Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε $M,N,L$ . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $MNL$ είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ . Είναι $\angle NAC=45^0 \Rig...

Ακτινοδιάγνωση.pngΚύκλος με κέντρο πάνω στην μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ , τετραγώνου $ABCD$ , διέρχεται από τις κορυφές του $A,D$ και τέμνει την μεσοκάθετο στο σημείο $S$ . Αν : $SC\perp CA$ , υπολογίστε την ακτίνα $r $ του κύκλου , συναρτήσει της πλευράς $a$ . Με $SQ \bot AB$ εφαπτόμενο τμήμα,το ...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΩραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος $AD$ χωρίζει τη βάση , σε τμήματα $BD=2 $ και $DC=3$ , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle ABC$ και $MNL$ . Σε συνέχεια της προηγούμενης ανάρτησής μου για το ίδιο θέμα ,με $OP \bot AD $ θ...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{A}=45^0$ , τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB,AC$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ , τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $S,T$ . Αν $L$ το μέσο του $ST$ , δείξτε ότι το τρίγωνο $LMN$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Αν $O$ το ...

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές. Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG Το $AB\Gamma\Delta $ είναι τετράγωνο και τα...

Δύο επιπλέον τμήματα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=5 ,BC=6 , CA=7$ . Φέρουμε ( πώς ; ) ευθεία διερχόμενη από το βαρύκεντρο $K$ του τριγώνου και η οποία τέμνει τις $AC , AB$ και την προέκταση της $CB$ στα σημεία $P,T,S$ αντίστοιχα , ώστε : $AP=AT$ . Υπολογίστε τα τμήματα : $AT$ κα...

Διπλάσιο.pngΕυθεία παράλληλη προς την πλευρά $AC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει την βάση $BC$ , την διάμεσο $AM$ και την πλευρά $AB$ , στα σημεία $S,T,P$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι : $(ATS)=2(PTM)$ . Με $ PK//AM$ είναι $\big(PTM) = \big(TKM) $.Ακόμη,$ PS//AC \Rightarrow (ATS)=(TCS)$ Ισχύει $\df...

Μεγιστοποίηση γινομένου.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , η πλευρά $AD=b$ είναι σταθερή ενώ η $AB=a$ μεταβάλλεται . Φέρω $DS\perp AC$ και ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $AB , SC$ αντίστοιχα . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $DS\cdot MN$ Κάπως διαφορετικά .. Με $I$ μέσον της $DC$ $\Rightarrow IN= \...

Νόμος των εφαπτομένων.pngΣτο σχήμα είναι : $\tan\omega=5\sqrt{3} , \tan\theta=\dfrac{3}{7}\sqrt{3} , \tan\phi=\sqrt{3}$ και $MS$ μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ . $ tanA= -tan( \omega + \theta )=.. \sqrt{3} \Rightarrow A=60^0$.Ακόμη,$ tan \varphi = \sqrt{3} \Rightarrow \varph...

Τμήματα σε τετράγωνα.pngΔίπλα στο - πλευράς $a$ - τετράγωνο $ABCD$ , σχεδιάσαμε τετράγωνο $BEZH$ , πλευράς $b$ . Φέρουμε : $ES\perp AH$ και $HT\perp AC$ . Αν $ST=SE$ , υπολογίστε την πλευρά $b ( <a)$ . $H$ είναι ορθόκεντρο του $\triangle AEC$ άρα $E,H,T$ συνευθειακά και λόγω του εγγράψιμου $AEST$ η...

Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $\textcolor{red}{C}$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να ...

Διπλάσιο και μέσο.pngΤο τρίγωνο $ \displaystyle ABC $ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της $AC$ θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$ και επί της $BC$ σημείο $M$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το $M$ προς την $BS$ , τέμνει την $AB$ στο $T$ . α) Δείξτε ότι : ...

Τετράγωνα εν δράσει.png Στο σχήμα τα $A, B, C$ είναι συνευθειακά και τα $ABDE, BCFG$ είναι τετράγωνα α) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{EF}}{{AG}}$ ................... β) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle B\widehat AG + E\widehat FG$ γ) Να δείξετε ότι η $AG$ διέρχεται από το ση...

Ορθογώνια και ισοσκελή.pngΤα τρίγωνα $ADC,ACB , BDS$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή . Υπολογίστε το τμήμα $SC$ . ( Επίπεδο διαγωνισμού "Θαλή" ) . Με $BC \cap AD=E \Rightarrow SEDB $ εγγράψιμο$ \Rightarrow SE \bot EB$ $ \angle DBA+x= \angle SBC+x=45^0 \Rightarrow \angle DBA=\angle SBC= \omega $ και $t...

Νέα ώρα εφαπτομένης.pngΣε κύκλο εγγράψαμε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ και παραλληλόγραμμο $BCDE$ , μη αλληλοκαλυπτόμενα . Αν $(ABC)=(BCDE)$ , υπολογίστε την $\tan\omega$ . $ \dfrac{ \big(ABC\big) }{ \big(BCD\big) }= \dfrac{AK}{KD}=2 \Rightarrow IK=2KC \Rightarrow BK=5KC $ Είναι $ \dfrac{B...

Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο $D$ , ώστε : $AD=AB=AC$ και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του $D$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο $Q$ ( προς το μέρος του $C$ ) . Αν $AQ,BC$ τέμνονται στο...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα να βρείτε το μήκος του τμήματος $x=CD$ Με $DK \bot BC \Rightarrow DK=12,KE=3 \Rightarrow DK^2=36 \Rightarrow DK=DA=6$ Από ισότητα των κόκκινων γωνιών έπεται ότι $DE//AK \Rightarrow \dfrac{x}{x+6}= \dfrac{y}{y+3} \Rightarrow x=2y $ $ CD . CA=CK .CB \Rightarrow 2y(2y+6)=(y...

shape.pngΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,(AB = AC = 14)$, με $\angle A = {150^ \circ }$. Από σημείο $D$ της $BC$, φέρουμε $DE \bot BC,\,DZ \bot AB$. Αν $AE = 2$, να βρείτε το μήκος του $DZ = x$ Εύκολα,$ \angle HEA= \angle EHA=75^0 \Rightarrow AH=2$ κι από την γνωστή άσκηση του σχολικού ,στο ορθογών...

1.png Καλησπέρα . Το κέντρο του κύκλου $(K)$ βρίσκεται πάνω στο κύκλο $(L)$. Επίσης $(K)\cap (L)=(A,B)$. Από τυχαίο σημείο $P$ του $(L)$ φέρνω τα τμήματα $PA, PB$. Αν $C\equiv PB\cap (K)$, να δείξετε ότι η $PK$ είναι μεσοκάθετος του $AC$. Με $PA \cap \big(K\big) =D$ οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρ...

Χαιρετώ. Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $CD=AC=AB$ και $\widehat{BAC}=100^{0}$. Αν $\widehat{ACE}=30^{0}$ και $AI\perp CE$ τότε Να εξεταστεί αν το $BE$ είναι γεωμετρικός μέσος των $ID$ και $AC$ . Σας ευχαριστώ , Γιώργος. Δεν νομίζω να είναι κι ο πιο εύκο...