Οι πλευρές τριγώνου $ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και $\displaystyle \cos A + \cos B + \cos C = \frac{{23}}{{16}}.$ Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου είναι διπλάσια της μικρότερης. Από ν.συνημιτόνου και με $AB=b- \omega , AC=b,BC=b+ \omega $ παίρνουμε $cosA+cosB+cosC=...

Τρία τμήματα.png Είναι : $AB=c , AC=AS=2c$ .Υπολογίστε ( συναρτήσει του $c$ ) , τα τμήματα : $CP , BS , ST$ Είναι $CB=c \sqrt{5} $ κι από $AC^2=CP . CB \Rightarrow CP=( \sqrt{5}-1)c $ Θεωρώντας τον κύκλο $(A,2c) \Rightarrow KB . BL=CB . BS \Rightarrow c . 3c=c \sqrt{5} . BS \Rightarrow BS= \dfrac{3...

είναι κοινή εφαπτόμενη των τεμνόμενων κύκλων και

Να εκφράσετε την ακτίνα του κύκλου συναρτήσει των

Ισεμβαδικότητα 11.pngΗ μεσοκάθετη της χορδής $AB$ τέμνει τον κύκλο στο $N$ . Κατασκευάζω το ορθογώνιο $NMBS$ και ονομάζω $T$ την τομή της $BS$ με τον κύκλο . Δείξτε ότι : $(NOA)=(SOMT)$ . Η $AOT $ είναι διάμετρος και με $TC \bot NM \Rightarrow CO=OM ,ST=NC \Rightarrow ST+OM=NC+CO=R$ $2(NOA)=yR$ και...

Ώρα εφαπτομένης 36.pngΜε τα σημεία $L , N$ τριχοτομούμε την οριζόντια διάμετρο $AB$ ενός κύκλου . Σημείο $S$ κινείται στο βόρειο ημικύκλιο . Οι $SL , SN$ , τέμνουν το νότιο ημικύκλιο στα σημεία $P , T $ αντίστοιχα . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{SPT}$ $ \dfrac{SQ}{SB}= \dfrac{AN}{AB}...

Ώρα εφαπτομένης 34.png Προεκτείνω την διάμετρο $AB=d$ , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : $BS=\dfrac{d}{3}$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Αν $M$ είναι το μέσο του $AT$ , υπολογίστε την : $\tan\widehat{MSA}$ . Μια πιο μπελαλίδικη.. $ST^2=SB . SA= \dfrac{4d^2}{9} \Rightarrow ST= \dfrac{2d}{3} $. Έ...

Με αφορμή αυτήν Κι άλλος λόγος.png Δύο κύκλοι $(O, 2), (K, 3)$ με $OK=4$ τέμνονται στα $A, B$ και $CD$ είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους (Το $B$ είναι πιο κοντά στο $CD$ απ' ό,τι το $A$). Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(BCD)}}{{(ACD)}}.$ Άρση απόκρυψης και λύση Με $E$ συμμετρικό το...

Ώρα εφαπτομένης 31.pngΤο ύψος $AD$ , τριγώνου $ABC$ έχει μήκος $7$ , ενώ η επίσης μήκους $7$ βάση $BC$ , είναι χωρισμένη σε τμήματα : $BD=2 , DE=3$ και $EC=2$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή $B$ και το μέσο $M$ της $AE$ , τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την : $\tan\wi...

Διλογία.png $BC$ είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα δύο τεμνόμενων κύκλων $(O,r), (K,R)$ και $A$ ένα από τα σημεία τομής τους. α) Να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{AB}}{{AC}}$ β) Αν $M$ είναι το μέσο του $BC,$ και $r=2, R=3, OK=4,$ να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{(MOK)}}{{(ABC)}}$ (Εξετά...

Τα καλά της ισοπλευρικότητας.pngΣτην βάση $BC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ θεωρούμε σημεία $S , T $ , ώστε : $\widehat{SAT}=30^0$ . α) Δείξτε ότι οι μεσοκάθετοι των $AB , AT$ , τέμνονται πάνω στην $AS$ . β) Αν : $BC=8$ και $BS=1$ , υπολογίστε το $TC$ . Ο κύκλος $(A,M,P)$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $E$κα...

