17.png Καλησπέρα . Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ . Ο περίκυκλος του $\triangle ABD$ τέμνει την $AC$ στο $Z$ και $\angle ZDB=13^0$ άρα $\angle ZDC=30^0$ Επειδή $ \angle B_{ \varepsilon \xi } =30^0 \Rightarrow DBKC$ εγγράψιμο και ο περίκυκλός του τέμνει την $AC$ στο $E$ Η διχοτόμος της $\angle ...

Ορθογωνιακές σκέψεις.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με : $AB=AC\sqrt{2}$ , οι διάμεσοι $AM$ και $CN$ τέμνονται στο $E$ . α) Δείξτε ότι : $CN \perp AM$ ... β) Δείξτε ότι : $(AEC)=(MENB)$ a)Είναι $EM= \dfrac{AM}{3}= \dfrac{a}{6} \Rightarrow ME . MA= \dfrac{a^2}{12}$ και $ a^2=3b^2 \Rightar...

Γεια σας. Τρίγωνο και ..πανσέληνος.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $BC=2$ και $AC=1+\sqrt{3}$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν ισχύει $\widehat{C_{\varepsilon \xi }}=2\widehat{B_{\varepsilon \xi }}$ τότε: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Επειδή ενδέχεται το παρόν να δυσκολέψει (προσωρινά πάν...

Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$, το μέσο $M$ του $AB$ και σημείο $E$ στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$. Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$. $ E,K,D,A,M$ ομοκυκλικά και $CK . CD=CE . CA \Rightarrow \dfrac{a^2}{2}=CE . a \sqrt{2} \Rightarrow CE= \dfrac{a \sqrt{2} }{4} ...

Τις μέρες αυτές το mathematica επισκέπτονται όλο και περισσότεροι μαθητές , προτείνω λοιπόν να ανεβάζουμε και θέματα των σχολικών φακέλων , έστω και αυξημένης δυσκολίας . Λοιπόν : Εμβαδόν τριγώνου.pngΑπό τυχόν σημείο $S$ του κύκλου με εξίσωση : $x^2+y^2=16$ , φέρουμε τμήματα $ST,SQ , SP$ κάθετα στο...

Διχοτόμος.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία κορυφής $\hat{A}=20^0$ . Στην προέκταση της $AB$ θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $BS=BC$ . Στην προέκταση της $SC$ θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $CT=BC$ . Δείξτε ότι : $ST=AT$ . Αλλιώς.. Με $\angle ACD=20^0 \Rightarrow \triangle SDC \simeq \triangle CB...

Εφαπτομένη και καθετότητα.pngΗ $AS$ είναι διχοτόμος στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ . Ο κύκλος που διέρχεται από τα $S ,B$ και το μέσο $M$ της πλευράς $AB$ , εφάπτεται της $AC$ . α) Υπολογίστε την : $\tan\hat{C}$ . β) Αν το $CT$ είναι το ( άλλο ) εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο , εξηγήστε γιατί : $MT\perp ...

4πλάσια υποτείνουσα - 2πλάσια γωνία.pngΗ υποτείνουσα $BC$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι τετραπλάσια της πλευράς $AB$ . Έστω $M$ το μέσο της $BC$ και $S$ σημείο της πλευράς $AC$ , ώστε : $AS=\dfrac{2}{5}AC$ . Δείξτε ότι : $\widehat{AMS}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ . Με $N$ νότιο πόλο του κύκλου $ (M...

Δίνεται τρίγωνο , με $ A \Gamma=3 AB}$. Τα σημεία $\Delta$ και $E$ βρίσκονται στην πλευρά $A\Gamma$ έτσι, ώστε $A\Delta= \Delta E=E\Gamma$. Αν $M$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $M\Delta$, $ME$ είναι κάθετα. Με $N$ συμμετρικό του $B$ ως προς $A$, το $D$ είναι ...

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση. Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=6$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία $P \in AB$ , $F \in AC$ και τα μέσα $M$ και $N$ των $BC,PF$. Η χορδή $AEI$ είναι παράλληλη της $MN$ με $E \in BC$. Αν είναι $AE\cdot AI=24$ και ισχύει $\l...

