Αθροίσματα γωνιών.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο , το $S$ είναι τυχαίο σημείο της πλευράς $AC$ και το $E$ το έγκεντρο του τριγώνου $SBC$ . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : $\phi+\omega , $ $\phi+\theta$ . Επειδή $CE$ μεσοκάθετος της $AB$ ,οι γωνίες $x$είναι ίσες,άρα $ASEB$ εγγράψιμο Η $ZE$ εί...

48.png Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ . Κατασκευάζοντας το ισόπλευρο τρίγωνο $EBC$ θα είναι $\angle AEC= \angle ECA=18^0$ κι έστω $AM$ ύψος του Κατασκευάζουμε $ \angle DBN=6^0$ οπότε $\angle NBC= \angle NCB=18^0 \Rightarrow \angle DCN=24^0-18^0=6^0$ και $NDCB$ εγγράψιμο ,άρα $\angle NDB= \...

45.png Το τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος είναι τετράγωνο και το $M$ μέσο της $BC$. Δείξτε ότι $R=EB$. Επειδή $DM=MA$ ,λόγω και του εγγράψιμου $DMEA$ ,οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα $\angle ODM=45^0$ και $DOMC$ εγγράψιμο Επειδή $\angle DOE=135^0$ θα είναι $OE//DM \Rightarrow OE \bot EM$ και λόγω...

shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές! Με $CD=DE=1$ και $AC=CZ$ το $\triangle AEZ$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές και $E$ κ.βάρους του $\triangle ABZ $ $tan \phi = \dfrac{1}{2} ,tan \theta = \dfrac{ME}{EA}=...

shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές! Έστω $M$ κέντρο του περίκυκλου του $ \triangle ABC$.Είναι $AM= \sqrt{10},AD= \sqrt{5}$ Ισχύει,$ BD . DC=AD . DE \Rightarrow 5= \sqrt{5}DE \Rightarrow DE=DA= \sqrt...

Χαιρετώ. Εύρεση γωνίας.png Το τρίγωνο $ABC $ έχει $AB=AC$ και $\widehat{A}=30^o$. Το $E \in AC$ ώστε να ισχύει $BC^{2}=2AE^{2}$. Να υπολογιστεί η γωνία $\widehat{BEC}$. Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Κατασκευάζοντας το ημιτετράγωνο $AED$ έχουμε $AD^2=2AE^2=2BC^2 \Rightarrow AD=BC$ και $\angle ABC= \angle ...

Ελάχιστο μήκος.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=5, AC=7, BC=8$ και ένα σημείο $S$ εσωτερικό του τριγώνου, ώστε $A\widehat SC=120^\circ.$ Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του $BS.$ Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο $ABC$ εύκολα προκύπτει $\angle B=60^0$ Με $K$ κέντρο του κύκλου με το τόξο του $ANC$ $120^0$ ε...

41.png Στο παραπάνω ημικύκλιο διαμέτρου $AB$, τα μπλε τμήματα είναι ίσα. Δείξτε ότι τα κόκκινα τμήματα είναι επίσης ίσα. Αν η $BE$ κόψει τον κύκλο $(C,CA)$ στο $Z$,επειδή $ \angle AEB=90^0 \Rightarrow A,C,Z$ συνευθειακά Αφού $ \angle AED=40^0$ (σχέση επίκεντρης εγγεγραμένης)και $ \angle DEB=DAZ=50^...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.png Δίδεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$. Θεωρώ τα σημεία : $D$ του $AB$ με $AD = \dfrac{2}{3}AB$ και $E$ του $AC$ με $AE = \dfrac{1}{3}AB$. Δείξετε ότι : $\widehat {EDA} = \widehat {CBE}$. Εκτός φακέλου δικαιούται μία ανάρτηση έκαστος , εντό...

shape.pngΔίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και εξωτερικό σημείο $D$, τέτοιο ώστε $DA = 3,DC = 4,DB = 5$. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου $ABCD$ Θεωρούμε τους κύκλους $(D,3),(D,4),(D,5)$ οπότε (βλέπε σχήμα)$EC=1,BK=2$ και ισχύει $1.7=a(a+x) \Rightarrow x= \dfrac{7-a^2}{a}$ και $2.8=a(a+y) \Right...

στο πόντο.png Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ θεωρούμε τα σημεία : $E\,,\,\,Z$ και το σημείο $S$ της διαμέτρου εις τρόπον ώστε: $\widehat {ESZ} = 90^\circ \,\,,\,\,\widehat {EZS} = 44^\circ \,\,,\,\,\widehat {ZBS} = 67^\circ $. Να υπολογίσετε τη γωνία : $\widehat {SZB}$ Με $ES \cap (c)=Q$ και $BN \bot...

Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο.pngΟ κόκκινος κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου , στο κέντρο του , $O$ . Έστω $T$ το ένα σημείο τομής κύκλου και ημικυκλίου και $S$ ένα τυχαίο σημείο του κύκλου , εξωτερικό του ημικυκλίου . Ονομάζουμε $P,Q$ τα σημεία τομής του ημικυκλίου με τα τμήμα...

shape.pngΔίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο $E$, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις $AB,AD$ στα σημεία $S,T$ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $CTS$ συναρτήσει της πλευράς $a$. Επειδή $AO=OC$ θα ε...

shape.pngΔίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο $E$, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις $AB,AD$ στα σημεία $S,T$ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $CTS$ συναρτήσει της πλευράς $a$. Έστω $PT=x,QS=y$ οπ...

Χαίρετε! Σε συνέχεια του θέματος αυτού , το παρόν απευθύνεται .. :) ..κυρίως σε $\Phi$ίλους. Χρυσός κύβος και γωνίες.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}> 90^o$ και $\widehat{B}= 2\widehat{C}$. Το $F \in BC$ ώστε να είναι $FA \perp AC $. Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BAF \right ...

Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα.. Ισότητα πλευρών.png Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και $EC=AB$ με $E \in BC$. Να εξεταστεί αν ισχύει $AE=AB$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Με $D$ συμμετρικό του $B$ ως προς $AC$ είνα...

Ίσοι λόγοι..png Έστω $M, N$ τα μέσα των διαγωνίων $BD, AC$ τετραπλεύρου $ABCD.$ Η $MN$ τέμνει τις $AD, BC$ στα $K, L$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.$ ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση. ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζ...

Ώρα εφαπτομένης 48.pngΤα σημεία $A,B,E$ είναι συνευθειακά , το $ABCD$ τετράγωνο πλευράς $4$ και το τόξο ημικύκλιο διαμέτρου $7$ .Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CS$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Με $ SE \cap AD=P$ το $PSAB$ είναι εγγράψιμο και $ \angle APB= \theta $ και $ tan \theta = \dfrac{4}{x+...

Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB=2r$ ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Αν $ST=2AT$ , υπολογίστε το τμήμα $BS=d$ . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : $r=1$ . Είναι,$ \dfrac{2}{d} =\dfrac{(TBA)}{(TBS)}= \dfrac{2x}{2xTB} \Rightarrow TB= \dfrac{d...

Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png Έστω $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων $AC, BD$ εγγράψιμου τετραπλεύρου $ABCD$ και $F$ το σημείο τομής των $CB, DA.$ Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο $CEDG.$ Αν $H$ είναι το συμμετρικό του $E$ ως προς την $AD,$ να δείξετε ότι και το $FHDG$ είναι εγγράψιμο. Ο περίκυκλος του...