}-y_{n-1} \end{matrix}\right.}$ Επομένως ο αντίστροφος τελεστής θα είναι της μορφής $\displaystyle{T^{-1}(y)=x\Rightarrow T^{-1}\left ( y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} \right )=\left ( y_{1},y_{2}-y_{1},\ldots,y_{n}-y_{n-1} \right )}$ .

#12

Σπύρος98 έγραψε: Επομένως ο αντίστροφος τελεστής θα είναι της μορφής $\displaystyle{T^{-1}(y)=x\Rightarrow T^{-1}\left ( y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} \right )=\left ( y_{1},y_{2}-y_{1},\ldots,y_{n}-y_{n-1} \right )}$ .

Σπύρος98 · #13

Κάτι πιο δύσκολο σε αυτή την άσκηση τι θα μπορούσε να είναι;

#14

Σπύρος98 έγραψε:Κάτι πιο δύσκολο σε αυτή την άσκηση τι θα μπορούσε να είναι;

Οι στάνταρ ερωτήσεις θα ήσαν: Για τους

,

και $T^{-1}$

α) Να βρείς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μαζί με τις αλγεβρικές και γεωμετρικές τους πολλαπλότητες,

β) Να βρεις το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο,

γ) Να βρεις τους αναλλοίωτους υπόχωρους, δηλαδή $T(M) \subseteq M$ , καθώς και εκείνους που επιπλέον και ο $M^{\perp}$ είναι αναλλοίωτος υπόχωρος,

δ) Να εξετάσεις αν διαγωνοποιείται και πώς,

ε) Να βρεις την κανονική μορφή Jordan,

στ) Να βρεις τους τελεστές με τους οποίους αντιμετατίθεται,

ζ) Να βρεις τους $e^T, \, e^{T^*}, \, e^{T+T^*}$ ,

και πολλά άλλα.

Σε δεύτερη φάση θα δώσω και πιο δύσκολα ερωτήματα. Ας αρχίσεις από το στ).

Σπύρος98 · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σπύρος98 έγραψε:Κάτι πιο δύσκολο σε αυτή την άσκηση τι θα μπορούσε να είναι;
Οι στάνταρ ερωτήσεις θα ήσαν: Για τους , , και $T^{-1}$

α) Να βρείς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μαζί με τις αλγεβρικές και γεωμετρικές τους πολλαπλότητες,

β) Να βρεις το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο,

γ) Να βρεις τους αναλλοίωτους υπόχωρους, δηλαδή $T(M) \subseteq M$ , καθώς και εκείνους που επιπλέον και ο $M^{\perp}$ είναι αναλλοίωτος υπόχωρος,

δ) Να εξετάσεις αν διαγωνοποιείται και πώς,

ε) Να βρεις την κανονική μορφή Jordan,

στ) Να βρεις τους τελεστές με τους οποίους αντιμετατίθεται,

ζ) Να βρεις τους $e^T, \, e^{T^*}, \, e^{T+T^*}$ ,

και πολλά άλλα.

Σε δεύτερη φάση θα δώσω και πιο δύσκολα ερωτήματα. Ας αρχίσεις από το στ).

Κ. Λάμπρου ευχαριστώ για τα ερωτήματα. Όμως, δεν μπορώ να τα απαντήσω αφού η ύλη στην οποία αναφέρονται είναι Γραμμικής ΙΙ, που είναι στο 2ο εξάμηνο.

#16

Σπύρος98 έγραψε: Όμως, δεν μπορώ να τα απαντήσω αφού η ύλη στην οποία αναφέρονται είναι Γραμμικής ΙΙ, που είναι στο 2ο εξάμηνο.

Ωραία. Κάνε μόνο την στ) που είναι στις μέχρι τώρα γνώσεις σου. Για ευκολία κάνε την για την περίπτωση n=4

αλλά ας την εμπλουτίσω λίγο, οπότε την αναδιατυπώνω:

α) Για το

παραπάνω (αλλά με n=4

), να βρεθoύν όλοι οι $4\times 4$ πίνακες

με

β) Να αποδειχθεί ότι όλοι οι πίνακες της μορφής a_0I + a_1T + a_2T^2+... + a_NT^N

(δηλαδή τα πολυώνυμα του

), όπου

ο ταυτοτικός, είναι πίνακες που ικανοποιούν την α).

γ) Πέρα από τα πολυώνυμα του

υπάρχουν άλλοι πίνακες που ικανοποιούν την α);

Ίδια εργασία για τον T^*

και τον $T^{-1}$ (εδώ T^*

ο ανάστροφος, δηλαδή οι γραμμές του

να γίνουν στήλες).

δ) Οι πίνακες

που ικανοποιούν την α) για τον

είναι οι ίδιοι για τους ανίστοιχους που ικανοπούν την α) για τον $T^{-1}$ ;

ε) Είναι ο $T^{-1}$ ίσος με πολυώνυμο του

;

Η άσκηση είναι απλή, αλλά έχει κάποιες πράξεις. Με γνώση περισσότερης θεωρίας λύνεται και χωρίς πολλές πράξεις. Π.χ. το δ) μπορείς να το απαντήσεις αμέσως τώρα χωρίς καθόλου πράξεις, και πριν κάνεις τα προηγούμενα υποερωτήματα.

Καλό... χαρτί και μολύβι.

Συνάρτηση

Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση