Κλασικό και ωραίο πρόβλημα. Σε μια σήραγγα ΑΒ με μήκος 200 μ βρίσκεται ένα κυνηγός που πάει από το Α προς το Β, όταν ξαφνικά ακούει προς την έξοδο Β και μακριά το σφύριγμα του τρένου. Το τρένο έρχεται με τετραπλάσια ταχύτητα από αυτή που μπορεί να τρέξει ο κυνηγός. Αν ο κυνηγός τρέξει προς την έξοδ...

Καλή Ανάσταση Κώστα και Αλέξανδρε για εσένα και τους Ανθρώπους σας. Πάντα όταν προτείνω τέτοια θέματα έχω την κρυφή ελπίδα να τα δει ο Κώστας Δόρτσιος και να παρέμβει με αυτό τον εκπληκτικό τρόπο και σχεδόν πάντα η ελπίδα μετουσιώνεται από τον Κώστα σε πράξη Διαμάντι. Όμως με μέγιστη ειλικρινή χαρά...

H $AB$ είναι κινητή χορδή του κύκλου $x^2+y^2=r^2$ , με σταθερή όμως κλίση $\lambda=\sqrt{2}+1$ Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές $CAB$ . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής $C$ . Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{(r(\sqrt{2}+1))^2}+\dfrac{y^2}{(r(\sq...

Σπύρο, συγχαρητήρια για το βιβλίο αυτό της Τοπολογίας! Είναι ένα έργο για το οποίο δούλεψες με μεράκι εδώ και χρόνια! Παράλληλα με τα διδακτικά σου καθήκοντα, έβρισκες το χρόνο και τον αφιέρωνες σε ένα θέμα τόσο εξειδικευμένο! Σε θυμάμαι πολλές φορές που μου έλεγες για το όνειρό σου αυτό! Το βιβλίο...

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους κύκλους $\mathcal{C}_1: x^2 + y^2 +4x+3=0$ και $\mathcal{C}_2: x^2+y^2 -4x-45=0$. Δίνω μια πιο γενική λύση... Εύκολα βρίσκουμε ότι ο ένας κύκλος $\displaystyle (L,r)$ είναι εσωτερικός του άλλου $\displaystyle (K,R)$ . Έστω ότ...

H $AB$ είναι κινητή χορδή του κύκλου $x^2+y^2=r^2$ , με σταθερή όμως κλίση $\lambda=\sqrt{2}+1$ Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές $CAB$ . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής $C$ . Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{(r(\sqrt{2}+1))^2}+\dfrac{y^2}{(r(\sq...

Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας. Θεωρούμε το τετράεδρο $SABC$ και επί των εδρών του $SBC, SCA, SAB$ και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν $O$ είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας $ABC$ πρίσμα που η παράπλευρη...

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων ομοιοθεσίας που δίνεται ο λόγος ομοιότητας και όταν γνωρίζουμε ότι το ομόλογο δοθείσας ευθείας $d$ τέμνει άλλη δοθείσα ευθεία $d'.$ Σωτήρη καλημέρα. Εύχομαι να είσαι καλά και ό,τι το καλύτερο... Για την ανωτέρω άσκηση διακρίνουμε δυο περιπτώσεις. 1η περίπτω...

https://i.imgur.com/3rA7NdG.jpeg Στρεβλοί... σχήμα λόγου :shock: Καλησπέρα... Για να βοηθήσω την όραση του καθένα μας αναρτώ το ακόλουθο σχήμα: Στρεβλοί κύκλοι. png.png Στο σχήμα αυτό έχω σχεδιάσει τους τέσσερις κύκλους οι οποίοι φιλοξενούν τα μικρά ασπρόμαυρα τετραγωνάκια, για να τα "εγκλωβίσω" κα...

Βρείτε την σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f,g απο το διάγραμμα. Βρείτε την σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f,g απο το διάγραμμα. Πρώτα μετατοπίζουμε την πάνω συνάρτηση κατά δύο μονάδες προς τα πίσω, και μετά πέρνουμε την συμμετρική της ως προς τον άξονα των $x$. Με αλγεβρικούς όρους η νέα συνάρτηση είνα...

Βρείτε την σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f,g απο το διάγραμμα. Βρείτε την σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f,g απο το διάγραμμα. Πρώτα μετατοπίζουμε την πάνω συνάρτηση κατά δύο μονάδες προς τα πίσω, και μετά πέρνουμε την συμμετρική της ως προς τον άξονα των $x$. Με αλγεβρικούς όρους η νέα συνάρτηση είνα...

Χρόνια Πολλά και Καλά,
στους αγαπητούς Μπάμπη Στεργίου και Μπάμπη Ευαγγέλλου.

Κώστας Δόρτσιος

1. Σε σφαίρα είναι περιγεγραμμένος κύλινδρος, εσωτερικά του οποίου βρίσκεται κώνος με βάση την βάση του κυλίνδρου και κορυφή το κέντρο της σφαίρας. α) Να αποδειχθεί οτι εαν αυτά τα τρια στερεά τμηθούν από επίπεδο παράλληλος προς την βάση του κυλίνδρου, η τομής του κυλίνδρου θα είναι ισοδύναμη με το...

Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις : 1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και 2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου . Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος $9$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής Σχήμα α...

Εξάλλου και ο Ευγένιος Βούλγαρης, ένας κορυφαίος Νεοέλληνας Διαφωτιστής όταν ήταν διευθυντής στη Μεγάλη Σχολή του Γένους στη Χάλκη εκτιμώντας τη σπουδαιότητα της Γεωμετρικής Γνώσης έγραψε, μιμούμενος τον Πλάτωνα, στην είσοδο της Σχολής:[/i] "Γεωμετρήσεων εἰσίτω, οὕ κωλύω, Τῷ μή θέλοντι συζυγήσω τάς...

Μιχάλη, Γιάννη και Γιώργο καλησπέρα σας... Θα ήθελα να πω ότι η φράση "μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω" η οποία στην ιστορία έμεινε ως μια φράση του Πλάτωνα αξίζει, όχι για την πατρότητά της τόσο, όσο για τη βαθύτερη εννοιολογική της βαρύτητα. Αυτό νομίζω γίνεται αντιληπτό ιδιαίτερα σήμερα όπου παρατηρε...

Γιάννη και Τηλέμαχε σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια... Είναι αλήθεια ότι είναι βαθειά η πεποίθησή μου ότι η οπτική παράσταση μιας οποιασδήποτε έννοιας είναι "έκ τῶν ὧν οὔκ άνευ" για την κατανόησή της και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά. Πιστεύω ότι η οπτική αντίληψη βοηθάει στη βαθύτερη ανάλυση και ερ...

Κώστα, ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΘΕΡΜΟΤΑΤΑ. Για τους αναγνώστες, το τεύχος $55$ που αναφέρει ο Κώστας υπάρχει εδώ . Ακόμα καλύτερα, επειδή η Στήλη των Μαθηματικών του Κώστα είναι Κέρας Αμαλθείας, παραπέμπω και στα υπόλοιπα άρθρα, $379$ τον αριθμό, εδώ Μιχάλη καλησπέρα... Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση καθώς κα...

Μιχάλη και Γιάννη καλημέρα και Καλή Χρονιά.... Διάβασα από την πρώτη στιγμή τις αναρτήσεις σας, οι οποίες ασχολούνται με ένα τόσο ενδιαφέρον θέμα που και σήμερα ακόμα προκαλεί το ενδιαφέρον. Ένα ενδιαφέρον, όχι μόνον για τους απλούς αναγνώστες, αλλά και για τους μαθηματικούς! Νομίζω ότι δώσατε ένα ...