Ενδιαφέρων λόγος.pngΣτο σχήμα βλέπετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τύπου $3-4-5$ , το ύψος $AD$ προς την υποτείνουσα $BC$ και τις προβολές $E , Z, $ του $D$ στις $AB , AC$ αντίστοιχα . Η $EZ$ τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου το σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SZ}{SC}$ . άρση απόκρυψης ...

Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο $ABCD$ , με $AB=8 , AD=5$ και τέτοιο ώστε η κάθετη από το $B$ προς την $AC$ , να διέρχεται από το μέσο $M$ της $DC$ . Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ . Κατασκευή Κατασκευάζουμε το τρίγωνο $ DCN$ με $CD=8,DN= \dfrac{15}...

Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε $B' , C'$ τις προβολές των κορυφών $B , C$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , πλευράς $a$ , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ . Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$ Έστω $BB'=x ,CC'=y$. Λόγω των εγγράψιμων $ABB'M,AC...

Γινόμενο αποστάσεων.pngΣτο ημικύκλιο του σχήματος , τα τμήματα $SQ ,TP$ , είναι οι αποστάσεις των σημείων $S,T$ από την εφαπτομένη του τόξου σε κινητό σημείο $M$ . α) Υπολογίστε το τμήμα $TP$ , αν $SQ\cdot TP =14$ . β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου $SQ\cdot TP$ Με $PC//AB$ και $PT=x$ εί...

Βέλη και διαφορά.pngΤα βέλη των δύο βάσεων του εγγεγραμμένου ισοσκελούς τραπεζίου $ABCD$ , έχουν μήκη $MT=a , NS=b$ . Υπολογίστε την διαφορά : $AC-AD$ . Το βέλος της χορδής συνδέει το μέσο της με το μέσο του μικρού της τόξου . $AS,TC$ είναι διχοτόμοι των $ \angle DAC,BCA$. Με $ DZ \bot AS$ και $BH ...

Λόγος και εφαπτομένη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=10$ και μέσου $M$ , ονομάζουμε $N$ το μέσο της $OM$ . Έστω σημείο $S$ της $AO$ , ώστε : $AS=4$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{TB}$ και την : $\tan\theta$ $ tan \phi = \dfrac{ON}{OB}= \dfrac{1}{2}= \dfrac{TC}{AC}= \dfrac{TA}{TB} $ $ TC^2=AC ....

Ώρα εφαπτομένης 16.pngΣτο τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος , υπολογίστε την $\tan\theta , (\theta=\widehat{CAD}) $ . Με $ AM\bot BD ,DH \bot AC \Rightarrow M,H$ μέσα των $AD,DZ \Rightarrow MH//BC$ Έτσι οι γωνίες $ \theta $ είναι ίσες και $ ABCD$ εγγράψιμο $ \Rightarrow AS^2=13 . 5=65$ και με Π.Θ στο...

Ταυτόχρονη μεγιτοποίηση.pngΤα τμήματα $AQ , AO$ είναι σταθερά , ίσα και κάθετα . Το τμήμα $OS$ είναι κάθετο στο $AO$ και μεταβλητού μήκους . Φέρουμε $OT \perp SA$ , το οποίο τέμνει την $SQ$ στο $P$ και ας πούμε $P',T'$ τις προβολές των $P,T$ στο τμήμα $AO$ . Υπολογίστε τα μέγιστα των τμημάτων $TT' ...

Ώρα συνημιτόνου 5.pngΤο $T$ είναι ένα από τα σημεία τομής των κύκλων : $(O,3) , (K,4)$ . Ο κύκλος $(O,OK)$ τέμνει τον $(K)$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το $\cos\omega$ , ώστε τα σημεία : $O , T , S$ να είναι συνευθειακά . $\angle BTK= \angle \theta =2y \Rightarrow TKBO$ εγγράψιμο $ \triangle SOK \s...

shape.pngΔίνεται κύκλος $(O,R)$ και δύο χορδές του $AB = CD = 4$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ εφάπτεται στην $CD$ στο $E$. Να βρείτε το $R$, αν $CE = 3DE = 3$ Θεωρώντας και το ημικύκλιο διαμέτρου $CD$ η $AB$ είναι εφαπτομένη του και $MP \bot AB$ . Εύκολα με Π.Θ στο $\triangle MNP \Rightarrow MN= \s...