Μια άλλη σκέψη (νομίζω σωστή)... Επειδή $f(A)=(0,+\infty)$ υπάρχει $x_0>0$, τέτοιο ώστε: $\displaystyle f(x_0)=\frac{1}{e}$. Βάζουμε τώρα στην αρχική σχέση όπου $x$ το $x_0$, οπότε έχουμε: $\displaystyle x_0lnx_0=\frac{1}{e}$. Με Bolzano εύκολα δείχνουμε ότι $x_0 \in (1,2)$. Παραγωγίζοντας προκύπτει...

Να εξετάσετε αν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση , τέτοια ώστε:

.

Θέμα από το βιβλίο ''Themes Mathematiques'' του Gaston Aligniac σε μετάφραση και διασκευή Β.Σπανδάγου Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[2,3] \rightarrow \mathbb R$, για την οποία ισχύουν τα εξής: $\bullet$ είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη. $\bullet$ $\displaystyle f(2)=\frac{4}...

Σας ευχαριστώ

Σε αυτή τη μέθοδο ανεφερόμουν και στην οποία δεν καταλαβαίνω με ποιο σκεπτικό θέτουμε . Υπάρχει παρόλα αυτά άλλος τρόπος;...

Ψ'αχνοντας και διαβάζοντας για επίλυση διαφορικών εξισώσεων διάφορων μορφών, μου ήρθε στο μυαλό το εξής: $\displaystyle f''(x)x^2=6f(x) , x \in \mathbb R$. Δύο λύσεις είναι: $f(x)=0$ και $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}$. Ένας τρόπος επίλυσης είναι με χρήση της μεθόδου Euler, την οποία όμως δεν κατ...

Το δεύτερο ερώτημα όμοιο με το τρίτο εδώ:viewtopic.php?f=53&t=38555

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύουν τα εξής: $\bullet$ $f(x) \neq 0 , x \in [0,1]$. $\bullet$ $f(0)=1$. $\bullet$ $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt}=1$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$, τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi...

Προσέθεσα ένα ακόμα ζητούμενο στο πρώτο ερώτημα... Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb R$, για τις οποίες ισχύει ότι: $\displaystyle {f(x)=\begin{cases} \frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x} ,& x>0 \\ g(0) ,& x=0 \end{cases}}$ . Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι $f,g$ είναι...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f'\left ( x \right )\neq 0 \; \forall \; x\in \left [ 0,1 \right ]}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{g:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g\left ( x \right )=\lef...

Επαναφορά...

Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb R$, για τις οποίες ισχύει ότι: $\displaystyle {f(x)=\begin{cases} \frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x} ,& x>0 \\ g(0) ,& x=0 \end{cases}}$ . Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι $f,g$ είναι γνησίως αύξουσες στο $[0,+\infty)$ και ότι $f'(x) \...

$B5.$ Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(\int_{-1}^{x}{\sqrt{t^{2}-1} dt)}$. Η προσέγγιση για το $B5.$, αν δεν κάνω κάποιο σοβαρό λάθος :D : Για $t<-1$ ισχύει ότι: $\displaystyle \sqrt{t^2-1} \leq \sqrt{t^2}=|t| \leq |t|^2=t^2$. Άρα: $\displaystyle \int_{-1}^{x}{\sqrt{t^2...

Άλλαξα το Β5 και διόρθωσα το Β3

Για το :

Είναι .

Επειδή τo γίνεται ελάχιστο όταν , δηλαδή όταν , θα έχουμε ότι:



Άρα .

kochris έγραψε:

ArgirisM έγραψε: β) Θέτουμε και με αντικατάσταση έχουμε:

Το ισουται με

έχεις δίκιο, το διόρθωσα

Έστω μιγαδικοί αριθμοί $z , w$, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: $\bullet$ $\displaystyle |z|^2|z^2-2z+1|=2Re(\bar{z}(z-1))Im(\bar{z}(z-1))$ $\bullet$ $\displaystyle w^2=Im(2Re(w)w)i+c , c>0$. $B1.$ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του $z$. $B2.$ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ...

2. Να λυθεί (στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$) η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+6=3\sqrt{x^2-3x+4}}$ Σχόλιο : Αν $\displaystyle{\,\,x \in C\,\,}$ , με τα σημερινά δεδομένα το σύμβολο της ρίζας δεν έχει νόημα Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής, χωρίς να θέλω να παρέμβω στο θέμα, γιατί πολλές φορές το βλέπω κα...

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle f(x)-e^{f(x)}=x^3-4x (1)$. Να αποδείξετε ότι: $i)$ η $(1)$ δεν ισχύει για $x \in [-2,0] \cup [2,+\infty)$. Στη συνέχεια, αν η $(1)$ ισχύει για $x \in (-\infty,-3]$, να αποδείξετε ότι: $ii)$ η $...

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις και . Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες.

Αρκετά επικίνδυνο το , καθώς μοιάζει με το ....