Το τρίτο τραπέζιο.pngΠάνω στην διαγώνιο $BD$ , τραπεζίου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $B'$ και στην προέκταση της $AC$ σημείο $C'$ , ώστε το $AB'C'D$ να είναι επίσης τραπέζιο . Δείξτε ότι και το $BC'CB'$ είναι τραπέζιο . $ \big(DAK\big) = \big(KCB\big)= \big(C'KB'\big)=S \Rightarrow \big(C'KB'\big) - \...

Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά $AB$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Με βάση την $BS$ και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο $BST$ . Ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $BC , BT$ αντίστοιχα και με βάση την $MN$ σχεδιάζω τρίτο ισόπλευρο $LMN$ ,...

Γινόμενο χορδών.pngΣ'έναν κύκλο είναι σχεδιασμένες οι χορδές : $AB=4 , AC=6 , AD=6$ . Υπολογίστε το γινόμενο : $BC \cdot BD$ Έστω $BC=x,BD=y$ Ο κύκλος $(A,6)$ τέμνει την $DB$ στο $L$.Επειδή $\angle CAD= \angle CBD=2 \theta $, θα είναι $\angle BCL= \theta $ και $BL=BC=x$ Έτσι $xy=2 . 10=20$ Γινόμενο...

Περίεργη αλλά δίκαιη μοιρασιά.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των $BC,CD$ αντίστοιχα και $NS \perp AM$ . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{AB}{BC}$ , αν το ορθογώνιο διαιρέθηκε ( φέροντας και την $AN$ ) σε $4$ ισεμβαδικά τμήματα . Έστω $AB=a,BC=b$ $ \big(NSA\big) = \dfrac{(ABCD)}{4}=(NA...

H $AD$ είναι διχοτόμος. Να εκφράσετε το διάνυσμα $\vec{c}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a},\vec{b}$ bisvector.png Τα διανύσματα $\vec{u} = | \vec{a} | \vec{b} , \vec{v} =| \vec{b} | \vec{a}$ έχουν ίσα μέτρα κι επομένως το διάνυσμα $\vec{u}+ \vec{v} = | \vec{a} | \vec{b} +| \vec{b} | \vec{a} $ εί...

Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο $ABCD$ , το $O$ είναι μέσο του $BD$ , το $M$ είναι μέσο του $CD$ και το $N$ είναι μέσο του $AO$ . Δείξτε ότι το $L (\equiv BD\cap MN)$ είναι μέσο του $MN$ . Υπολογίστε και τον λόγο $\dfrac{DL}{LB}$ . Η παράλληλη από το $ A$ στην $ MN $ τέμνει την $ OM$ στ...

Γωνιούλα.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει γωνίες στην βάση : $\hat{B}=30^0$ και $\hat{C}=25^0$ . Επί του κύκλου $(C,CA)$ και εκτός του τριγώνου , θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $\widehat{SCA}=10^0$ . Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SBA}$ . Είναι,$ \angle CES=60^0 \Rightarrow \angle BAE=30^0$.Με $ A...

KARKAR έγραψε: ↑

Κυρ Οκτ 06, 2019 8:53 am

Κυριακάτικη ενόχληση.pngΥπάρχει κάτι που σας ενοχλεί στο τρίγωνο του σχήματος ;

που δεν είναι αληθές

Τυπολόγος.pngΤα ημικύκλια διαμέτρων $AOB=2R$ και $BKC=2r$ , με $R>r$ , εφάπτονται εξωτερικά στο $B $ . Το τμήμα $ST$ εφάπτεται εξωτερικά στα δύο τόξα και έχει μέσο το σημείο $M$ . Βρείτε τύπο που να δίνει τον λόγο : $\dfrac{(SBT)}{(OMK)}$ . Εφαρμογή : για $R=4,r=3$ , ο λόγος που θα πρέπει να βρείτε...

Καλή Κυριακή. Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG Το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $E \in AD$ με $AE=3ED$. Η $CE$ τέμνει την $BD$ στο $Z$ . Ο κύκλος που ορίζουν τα $A,E,Z$ τέμνει την $BD$ και στο $H$ ενώ την $AB$ και στο $F$. Να δείξετε ότι : Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα ...

