Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $A=(a_{1},0,a_{3}) ,B=(b_{1},b_{2},b_{3})$
δυο 3x3

πίνακες.
$a_{1},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3}$ ανήκουν στον $\mathbb{R}^{3}$
Αν C=tA+B

να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

να είναι ανεξάρτητο του

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά με υπόδειξη.

Το χαρακτηριστικό είναι f(x,t)=det(C-xI)

Για να είναι ανεξάρτητο του

πρέπει και αρκεί

$\dfrac{\partial f}{\partial t}=0$

Μένει να εφαρμοσθεί ο κανόνας παραγώγισης για ορίζουσες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ο κανόνας παραγώγισης για ορίζουσες είναι:
Αν g(t)=det(a(t),b(t),c(t))

τότε

Εχουμε

οπου $R=(b_{1}-xe_{1},b_{2}-xe_{2},b_{3}-xe_{3})$

Θετουμε $r_{i}=b_{i}-xe_{i}$

ετσι $C-xI=(a_{1}t+r_{1},r_{2},a_{3}t+r_{3})$

Αρα $\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}=det(a_{1},r_{2},a_{3}t+r_{3})+det(a_{1}t+r_{1},r_{2},a_{3})$

Απο τις ιδιότητες των οριζουσων παίρνουμε

$0=2tdet(a_{1},r_{2},a_{3})+det(a_{1},r_{2},r_{3})+det(r_{1},r_{2},a_{3})$

Αρα $0=det(a_{1},r_{2},a_{3})$ και $0=det(a_{1},r_{2},r_{3})+det(r_{1},r_{2},a_{3})$

Απο την πρώτη έχουμε $0=det(a_{1},b_{2}-xe_{2},a_{3})=det(a_{1},b_{2},a_{3})-xdet(a_{1},e_{2},a_{3})$

Επειδή ισχύει για όλα τα

παίρνουμε ότι

$det(a_{1},b_{2},a_{3})=0,det(a_{1},e_{2},a_{3})=0$
ομοια δουλεύοντας την δεύτερη παίρνουμε και άλλες συνθήκες
(οι πράξεις είναι πολλές)

Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

Re: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

Re: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

Μέλη σε σύνδεση