Η αναζήτηση βρήκε 1032 εγγραφές

από gavrilos
Πέμ Μαρ 12, 2020 1:47 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2571

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλησπέρα! Κατ' αρχάς Νίκο δε σε γνωρίζω προσωπικά αλλά όλα αυτά τα χρόνια στο mathematica σε έχω παρατηρήσει συχνά να εκφράζεσαι με αρκετά έντονο τρόπο σχετικά με το κύρος των διαγωνισμών και τη δυσκολία των θεμάτων που τίθενται σε αυτούς. https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=55056&p=2...
από gavrilos
Πέμ Μαρ 05, 2020 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2571

SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλησπέρα! Πριν από λίγο ολοκληρώθηκε στη Θεσσαλονίκη ο διαγωνισμός SEEMOUS 2020. Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού. Θέμα 1 Θεωρούμε όλους τους πίνακες $A\in M_{2020}(\mathbb{C})$ τέτοιους ώστε να ισχύουν οι σχέσεις $A+adj(A)=I_{2020}$ και $A\cdot adj (A)=I_{2020} $. Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό πλή...
από gavrilos
Παρ Μαρ 15, 2019 6:14 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 734

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Καλησπέρα. Ο μετρικός χώρος $(\mathbb{Q},|\cdot|)$ δεν είναι πλήρης άρα το θεώρημα του Cantor μας εξασφαλίζει την ύπαρξη τέτοιας ακολουθίας.Για να τη βρούμε σκεφτόμαστε την απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος.Τη δουλειά θα μας την κάνει μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε άρρητο (άρα βασική που δε συγκ...
από gavrilos
Πέμ Μαρ 14, 2019 11:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 650

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Καλησπέρα. Μια όχι στοιχειώδης λύση. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] \clip(-6,-3.) rectangle (7.,6.); \draw [line width=0.8pt] (0.,0.) circle (2.4cm); \draw [line width=0.8pt] (4.,0.) circle (1.6cm); \draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549...
από gavrilos
Τρί Ιουν 19, 2018 3:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 3544

Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)

Καλησπέρα.

Όσον αφορά το προβλημα της γεωμετρίας,ένα ακόμη στοιχείο που προκύπτει είναι το εξής:

Αν I το σημείο τομής των AG και EF τότε οι FN,CI τέμνονται πάνω στον κύκλο (όπως,λόγω συμμετρίας,και οι EN,BI).
από gavrilos
Κυρ Ιουν 17, 2018 1:15 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 3544

Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)

Πρόβλημα 2 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, με $AB<AC$, εγγεγραμμένο σε κύκλο $c$ κέντρου $O$. Ονομάζουμε $G$ το βαρύκεντρο του τριγώνου$ABC$και $D,E,F$ τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές $A,B,C$, αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{GD}$ τέμνουν τον $c$ στα $M,N$ αντ...
από gavrilos
Δευ Ιουν 11, 2018 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 58
Προβολές: 13982

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt{...
από gavrilos
Δευ Μάιος 14, 2018 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά;!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 731

Re: Συνευθειακά;!

Καλησπέρα. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] \clip(-3.,-4.) rectangle (8.,6.2); \fill[line width=0.8pt,color=grey,fill=grey,fill opacity=0.20000000298023224] (2.227044847720962,5.422686871738195) -- (0.,0.) -- (7.3168158703100845,0.) -- cycle; \draw [...
από gavrilos
Δευ Απρ 16, 2018 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το μέσο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 487

Re: Διέρχεται από το μέσο

Καλησπέρα. Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το $C$ προς την $A_1B_1$ είναι ισογώνια με τη $CC_1$ ως προς τις $CA,CB$.Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η $CC_1$ είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{ABC}$.Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου: Η $C-$συμμε...
από gavrilos
Κυρ Απρ 15, 2018 12:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/3 Category I
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 491

Re: Vojtech Jarnik 2018/3 Category I

Καλημέρα. Θα χρησιμοποιήσω επαγωγή. Για $n=2$ έχουμε να αποδείξουμε ότι $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\geq \frac{x_2+1}{x_1+1}+\frac{x_1+1}{x_2+1}$.Μετά από πράξεις,αυτή ανάγεται στην $x_1^3+x_2^3\geq x_1^2x_2+x_1x_2^2$,η οποία είναι γνωστό ότι ισχύει (το βλέπουμε κάνοντας παραγοντοποίηση).Για το ...
από gavrilos
Τετ Απρ 11, 2018 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 828

Re: EGMO 2018/1/2

Καλησπέρα. α. Παρατηρούμε ότι ,αν $k\geq 2$,τότε $k=\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{k-1}\right)$,από όπου έπεται το ζητούμενο. β. Αν ο αριθμός $x$ γράφεται ως γινόμενο $f(x)$ στοιχείων και ο αριθμός $y$ ως γινόμενο $f(y)$ στοιχείων,τότε είναι προφανές ότι ...
από gavrilos
Σάβ Απρ 07, 2018 7:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισοσκελές από το πουθενά...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 621

Re: Ισοσκελές από το πουθενά...