Ίσες γωνίες 51.pngΣτο άκρο $B$ , της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο $C$ . Ονομάζουμε $M$ το μέσο του $AC$ και $D$ την τομή του με το τόξο . Γράφουμε τον κύκλο $(C,CB)$ , καθώς και τον $(C,M,B)$ , οι οποίοι τέμνονται στο $S$ Δείξτε ότι : $\widehat{DBS...

Ώρα εφαπτομένης 29.pngΣημείο $S$ κινείται στην πλευρά $DC$ ορθογωνίου $ABCD$ . Η κάθετη του $AS$ στο $S$ , τέμνει την πλευρά $BC$ στο σημείο $P$ και την προέκταση της $AB$ στο $L$ . Η $LC$ τέμνει την προέκταση της $AD$ στο σημείο $N$ . α) Δείξτε ότι : $NS \perp AP$ β) Αν : $AB=5 , AD=3$ και $\wideh...

Αρχικά σκόπευα να ζητήσω την : $\tan\widehat{SAP}$ - την οποία ζητώ τώρα ! - αλλά με παρέσυρε το $\phi$ $tan \angle SAD= \dfrac{x}{a}= \dfrac{1}{ \Phi } $ και $tan \angle SAP=tan( \theta - \angle SAP)= \dfrac{ \Phi - \dfrac{1}{ \Phi } }{2}= \dfrac{ \Phi ^2-1}{2 \Phi }= \dfrac{ \Phi }{2 \Phi } = \df...

Ώρα εφαπτομένης 27.png Στο τετράγωνο $ABCD$ , είναι : $SP \parallel DB$ . Έστω $T$ η τομή των $DB , AP$ . Αν $ST \parallel DA$ , υπολογίστε την : $\tan\widehat{STP}$ . Από θ.κ.δέσμης $\dfrac{DE}{ET}= \dfrac{ZS}{SP} \Rightarrow \dfrac{a}{x}= \dfrac{x}{a-x} \Rightarrow \lambda ^2- \lambda -1=0 \Right...

Ώρα εφαπτομένης 25.pngΤα σημεία $M , N $ είναι τα μέσα των πλευρών $AB , CD$ , του ορθογωνίου $ABCD$ . Η κάθετη από το $M$ προς την $AN$ , τέμνει την προέκταση της $AD$ στο σημείο $S$ . Αν : $\widehat{MSN}=\widehat{CSN}$ , υπολογίστε την $\tan\theta$ . Άρση απόκρυψης και λύση $ tan \theta = \dfrac{...

Γωνία από ισεμβαδικότητα.pngΣημείο $S$ κινείται στην πλευρά $AB=a$ , τετραγώνου $ABCD$ . Η μεσοκάθετος του $CS$ , τέμνει την $AD$ στο $T$ και την προέκταση της $AB$ στο $P$ . Αν $(TAP)=(ABCD)$ : α) Υπολογίστε το τμήμα $AS$ .... β) Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\hat{P}$ . Για ευκολία πράξεων έστω ...

Παραλληλογραμμοσύνη.pngΑπό την κορυφή $B$ παραλληλογράμμου $ABCD$ , φέρουμε κάθετη προς την διαγώνιο $AC$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $AD$ στο σημείο $T$ . Στην προέκταση της πλευράς $DC$ θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $\widehat{BTS}=\widehat{BTA}$ .... α) Δείξτε ότι : $CS=DC$ ... β) Δείξτε ότ...

Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : $AB=2AC$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα και η $AS$ διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$ Έστω $AC=1, AB=2$ οπότε $BC= \sqrt{5} $ και $AE \bot AS$ οπότε $\angle E= \angle CAE=\phi \Rig...

Ώρα εφαπτομένης 22.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα τμήματα $AD , AM$ είναι το ύψος και η διάμεσος προς την υποτείνουσα $BC$ . Αν : $\tan\widehat{DAM}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε την : $\tan\widehat{B}$ . $tanB= \dfrac{b}{c} =x= \dfrac{tan \varphi +tan \theta }{1-tan \varphi tan \theta...

Για ένα τμήμα.png $\bigstar$ Στο παραπάνω σχήμα ζητείται το μήκος του τμήματος $DB=x.$ Λόγω προφανούς ισότητας των πράσινων γωνιών θα ισxύει $\dfrac{CZ}{CB}= \dfrac{ZE}{EB} \Rightarrow \dfrac{12}{15+y}= \dfrac{3}{y} \Rightarrow y=5$ και $DZ^2=3 . 12 \Rightarrow DZ=AD=6 $ Από Π.Θ$ \Rightarrow BC=20$...