shape.pngΤο $ABCD$ είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά $a$ . Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία. $\displaystyle ADPQ$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle ABCD$ ως προς την $\displaystyle AD...

Σταθερό γινόμενο.pngΣτο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με βάση $BC=a$ , θεωρούμε μεταβλητό σημείο $S$ , το οποίο απέχει από το μέσο $M$ της βάσης , όσο απέχει το $M$ από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το $MS$ στο $S$ , τέμνει τις $AB,AC$ στα σημεία $P,T$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι τ...

Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , η κάθετη $BS$ από το $B$ προς την διαγώνιο$AC$ , τέμνει την $CD$ στο σημείο $P$ . Ο κύκλος $(B,BS)$ τέμνει την $AB$ στο $T$ . Αν το $PTBC$ είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$ Επειδή $\displaystyle PB = TC$ είναι, $\displaystyle \vartriangle TBC =...

KARKAR έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 19, 2019 10:43 am

Νεολογισμός.pngΣτη βάση του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημείο , ώστε :

Ο κύκλος τέμνει το τμήμα στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο :

1.png Καλησπέρα . Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου $BD$. Με $\displaystyle BE \bot DC \Rightarrow EB = EC = \frac{x}{2} \Rightarrow B{C^2} = \frac{{{x^2}}}{2}$ Με ν.συνημιτόνου στο $\displaystyle \vartriangle BCD$ έχουμε $\displaystyle {x^2} - 4\sqrt...

Το τρίτο τμήμα.pngΣημείο $P$ κινείται επί της πλευράς $AC$ , ώστε : $AP=kc , k\in(0,1)$ . A) Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , συναρτήσει των $k,c$ . B) Για ποια θέση του $P$ προκύπτει : $(ASP)=(SPCM)$ ; $\displaystyle \frac{{\left( {ABS} \right)}}{{\left( {SBC} \right)}} = \frac{{AP}}{{PC}} \Rightarrow \...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: $BA = BC,\,BD = AC,\,\angle B = {100^ \circ }$. Να βρείτε τη γωνία $CAD = x$ Με $\displaystyle CQ = CD \Rightarrow AQ = BC = AB$ και $\displaystyle \angle CQD = \angle QDC = {20^0}$ Με $\displaystyle AS \bot BQ$ και $\displaystyle QT \bot BD$,το $\displaystyle ...

Καλημέρα σε όλους ! Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία). ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α). Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η...

Πρόσθετες παρατηρήσεις : α) Υπολογίστε τη χορδή $A'B$ β) Αναζητήστε τον τύπο που δίνει απ' ευθείας τηn $A'B$ . γ) Και τα δύο τρίγωνα είναι "Ηρώνεια" , βλέπε : εδώ . Θα υπολογίσουμε το μήκος της χορδής $\displaystyle A'B$ συναρτήσει των $\displaystyle AB = h,AC = i,CA' = j,BC = a$ Λόγω της ισότητας ...

Οι δύο γωνίες τριγώνου.png Στο σχήμα η $AM$ είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του τριγώνου $\vartriangle ABC$. Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!) Έστω $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle C$ ως προς $\displaystyle AM$.Τότε...

Ισοσκελές και λόγος.png Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος $CD$ έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος $AK$. Ο κύκλος $(A,D,C)$ τέμνει τη πλευρά $BC$ στο σημείο $E$ και οι ευθείες , $ED$ και $KA$ τέμνονται στο σημείο $T$ Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$. Με $\displaystyle ...

1.png Καλησπέρα . Στο παραπάνω σχήμα σχεδίασα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ με κέντρο βάρους το $O$. Στη συνέχεια με πλευρά τη $\Delta O$ κατασκεύασα το τετράγωνο $OEZ\Delta$ και από τη κορυφή του $E$ έφερα κάθετη στη $B\Gamma$ με την οποία τέμνονται στο $K$. Αν $M\equiv KO\cap A\D...

Καλό βράδυ. Όπως γράφει και ο Αλέξανδρος ΕΔΩ , ο Γιώργος (G.V.) έχει πάντα δίκιο! Νέα διατύπωση με νέο ζητούμενο ( για χρήση και της γωνίας)Λόγος εμβαδών...PNG Εξωτερικά του τετραγώνου $ABCD$ θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο $DEC$ με $\widehat{DEC}=150^{0}$ ΟΙ $AD,BE $ τέμνονται στο $ Z $ ενώ οι $DE ,...

Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : $AB+BD=AE+EB$ Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα $ED$ συναρτήσει της πλευράς $BC=a$ . Αν $\displaystyle Z = \left( {A,AC} \right) \cap CB$ τότε με βάση τις γωνίες του σχήματος, $\displaystyle AB = ZB$ άρα $\displaystyle ZD = AB + BD = AZ = AC=AE...

Γλυκιά καθετότητα.png Έστω $AM$ η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\widehat A>90^\circ.$ Προεκτείνω την $MA$ προς το $A$ κατά τμήμα $AD=2AM.$ Αν $BD=AC$ να δείξετε ότι $BA\bot AM.$ Η άσκηση επιδέχεται πολλαπλές λύσεις και είναι όλες δεκτές, εντός και εκτός φακέλου! Η παράλληλη από το $\displaystyle B$ σ...

Το ισοσκελές.png $AD$ είναι το ύψος, $O$ το περίκεντρο και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$ οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Αν $P$ είναι η προβολή του $B$ στην $AO,$ να δείξετε ότι $MP=MD.$ Μια λύση ακόμη.. Η παράλληλη από το $\displaystyle C$ προς την $\displaystyle BP$ τέμνει την κάθετη στην $\displaystyle...

Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png Το $ABCD$ είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο $A.$ Τα σημεία $M, N$ βρίσκονται πάνω στα τμήματα $AC, BC$ ώστε $MD=MN.$ Αν $P$ είναι το σημείο τομής των $AC, DN$ και $R$ το σημείο τομής των $AB, DM,$ να δείξετε ότι $PR=PD.$ Μέχρι τα πρώτα Exit Polls Και μία ερώτηση κρίσ...

Καθετότητα για κάθε γούστο.png Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$. Προεκτείνω την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE = \dfrac{a}{2}$. Ας είναι δε $M$ το μέσο του$AE$ και $Z$ το σημείο τομής των $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$. Δείξετε ότι $AZ \bot CE$. Όλες οι λύσεις δεκτές( εντός ή εκτός φακέλου ) ...

Η ωραία εφαπτομένη.pngΤα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC , CD$ αντίστοιχα , του ρόμβου $ABCD$ . Αν $\widehat{MAN}=90^0$ , υπολογίστε την $\tan\widehat{BAM}$ και τον λόγο των διαγωνίων του ρόμβου . Από την προφανή ισότητα των $\displaystyle \vartriangle ABM,AND \Rightarrow AM = AN$ και $\...

Ακέραιο Εμβαδόν ρόμβου.png Για το εσωτερικό σημείο $S$ του ρόμβου $ABCD$, η $AS$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat {BAD}$. Η προβολή του $S$ στη $DC$ είναι το $K$. Αν $KS = 1\,,\,\,KC = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KD = 3$ να βρείτε το εμβαδόν του ρόμβου . $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{2} = \fra...