Καλησπέρα. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm] \clip(-14.,-8.3) rectangle (11.2,6.7); \fill[line width=0.8pt,color=white,fill=white,fill opacity=0.10000000149011612] (2.190384487963723,5.366910193221686) -- (0.,0.) -- (7.,0.) -- cycle; \draw [line width...
από gavrilos
Πέμ Δεκ 07, 2017 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Euler 2017/4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1526

Re: Euler 2017/4

Καλησπέρα, Έστω $\left[a_1,b_1\right],\ldots,\left[a_{mn+1},b_{mn+1}\right]$ τα διαστήματα,όπου $a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_{mn+1}$,και έστω ότι δεν ισχύει η δεύτερη συνθήκη.Διατάσουμε τους αριθμούς $a_1,a_2,\ldots,a_{mn+1}$ σε αύξουσα σειρά.Η υπόθεσή μας,μας εξασφαλίζει ότι,αν επιλέξουμε δείκτες...
από gavrilos
Τρί Ιουν 13, 2017 10:53 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2017
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 20743

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Ερώτηση 1: Αν το φετινό Δ3 ζητούσε να βρεθεί μία αρχική της $e^{x}sinx$ θα λέγατε ότι είναι εντός ύλης; Έτσι κι αλλιώς για να υπολογιστεί ένα ορισμένο αρκεί απλώς να βρούμε μία αρχική της παράστασης μέσα στο ολοκλήρωμα, σωστά; Θα συναντούσαν εκεί οι μαθητές δυσκολίες ή όχι; Ακούω... Ερώτηση 2&3: Αν...
από gavrilos
Δευ Ιουν 12, 2017 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2017
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 20743

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Καλημέρα σε όλους. Όσον αφορά το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{\pi} e^x \cdot \eta \mu x dx$ για το οποίο κάποιοι ισχυρίζονται ότι είναι εκτός ύλης: Ο υπολογισμός του ακολουθεί ακριβώς την ίδια διαδικασία με αυτή που χρειαζόταν το ερώτημα Δ1. των περσινών θεμάτων,μόνο που αντί για την $e^x$ υπήρχε τότε η $f...
από gavrilos
Τετ Ιουν 29, 2016 12:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία απρόσμενη (;) διχοτόμηση (2).
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1107

Re: Μία απρόσμενη (;) διχοτόμηση (2).

Γεια σε όλους. Μια τριγωνομετρική απόδειξη.Θα χρησιμοποιήσω το λήμμα που αναφέρεται εδώ. $\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-2.527500170436453,-2.2354760939864007) rectangle (13.665125403688739,6.9261410071633875); \fill[color=grey,fill=white,fil...
από gavrilos
Τετ Ιουν 15, 2016 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015 (Γεωμετρία)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1099

ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015 (Γεωμετρία)

Καλησπέρα.Βάζω εδώ τα προβλήματα της γεωμετρίας. G.1 Έστω $\displaystyle{\triangle{ABC}}$ οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$.Θεωρούμε σημείο $\displaystyle{G}$ έτσι ώστε το τετράπλευρο $\displaystyle{ABGH}$ να είναι παραλληλόγραμμο και σημείο $\displaystyle{I}$ της ευθείας $\displayst...
από gavrilos
Σάβ Ιουν 04, 2016 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Η τρίτη εκ των παραλλήλων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1385

Re: Η τρίτη εκ των παραλλήλων

Γεια σε όλους. Ευχαριστώ τον κύριο Κώστα για το ενδιαφέρον του και τις λύσεις που μας παρουσίασε. Προτείνω τις εξής εφαρμογές του παραπάνω λήμματος ("Isogonal Line Lemma"): A. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\triangle{ABC}}$ και σημεία $\displaystyle{DE}$ επί των πλευρών $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστ...
από gavrilos
Πέμ Ιουν 02, 2016 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Η τρίτη εκ των παραλλήλων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1385

Re: Η τρίτη εκ των παραλλήλων

Γεια σε όλους. Η κατασκευή είναι δική μου. Η λύση του κύριου Κώστα είναι η μόνη αμιγώς ευκλείδεια λύση που έχει εμφανιστει (η δική μου δεν είναι ευκλείδεια, ούτε στην ουσία και η λύση εδώ ). Ενδιαφέρον παρουσιάζει και μια γενίκευση που παρατήρησε ο Σιλουανός, και για την οποία δεν έχω λύση. Πιο συγκ...
από gavrilos
Πέμ Ιουν 02, 2016 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2015 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1950

Re: Προκριματικός 2015 (Μεγάλοι)

3. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ που ικανοποιούν την $f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Z}$. Γεια σε όλους. Έστω $\displaystyle{P(x,y):f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1 \ \forall x,y\in \mathbb{Z}}$. $\displaystyle{P(x,f(x)):f(x-f(f(x)))=-1 \ \forall x\in...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση