Νέο εμβαδόν.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $AC=b $ και $AB=c$ , σημείο $S$ κινείται στην $AB$ . Η κάθετη της $CS$ στο $S$ και η κάθετη της $CB$ στο $B$ , τέμνονται στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $TSB$ , συναρτήσει του $x$ . Εφαρμογή : $b=5 , c=8 , x=3$ . Με $T...

Ενάρετος ημίκυκλος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2r$ , το $N$ είναι το μέσο του τόξου , ενώ το $M$ είναι το μέσο της $ON$. Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAC}$ διέρχεται από το $M$ και τέμνει την $BC$ στο $L$ και το τόξο στο $S$ . Επίσης η $CB$ τέμνει την $ON$ στο $P$ ... α) Δείξτε ότι : $\dfra...

. ημερολόγιο.png . Η εικόνα δείχνει κάποιον μήνα από ένα ημερολόγιο, αλλά δεν είναι ορατή καμία από τις ημερομηνίες. Το άθροισμα των ημερομηνιών στις δύο σκιασμένες (γκρίζες) ημέρες είναι $29$. Τι ημέρα της εβδομάδας πέφτει η πρώτη ημέρα αυτού του μήνα; (Ας την αφίσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μ...

Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος $AD$ του τριγώνου $ABC$ , χωρίζει την πλευρά $BC=a$ , σε δύο τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3}$ . Υπολογίστε το ύψος $AD$ , αν το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου είναι το μέσο του . Με $M$ μέσον της $BC$ θα έχουμε $BD=DM=\dfrac{a}{4} $ και $\triangle ABM$ ισοσκ...

. Σκάρτος τοίχος.png . Μία κατασκευή αποτελείται από $11$ ίδια τούβλα, όπως στην εικόνα. Η κατασκευή έχει μήκος $100$ εκ. και ύψος $60$ εκ. Ποιες είναι οι διαστάσεις του κάθε τούβλου; (Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού.) Το ύψος 60 της κατασκευής είναι 6 φορές το πλάτος κ...

Διπλάσιο τμήμα 8.pngΤα σημεία $A$ και $P$ είναι σταθερά . Ευθεία διερχόμενη από το $A$ , τέμνει τις ευθείες $y=3$ και $y=0$ στα σημεία $S$ και $T$ αντίστοιχα . Για ποια θέση αυτής της ευθείας , προκύπτει : $PT=2PS$ και ποιο είναι το μήκος του τμήματος $PS$ σ' αυτή την περίπτωση ; Με $C$ συμμετρικό ...

Επίκυκλος.pngΣτην χορδή $CD=8$ , η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο $AB=10$ του ημικυκλίου μας , κινείται σημείο $S$ . Οι $AS , BS$ , ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία $Q,P$ , αντίστοιχα . Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου $( P , S , Q )$ , συναρτήσει του $SD$ . Εφαρμογή για : $SD=3$ . Επειδ...

. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών $(x, y)$, όχι κατ΄ανάγκη ακεραίων, που ικανοποιούν την εξίσωση $(2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91$ Παρατηρούμε ότι το ζεύγος $(x=0,y=0$) είναι λύση της εξίσωσης Για τα $x,y$ υπάρχουν οι περιπτώσεις $(x>0,y \geq 0)$ ,$(x<0,y \leq 0)$, $(x \geq 0,y<0)$,($x \...

Ισεμβαδικά.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $CD$ είναι διχοτόμος και $AM$ διάμεσος . Ο κύκλος $(C , D , M )$ τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $(CDM)=(SDB)$ . Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε $AD= \dfrac{bc}{a+b} ,DC= \dfrac{ac}{a+b}$ και $MD=AM-AD= \dfrac{c}{2}- \...

Αυστηρά τμηματική.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=4 , BC=5 , CA=6$ . Θεωρούμε σημείο $S$ της $AC$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{CBS}=\dfrac{\hat{A}}{2}$ . Ο κύκλος $( A , B , S)$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $P$ . Υπολογίστε τα τμήματα : $PC , PS$ . Στο σχήμα είναι $BQ//AP$ άρα $AQ=AB=4$ και $\dfrac{C...

