Ωραία πρόοδος.pngΣτις πλευρές $AB , BC , CA$ του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $S , P , T$ αντίστοιχα , ώστε : $AS=BP=CT$ . Αν τα δημιουργούμενα τμήματα : $SK , KN , NC$ , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου , υπολογίστε το $\lambda$ , καθώς και τον λόγο : $m=\dfrac{AS}{AB}$ . Ε...

Εμβαδόν τετραπλεύρου.pngΧορδή $MN=R$ , έχει τα άκρα της σε ημικύκλιο , διαμέτρου $AB=2R$ . Οι $AN , BM$ τέμνονται στο $S$ , ενώ οι εφαπτόμενες στα $M , N $ , τέμνονται στο $T$ . α) Υπολογίστε το $ST$ ... β) Υπολογίστε το $(MTNS)$ , όταν το $M$ είναι το μέσο του ημικυκλίου . Αναλογισθείτε αν μπορεί ...

Τετράγωνο και ισοσκελές.png Το $ABCD$ είναι τετράγωνο πλευράς $a.$ Με βάση την σταθερή πλευρά $AB=a$ κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο ισοσκελές τρίγωνο $EAB$ όπου οι ίσες πλευρές έχουν μεταβλητό μήκος $b$ και έστω $K$ το σημείο τομής των $AB, DE.$ α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $EAD$ είν...

Μέγιστο εμβαδόν 39.pngΑπό σημείο $S$ , το οποίο κινείται επί της $BC$ , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου $SPKT$ . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του $S$ . Άρση απόκρυψης και λύση Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο $ABC$ έχουμε...

Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και κέντρου $O$. Κύκλος διέρχεται από το $O$ και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την $AB$ στο $E$. Ας είναι : $S$ το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \i...

83.png Ψάχνω το μήκος του τμήματος $x$. Θεωρούμε το ορθογώνιο-ισοσκελές τρίγωνο $BEZ$ που ο περίκυκλός του τέμνει την $AB$ στο $H$ και την $AD$ στο $N$ Όλες οι 45-άρες προκύπτουν εύκολα,οπότε $AH=AE=4$ κι επειδή $HE//BN\Rightarrow NE=HB=2$. Ακόμη,$ ZN \bot AD \Rightarrow ZN//CD$ Από Πτολεμαίο στο $...

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑

Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

83.png


Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

Είναι κι από τον τύπο με παίρνουμε

Επί του εγκύκλου.pngΤα σημεία $S , B , C , T$ είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : $SB=2 , BC=6 , CP=4.5$ . Με βάση την $BC$ σχεδιάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ και γράφουμε τον έγκυκλό του , ο οποίος εφάπτεται στα σκέλη $AB , AC$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες $SD , PE$ , τέ...

Έστω ο ρόμβος $AB\Gamma\Delta$. Πάνω στις πλευρές $AB, A\Delta$ θεωρούμε τα σημεία $E, Z$ αντιστοίχως τέτοια, ώστε $AE=\Delta Z$. Αν ονομάσουμε $K$ την τομή των $B\Gamma, \Delta E$ και $\Lambda$ την τομή των $\Gamma \Delta, BZ$ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία $A, K, \Lambda$ είναι συνευθειακά. Οι ...

Τετράγωνο και ισόπλευρο.pngΣτην προέκταση της διαγωνίου $BO$ , τετραγώνου $OABC$ , θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $OS=OB$ . Σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $SOP$ . α) Δείξτε ότι τετράγωνο και τρίγωνο δεν είναι ισεμβαδικά. β) Δείξτε ότι οι ευθείες : $AS , CP$ δεν είναι παράλληλες . Αν $AS//PC$,επειδή $BO=A...

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Προσθέτω στο σχήμα το σημείο $Q$ , που είναι η τομή των $MN , BD$ . Δείξτε ότι το $Q$ είναι το μέσο του $BD$ . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν . $tan \theta = \dfrac{b}{2c}= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{c} = \dfrac{NA}{AL} \Rightarrow AL=c \Rightarrow OL=c...

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια $OASB , OCTD$ είναι ισεμβαδικά . Τα $N ,M$ είναι τα μέσα των $AS , CT$ και : $L\equiv AC\cap NM$ . α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις $a,b,c,d$ . 1.$ab=cd \Rightarrow \dfrac{c}{a}...

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια $OASB , OCTD$ είναι ισεμβαδικά . Τα $N ,M$ είναι τα μέσα των $AS , CT$ και : $L\equiv AC\cap NM$ . α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις $a,b,c,d$ . 1.$ab=cd \Rightarrow \dfrac{c}{a}...

Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεί...

Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεί...

Μεταφορά διαμέτρου.png$\bigstar$ Με τα σημεία $L , N$ τριχοτομούμε την διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου . Φέρουμε τα κάθετα προς την $AB$ , τμήματα $AS , LT$ , έτσι ώστε τα σημεία $S,T,N$ να είναι συνευθειακά . Να αποδειχθεί ότι : $SL=AB$ . Με $C$ συμμετρικό του $A$ ως προς $BT$ κι επειδή $TN=TS$, $NC...

Στο Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη, ένα σχετικά μικρό κείμενο το οποίο σώζεται μόνο σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση, η Πρόταση $11$ λέει Αν σε έναν κύκλο ακτίνας $R$ έχουμε δύο κάθετες χορδές $AB, \,CD$ που τέμνονται στο $K$, τότε $KA^2+KB^2+KC^2+KD^2=4R^2$. H πρόταση και η απόδειξη είναι βέβαια γνωστά...

Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές με βάση : $BC=6$ και σκέλη : $AB=AC=5$ . Από το σημείο $B$ διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος $AD$ στο σημείο $T$ και την πλευρά $AB$ στο $S$ . A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$ B) Να υπολογισ...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 09, 2021 1:07 pm

Απόσταση κορυφής από απέναντι πλευρά.pngΤο ύψος προς την υποτείνουσα , ορθογωνίου τριγώνου , ισούται με . Με μικρή βάση

, σχεδιάζω τραπέζιο . Να βρεθεί η απόσταση της κορυφής από την πλευρά .

Από σταθερό σημείο 3.pngΕπί ευθείας $\varepsilon$ , η οποία είναι παράλληλη προς την ακτίνα $OA$ ενός κύκλου και δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο , θεωρούμε σταθερό σημείο $S$ . Μεταβλητή ευθεία , διέρχεται από το $A$ και τέμνει τον κύκλο στο $T$ και την $\varepsilon$ στο $P$ . Δείξτε ότι ο κύκλο...