Δύο(;) ωραία αποτελέσματα

[Ilias_Zad]

Έστω πολυώνυμο στο .
Νδο
i)αν το είναι τετράγωνο ακεραίου για κάθε φυσικό ,τότε το είναι τετράγωνο πολυωνύμου στο
ii) Aν για κάθε πρώτο το είναι τετράγωνο πολυωνύμου στο τότε είναι και τετράγωνο πολυωνύμου στο

[Παναγιώτης 1729]

Αποδεικνύουμε πρώτα το πρώτο το οποίο θα έχει ως συνέπεια (σε συνδυασμό με ένα λήμμα) το δεύτερο.
Θα χρησιμοποιήσω επίσης το εξής λήμμα, του οποίου η απόδειξη είναι εύκολη (με το διωνυμικό ανάπτυγμα) και θα την παραλείψω, καθώς επίσης και το θεώρημα ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές έχει ρίζα στο σώμα για άπειρους πρώτους .
Λήμμα 1ο: Αν πρώτος, είναι για κάθε πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές.
1)Υποθέτουμε ότι το P δεν είναι τετράγωνο ακεραίου πολυωνύμου και θα καταλήξουμε σε άτοπο.
Έστω , μία (και μοναδική ουσιαστικά, αφού ο είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης) ανάλυση του P με ανάγωγους παράγοντες στον , διαφορετικούς ανά δύο. Βλέπουμε ότι μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι . Είναι , άρα από το θεώρημα Bezout υπάρχουν πολυώνυμα και μη μηδενικός ακέραιος με . Από το θεώρημα που αναφέρθηκε στην αρχή, υπάρχει πρώτος και με . Αλλά προφανώς ο δεν διαιρεί το γινόμενο , άρα αφού το είναι τέλειο τετράγωνο, . Ομοίως , άτοπο.

2)Λήμμα 2ο: Έστω ένας ακέραιος που είναι τετραγωνικό κατάλοιπο για κάθε πρώτο . Τότε, ο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Aς δούμε γιατί αυτό θα έχει λύσει την άσκηση. Αν το είναι τέλειο τετράγωνο πολυωνύμου στο για κάθε πρώτο , τότε για τυχαίο θα έχω ότι ο είναι τετραγωνικό κατάλοιπο για κάθε πρώτο . Έτσι, από το λήμμα αναγόμαστε στην περίπτωση 1).

Απόδειξη του Λήμματος:
Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις:
-Ο είναι δύναμη του 2. Τότε, αν έχω π.χ. , άτοπο, άρα
-Έστω , όπου οι είναι περιττοί πρώτοι διαφορετικοί ανά δύο (για άτοπο).
Έστω ένα μη τετραγωνικό κατάλοιπο . Από το κινέζικο θεώρημα υπάρχει για και . Ο μπορεί από το θεώρημα του Dirichlet να επιλεγεί προφανώς πρώτος. Από τον νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής ελέγχουμε ότι , άτοπο.


Το θεώρημα Dirichlet μπορεί να αποφευχθεί και να γίνει η απόδειξη πιο στοιχειώδης, αλλά είναι σαφώς κομψότερη η απόδειξη του λήμματος με τον τρόπο αυτόν.

[Παναγιώτης 1729]

Απ' ότι φαίνεται αντί για τέλεια τετράγωνα μπορεί να έχουμε τυχαίες κ-οστές δυνάμεις. Νομίζω έχω απόδειξη γι' αυτό και θα ήταν ενδιαφέρον ίσως να το συζητούσαμε. Το πρόβλημα δηλαδή έχει ως εξής:



Έστω πολυώνυμο, ώστε το να είναι τέλεια k-οστή δύναμη πολυωνύμου στο για κάθε πρώτο . Ν.δ.ο. το είναι τέλεια κ-οστή δύναμη πολυωνύμου με ακεραίους συντελεστές.

