τρείς ίσοι κύκλοι.png Τρεις ίσοι κύκλοι : $\left( {K,R} \right)\,\,,\,\,\left( {L,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,R} \right)$ διέρχονται από ένα σημείο $A$. Αν $B\,,\,\,C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τα δεύτερα σημεία τομής τους , να προσδιορίσετε : α) Το ορθόκεντρο του $\vartriang...

Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΗ βάση $BC$ του εγγεγραμμένου τριγώνου $ABC$ είναι σταθερή , με απόστημα $\dfrac{R}{2}$ . Η κορυφή $A$ κινείται στο μεγάλο τόξο $\overset{\frown}{BC}$ . Το $H$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το $N$ το μέσο της $AB$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος $HN$ και ελέγ...

Υπολογιστική αλλά όμορφη.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ είναι : $AB=7 , AC=8 , \hat{A}=60^0$ . Με διάμετρο την $AC$ και εξωτερικά του τριγώνου γράφουμε ημικύκλιο , το οποίο η προέκταση του ύψους $BD$ τέμνει στο σημείο $E$ . Υπολογίστε το μήκος του $CE$ . $AE^2=AD . AC=4 . 7=28 \Rightarrow x^2=8^2-28 \Rightar...

Μονοδιάστατη.pngΤο $ABCD$ είναι ορθογώνιο και το σημείο $S$ βρίσκεται στην προέκταση της $AB$ . Αν : $\phi=\theta$ , υπολογίστε το $a$ ........... Μέχρι $8/8$ Ο κύκλος $(C, a+1) $ εφάπτεται της $AD$ οπότε $AS=2a$ και $AE=2$ $ AD ^2=AS. AE \Rightarrow \alpha ^2=2 \alpha . 2 \Rightarrow \alpha =4$ Μο...

Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού 4-8 λόγος εμβαδών.png Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$. Το $E \in AC $ ώστε η κάθετη της $DE$ στο $E$ να τέμνει την $AB$ στο $L$. Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του $k$ , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \r...

Αξιοθαύμαστη παραλληλία.pngΣτην κάθετη στις βάσεις πλευρά $AB$ του ορθογωνίου τραπεζίου $ABCD$ , βρίσκεται σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $DS \perp SC$ . Φέρουμε : $ST \perp CD$ και ονομάζουμε $P,Q$ τις τομές των $AT , DS$ και $BT , CS$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $PQ \parallel AB $ . Από τα εγγράψιμα $A...

Χαίρετε ! Για την ισότητα των λόγων.png Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$ Ας επιτεθούμε στην άσκηση ... ποικιλοτρόπως! Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Έστω $Z$ μέσο...

Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο $S$ κινείται στην προέκταση της διαμέτρου $AB$ , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ και την τέμνουσα - διχοτόμο $SPQ$ . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : $PP'+QQ'$ . $C,D,M$ είναι οι ορθές προβολές των $Q,P,E$ αντίστοιχα επί της $...

Βάλε μου φραγή :lol: Καλή ιδέα :lol: Μια καλύτερη όμως , είναι μια προσεκτικότερη διατύπωση : Υπολογίστε την χορδή $ST$ , ή το απόστημα της χορδής $ST$ , ώστε ... Με $BC=2AC \Rightarrow KC= \dfrac{r}{3},BC= \dfrac{4r}{3} ,AC= \dfrac{2r}{3} $ και με Π.Θ $CM= \dfrac{r \sqrt{10} }{3} $ $CS . CM=AC . C...

Τρίχορδο.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2r$ , εντοπίστε χορδή $ST \parallel AB$ , έτσι ώστε : $AT=2AS$ . Έστω σημείο $C$ στο εσωτερικό του $AB$ με $\dfrac{BC}{CA}=2 $ και $M$ ο νότιος πόλος Η $MC$ τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο $S$ Πράγματι,$ \dfrac{SB}{SA}= \dfrac{BC}{CA}=2 \Rightarrow SB=2S...

Ψάχνοντας κάτι μεγαλύτερο.pngΣταθερό σημείο $P$ βρίσκεται σε απόσταση $3r$ από το κέντρο κύκλου $(O , r)$ . Σημείο $S$ κινείται επί του κύκλου . Σχεδιάζω το ορθογώνιο - στο $S$ - τρίγωνο $TSP$ , με $TS=\dfrac{SP}{2}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου $T$ . Ο θεματοδότης την περίοδο αυτή είνα...

Γεια σου Γιώργο.
Οι υποψήφιοι που ξέρουν τα στοιχειώδη στην Γεωμετρία,πιστεύω πως δεν θα είχαν καμιά δυσκολία

Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$. 24 ώρες, μόνο για μαθητές . Έστω το παραλ/μμο $ABMC$.Είναι ,$ LDZ//AB$ και $KL//AC//BM...

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...

Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο..png Στην υποτείνουσα $BC$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ θεωρούμε σημείο $M$ και έστω $N$ το μέσο του $MC.$ Η παράλληλη από το $M$ στην $AN$ τέμνει την $AB$ στο $D$ και ο κύκλος που διέρχεται από τα $B, D, C$ την $AC$ στο $E.$ Να δείξετε ότι $BE\bot AN.$ $DM//AN \Rightar...

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . $R^2=OA^2=OZ^2=OB^2=OI . OP$ $ \...

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $...

Γωνία διαμέσου και πλευράς.png Στο σχήμα το $M$ είναι μέσο του $BC$. Βρείτε τη γωνία $\theta $. 24 ώρες για τους μαθητές . Με $D$ συμμετρικό του $A$ ως προς $M$ και $E$ συμμετρικό του $D$ ως προς $BC$ θα έχουμε ότι $AE//BC$ και $ \triangle EDC$ ισόπλευρο με $ AE=EC $ Έτσι $ \angle 2 \theta =60^0 \R...

Κυκλικός λόγος.pngΟ κύκλος $(K,3)$ έχει το κέντρο του πάνω στον $(O,4)$ . Ονομάζουμε $BA$ την χορδή του $(O)$ η οποία εφάπτεται του $(K)$ και $CA$ την χορδή του $(K)$ η οποία εφάπτεται του $(O)$ . Αν η $CK$ προεκτεινόμενη , τέμνει την $AB$ στο σημείο $S$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ Λόγ...

Ώρα εφαπτομένης 45.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=3$ , το $S$ είναι σημείο του περικύκλου του και ανήκει στο ημικύκλιο που δεν ανήκει το $A$ . Φέροντας : $SP\perp AB , SM\perp BC ,ST\perp AC $ , δημιουργείται το ευθύγραμμο τμήμα $PMT$ . Αν το $M$ είναι το μέσο του $PT$ , υπολογίστ...