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αλλάξτε το Χ.png Το $ABCD$ είναι ρόμβος και $BP=CQ.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $PQ$ και η $AM$ τέμνει τη $BD$ στο $X,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{AX}{XM}($ Μπορείτε ν' αλλάξετε το γράμμα $X$ με ένα άλλο της αρεσκείας σας :yes3: $).$ Στο παρακάτω σχήμα, είναι $QE,PK//AX$ ,συνεπώς...

. Κάθε ένας από $4$ σκύλους μιας παρέας ζυγίζει έναν ακέραιο αριθμό κιλών. Οι σκύλοι ζυγίστηκαν με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τριών σκύλων την φορά (υπάρχουν τέσσερις τέτοιοι συνδυασμοί) αλλά προέκυψαν μόνο δύο διαφορετικά αποτελέσματα, $60$ κιλά και $68$ κιλά. Πόσο ζυγίζει ο κάθε σκύλος; Το β...

:mathexmastree: Καλή Χρονιά :mathexmastree: Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png Στις πλευρές $BC, CD$ ρόμβου $ABCD$ πλευράς $a,$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $BP=CQ=x$ και $PC=QD=(k+1)x.$ Αν η $AC$ τέμνει την $PQ$ στο $N,$ α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του $k.....$ β) Αν $\...

Λόγος από αναλογία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ είναι : $AB=2x$ και $AC+CB=3x$ . Κατασκευάστε ένα τέτοιο τρίγωνο και αν το $E$ είναι το έγκεντρό του , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(EBC)}{(ABC)}$ . Καλή χρονιά σε όλους... Προεκτείνουμε την $BC$ κατά $CD=b$ κι έστω $DZ \bot AB$ Τότε $BD=3x$ και πρ...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθοκεντρο $H$ και περικεντρο $O$ και $D,E,F$ τα ίχνη των υψών του στις $BC,CA,AB$ αντίστοιχα. Πάνω στην ευθεία $EF$ υπάρχει σημείο $X$, για το οποίο $BC\parallel HX.$ Να δείξετε ότι $\angle XDO=90^\circ.$ Χρόνια πολλά σε όλους... Ας είναι $DK \bot EX$ ,$(e)$ ο περίκυκλος τ...

Οριζοντίως.pngΤο άκρο $N$ της χορδής $NS$ είναι ο βόρειος πόλος κύκλου $(O)$ . Τυχόντος σημείου $P$ του κύκλου , ονομάζουμε $P'$ το συμμετρικό ως προς $NS$ και $T$ την τομή του κύκλου με την $P'S$ . Δείξτε ότι το τμήμα $PT$ είναι "οριζόντιο " . Θα αποδείξουμε ότι αν $NM \bot PT$ ,τότε $M$ είναι μέσ...

Ο τρίτος της παρέας.pngΑ) Αν για κάποια οξεία γωνία $\theta$ , είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ , με τι ισούται το $\sin\theta$ ; Β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $S$ είναι η προβολή του μέσου $M$ της $AB$ , στην υποτείνουσα $BC$ . Αν : $BS=\dfrac{1}{2}AC$ , υπολογίστε το $CS$ και απαντήστ...

Ισότητα τμημάτων 51.pngΣτον κύκλο $(O)$ είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο $ABC , (c<b)$ και η $AD$ είναι διχοτόμος . Η κάθετη της $BC$ στο $D$ τέμνει την ακτίνα $OA$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $DS=SA$ . Αν επιπλέον είναι : $AB=6 , BC=7 , CA=8$ , υπολογίστε το τμήμα $DS$ . Η ισότητα των κόκκινων γωνιών ...

περιακτίνα.pngΤο τραπέζιο $ABCD$ είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : $a=4 , b=3$ . Έστω $AD \cap BZ=E$. Τότε θα είναι $ DE=a-b$ Είναι προφανής η ισότητα των πράσινων γωνιών,συνεπώς $ \triangle DE...

Εξέχον τμήμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε την διχοτόμο $CD$ , της οποίας η μεσοκάθετος τέμνει την προέκταση της $BA$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , συναρτήσει μόνο των $b,c$ . Ας είναι $ \angle CDS= \angle DCS= \theta $ και $AE \bot BC$ Επειδή $ \angle \theta + \phi =90^0 \R...