[Ilias_Zad]

Ωραία Παναγιώτη, πολύ σωστές οι απαντήσεις σου! Την ίδια λύση είχα και εγώ υπόψιν. Για την γενίκευση που λες αρκεί να δειχτεί ότι αυτό συνεπάγεται ότι τα είναι k-οστές δυνάμεις για n φυσικό. Ύστερα τα πράγματα είναι απλα:
Είναι και για κάποια πολυώνυμα στο , και ακέραιο. Το τελευταίο διότι το είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Έτσι τώρα για κατάλληλο πρώτο και μπορούμε να πάρουμε όμοια άτοπο.

Για το πρώτο και σημαντικό όμως βήμα πρέπει να το σκεφτώ καθώς δεν μου φαίνεται άμεση η απάντηση. Σαν μια πρώτη ιδέα μου φαίνεται πως μπορούν να γίνουν κάποια βήματα με αλγεβρική θεωρία αριθμών αν ο είναι square-free. To βλέπουμε.

[Demetres]

Νομίζω έχω μια απόδειξη αλλά αρκετά μη στοιχειώδη.

Θα χρησιμοποιήσουμε μια γενίκευση του θεωρήματος Dirichlet, to Chebotarev's (density) theorem. Αυτό λέει το εξής:

Έστω μια πεπερασμένη επέκταση Galois με ομάδα Galois . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι και το ελάχιστο πολυώνυμο του με βαθμό . Η δρα στις ρίζες του οπότε την θεωρούμε ως υποομάδα της . Κοιτάζουμε τώρα πως το παραγοντοποιείται στα διάφορα πεπερασμένα σώματα. Ισχύει ότι αν η έχει ένα στοιχείο τύπου (δηλαδή είναι γινόμενο αμοιβαία ξένων κύκλων με μήκη ) τότε υπάρχει πρώτος όπου η παραγοντοποιείται σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων με βαθμούς αντίστοιχα. [Ισχύει μάλιστα ότι πυκνότητα των πρώτων για τους οποίους γίνεται αυτή η παραγοντοποίηση ισούται με το ποσοστό των στοιχείων τύπου στην .] (*)

Στην περίπτωσή μας τώρα υποθέτουμε ότι ο δεν είναι τέλεια δύναμη. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει πρώτος ώστε ο δεν είναι τέλεια δύναμη . Έστω λοιπόν το ελάχιστο πολυώνυμο του . (Το οποίο από την υπόθεση έχει βαθμό μεγαλύτερο του 1.) Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει πρώτος ώστε το να μην έχει ρίζα . Δηλαδή αν γράψουμε το ως γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων τότε δεν υπάρχει γραμμικός παράγοντας.

Χρησιμοποιώντας τώρα το θεώρημα Chebotarev, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει στοιχείο της ομάδας Galois της το οποίο να μην έχει κανένα κύκλο μήκους 1, δηλαδή να μην έχει σταθερό σημείο. Από το λήμμα του Frobenious όμως, ο μέσος όρος των σταθερών σημείων ισούται με τον αριθμό των τροχιών. Όμως η ομάδα Galois είναι μεταβατική, δηλαδή υπάρχει μόνο μία τροχιά. Επειδή το ταυτοτικό στοιχείο ανήκει στην και έχει περισσότερα από ένα σταθερά σημεία, σημαίνει ότι υπάρχει και στοιχείο χωρίς σταθερά σημεία όπως θέλαμε.

(*) Με μια μικρή επιφύλαξη αν το ερμηνεύω σωστά.

[Παναγιώτης 1729]

Σύμφωνα με παρατήρηση του Demetres,τον οποίο και ευχαριστώ, πρέπει να ελέγξω στο λήμμα για την 2) και την περίπτωση που . Από ότι βλέπω αν , ο ίδιος μας κάνει την δουλειά.

Για την περίπτωση τυχαίας k-οστής δύναμης δεν έχω κάτι πιο στοιχειώδες από το (πανίσχυρο) θεώρημα Chebotarev.