Τόλη , είμαι από τους τυχερούς που έχω ( ως δώρο σου ) , τους δύο αρχικούς τόμους του έργου σου . Πέραν της εξαιρετικά ενδιαφέρουσας ύλης , είναι αξιοθαύμαστη και η ποιότητα στον τρόπο παρουσίασης των κειμένων . Τούτο το βιβλίο είναι προφανώς ακόμη καλύτερο . Σου εύχομαι μάθε επιτυχία :clap2:

Για το ερώτημα γ) θεωρήθηκαν γνωστά τα : $\ln{10}\simeq 2.303$ και : $\ln2\simeq0.693$ ( σε σχολική εξέταση θα έπρεπε να δοθούν στην εκφώνηση ) , οπότε : $2\ln\dfrac{5}{2}=2(\ln{10}-2\ln2) \simeq1.832$ . Αλλά και πάλι το γεγονός ότι : $1.832<E<2$ , δεν συνεπάγεται ότι η προσέγγιση δεκάτου του $E$ εί...

Βρείτε δύο θετικούς αριθμούς , των οποίων η ( θετική ) διαφορά ισούται με ,

ενώ η διαφορά μεταξύ Αριθμητικού μέσου και Γεωμετρικού μέσου τους , είναι .

Προαιρετικό : Υπάρχει περίπτωση οι παραπάνω θετικές διαφορές να είναι ίσες ;

Ανάλογα με το σημείο επαφής.png Οι κύκλοι $(K,R)$ και $(L,r)$ εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο $S(a,b)$ του πρώτου τεταρτημορίου , ενώ ο πρώτος εφάπτεται του $Ox$ στο $P$ και ο δεύτερος του $Oy$ στο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ . Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : $(a,b)=(3,4)$ ,...

Το πράσινο δεν πάει παραπάνω.png Το σημείο $S$ κινείται στη διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου . Φέρουμε την εφαπτομένη $BT$ προς το ημικύκλιο διαμέτρου $AS$ - η οποία τέμνει το αρχικό στο σημείο $P$ - και την $AT$ , η οποία τέμνει το μεγάλο τόξο στο σημείο $Q$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγών...

Το σημείο είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Αν : , δείξτε ότι : .

Σταθερό μέσα σε χαμό.png Τα σημεία $B , D , C$ είναι σταθερά και συνευθειακά . Το $A$ κινείται ελεύθερα στο άνω ημιεπίπεδο , ενώ το $P$ κινείται ελεύθερα στο τμήμα $AD$ . Οι ημιευθείες $BP , CP$ τέμνουν τα τμήματα $AC , AB$ στα σημεία $T , Q$ αντίστοιχα , ενώ η $QT$ τέμνει την προέκταση της $BC$ στ...

Για την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : . Υπολογίστε την : .

Να λυθεί το σύστημα :

Όσο πιο κοντά στην αρχή.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $b=5 , c=12$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα $BC$ . Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό του τμήματος $BD$ . Η κάθετη προς το τμήμα $AS$ στο $S$ , τέμνει την $AB$ , στο σημείο $T$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $AT$ ....

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{ln(x+1)}{x} & , x>-1 , x\neq 0 \\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$ α) Βρείτε τον $k \in \mathbb{R}$ , για τον οποίο η $f$ καθίσταται συνεχής στο $x_{0}=0$ β) Δείξτε ότι για κάθε $x\geq 0$ , ισχύει : $\dfrac{2}{x+2}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{\sqrt...

Θέλουμε το ορθογώνιο τρίγωνο να έχει το μισό εμβαδόν του . Βρείτε την θέση του . ( ) .

Πρόκειται ασφαλώς για τον αριθμό : $\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}$ , του οποίου μία εξαιρετική προσέγγιση είναι ο αριθμός : $\dfrac{5\pi}{2}$ . Πράγματι ( με πέντε δεκαδικά ) : $\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}=7.85939 , \dfrac{9e^3}{23}=7.85956 , \dfrac{5\pi}{2}=7.85398$ . Η προτεινόμενη παράγει την : $e^{2\phi...

Δίνεται η συνάρτηση : . α) Να λυθεί η εξίσωση :

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της . γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : ;

Βρείτε με "καλή" προσέγγιση την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : .

Τα τρία ημικύκλια.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ . Σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου $OM$ και ένα τρίτο ημικύκλιο , κέντρου $B$ , το οποίο εφάπτεται στο δεύτερο , έχει τα άκρα του $C $ και $ D$ στην ευθεία $AB$ και τέμνει το αρχικό στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα ...

Λογάριθμος.png $\bigstar$ Τα σημεία $M , N$ είναι μέσα των πλευρών $BC , CD$ του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : $DS , ST , TM$ . γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

Η παραβολή με τύπο : , τέμνει τον άξονα στα σημεία και τον , στο .

Ο κύκλος , τέμνει εκ νέου την παραβολή στο σημείο . Βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο του .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

Κώστα , τι να πω , είσαι θησαυρός