Μέσο από συμμετρία.png Σε τραπέζιο $ABCD (AB||CD),$ είναι $CA=CB$ και η συμμετρική της $BD$ ως προς $BA$ τέμνει την προέκταση της $CA$ στο $E.$ Να δείξετε ότι η $DA$ διέρχεται από το μέσο της $BE.$ Ένα 24ωρο για μαθητές. Η παράλληλη από το $E$ προς τις $AB,DC$ τέμνει τις $CB$ στο $K$ και $DB$ στο $...

Τετριμμένος λόγος.pngΣε σημείο $T$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $S$ . Πώς θα επιλέξουμε το $T$ , ώστε να προκύψει : $\dfrac{TS}{TA}=\sqrt{3}$ ; $ \triangle TBS \simeq \triangle TAS \Rightarrow \dfrac{ST}{AT}= \dfrac{x}{y}= \sqrt...

Γωνία και λόγος.pngΗ πλευρά $AB=a$ , του ορθογωνίου $ABCD$ μένει σταθερή , ενώ η $BC=b$ μεταβάλλεται . Το τμήμα που συνδέει την κορυφή $B$ με το μέσο $M$ της πλευράς $CD$ , τέμνει την διαγώνιο $AC$ στο σημείο $S$ . Εκφράστε συναρτήσει του λόγου $\dfrac{a}{b}=\lambda$ , κάποιον τριγωνομετρικό αριθμό...

Μέγιστη γωνία.pngΣτο διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , θεωρούμε σημεία $S,T$ των $AB,BC$ αντίστοιχα , ώστε : $AS=\dfrac{a}{4} , BT=\dfrac{b}{4}$ . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , για τον οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{SDT}$ . Έστω $\dfrac{a}{b} =x $ .Από Π.Θ είναι $ SD= \dfrac{b}{...

Σε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ είναι $AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB$ και $A\widehat BD=2C\widehat DB.$ Να δείξετε ότι $AD=CD$ (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς). Δεκτές όλες οι λύσεις. Με $DA \cap CB=L,DC \cap AB=M \Rightarrow \angle ALB=x, \angle BMC=y$ .Έτσι $BD=LB=BM$ και $\triangle LAB= \...

Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=m$. Στις πλευρές $AB$ και $AD$ θεωρούμε αντιστοίχως τα $Z$ και $E$ ώστε $\dfrac{DE}{BZ}=l$. Αν οι $BE,DZ$ τέμνονται στο $P$ τότε Να εκφραστεί ο λόγος $\dfr...

Εσωτερικό γινόμενο..png Αν $O$ είναι το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle |\overrightarrow {AB} | = c,|\overrightarrow {AC} | = b,$ να υπολογίσετε το $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {BC} .$ Ένα 24ωρο για τους μαθητές. $ \vec{AO}= \vec{AM} + \vec{MO} \Rightarrow \vec{AO } . \ve...

Σε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ είναι $AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB$ και $A\widehat BD=2C\widehat DB.$ Να δείξετε ότι $AD=CD$ (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς). Δεκτές όλες οι λύσεις. Στην $DB$ θεωρούμε σημείο $K$ με $BK=BA=BC$ οπότε $\angle AKB=x, \angle BKC=y \Rightarrow AKCD$ παραλ/μμο Έτ...

Εμβαδόν χωρίς τύπους.pngΥπολογίστε το $E=(TMCL)$ , αν $(SBN)=5$ , καθώς και τον λόγο : $\dfrac{TM}{SB}$ . Με $NF,LQ \| BM \Rightarrow CQ=QF=FM$ και $ \big(LMC\big)= \frac{1}{2} \big(ALC\big)= \frac{1}{2} . \frac{1}{3} \big(ABC\big)= \frac{1}{6} \big(ABC\big) $ $ \frac{AP}{PN} = \frac{AM}{MF} =3 \Ri...

Ίσες χορδές.png Από τυχαίο σημείο $P$ της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\widehat B,$ τριγώνου $ABC$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα $PK, PM$ στον εγγεγραμμένο κύκλο. Οι $BK, BM$ επανατέμνουν τον κύκλο στα $L, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $KL=MN.$ Τα $PKIM,KIBP,PIMB$ είναι εγγράψιμα,άρα $\angle P_2=...