Παραβολές κι εγγράψιμο.png Αν τα σημεία τομής δυο παραβολών είναι τέσσερα και οι άξονες συμμετρίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων τότε: Τα τέσσερα αυτά σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Δώστε ένα αριθμητικό παράδειγμα και βρείτε την εξίσωση του σχετικού κύκλου . Ευχαριστώ τον Κώστα για τ...

Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο $(O,5)$ , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές $AB=6$ και : $CD=8$ . Η ευθεία $AO$ τέμνει την χορδή $CD$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την $CB$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ , στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την εφαπτο...

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$, $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$. Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα $y'y$, ώστε η παράσταση $\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamm...

Καθετότητα.png Έστω ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB$. Από σημείο $M$ της προέκτασης της $AB$ φέρνω τέμνουσα του ημικυκλίου. Η τέμνουσα αυτή συναντά πρώτα στο $D$ και μετά στο $C$ , το ημικύκλιο. Γράφω τούς κύκλους , $\left( {O,B,D} \right)\,\,\,$ και $\left( {O,A,C} \right)$ που τέμνονται α...

Αν τα σημεία τομής δυο παραβολών είναι τέσσερα και οι άξονες συμμετρίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων τότε:

Τα τέσσερα αυτά σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Δώστε ένα αριθμητικό παράδειγμα και βρείτε την εξίσωση του σχετικού κύκλου .

Παλαιολόγος.pngΧωρίζουμε τις ακτίνες $OA , OB$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σε τμήματα $OK=y , KA=x$ και $OL=x , LB=y$ . Οι κύκλοι $(K , KA)$ και $(L , LB)$ , τέμνονται στα σημεία $T , P$ , ενώ η ευθεία $TP$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA...

Ισόπλευρο σε ορθογώνιο.2.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$ ορθογωνίου $ABCD$ και $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επί των τμημάτων $OA, OD$ θεωρώ τα σημεία $K, L$ αντίστοιχα, ώστε $MK=ML.$ α) Να δείξετε ότι οι γωνίες του τριγώνου $KLM$ παραμένουν σταθερές ανεξάρτητα από τις θέσεις των σημ...

Καθετότητα.png Έστω ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB$. Από σημείο $M$ της προέκτασης της $AB$ φέρνω τέμνουσα του ημικυκλίου. Η τέμνουσα αυτή συναντά πρώτα στο $D$ και μετά στο $C$ , το ημικύκλιο. Γράφω τούς κύκλους , $\left( {O,B,D} \right)\,\,\,$ και $\left( {O,A,C} \right)$ που τέμνονται α...

Μικτόγραμμο τετράπλευρο.pngΥπολογίστε το εμβαδόν $E$ του μικτόγραμμου τετραπλεύρου $PQTS$ , με τέσσερις (!) τουλάχιστον διαφορετικούς τρόπους . Γράψτε αυτόν που σας φαίνεται βολικότερος . Γίνεται και με απ’ ευθείας ένα ολοκλήρωμα : $\boxed{E = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)} dx = \int\limits_...

Μικτόγραμμο τετράπλευρο.pngΥπολογίστε το εμβαδόν $E$ του μικτόγραμμου τετραπλεύρου $PQTS$ , με τέσσερις (!) τουλάχιστον διαφορετικούς τρόπους . Γράψτε αυτόν που σας φαίνεται βολικότερος . . Μεικτόγραμμο τετράπλευρο_new.png . $\boxed{F = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 3x}}{2}dx = \left[ {\frac{{{x^...

Ισεμβαδικές δυσκολίες .pngΤο ορθογώνιο $ABCD$ έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά του ορθογωνίου , βρείτε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε αν οι $SA , SB$ τέμνουν την $DC$ , στα σημεία $P , T$ αντίστοιχα , να προκύπτει η ισότητα : $(SPT)=(ABC...

Το πράσινο δεν πάει παραπάνω.pngΤο σημείο $S$ κινείται στη διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου . Φέρουμε την εφαπτομένη $BT$ προς το ημικύκλιο διαμέτρου $AS$ - η οποία τέμνει το αρχικό στο σημείο $P$ - και την $AT$ , η οποία τέμνει το μεγάλο τόξο στο σημείο $Q$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνο...

Ανάλογα με το σημείο επαφής.pngΟι κύκλοι $(K,R)$ και $(L,r)$ εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο $S(a,b)$ του πρώτου τεταρτημορίου , ενώ ο πρώτος εφάπτεται του $Ox$ στο $P$ και ο δεύτερος του $Oy$ στο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ . Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : $(a,b)=(3,4)$ , ...

george visvikis έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 09, 2024 1:14 pm

Γνωστό εμβαδόν, άγνωστη θέση.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς Στη μεσοκάθετο του και εκτός του τετραγώνου,

θεωρώ ένα σημείο Να βρείτε τη θέση του αν είναι γνωστό ότι

Γωνιολογία σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC,$ τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC.$ Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE.$ α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC.$ β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογ...

Γωνιολογία σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC,$ τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC.$ Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE.$ α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC.$ β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογ...

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . Υπόδειξη Εγκεντρικότητες_new.png Πάνω στην $BC$ θεωρώ σημείο $Q$ με $BQ = AE$. Το τετράπλευρο $ABQE$ είναι υπέρ_ισοσκελές τραπέζιο και άρα ισχύει αυτό που θέλω .

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . Ας είναι $T$ το συμμετρικό του $E$ ως προς την $AB$ και $S$ η τομή των ευθειών $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$. Ακόμα έστω $D$ η τομή των $BE\,\,\kappa \alpha \...

Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο $CD$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Επειδή ζητώ τριγωνομετρικό αριθμό, θεωρώ μονάδα μέτρησης των ευθυγράμμων τμημάτων το $AD = 1$. Θέτω , $DB = x\,\,,\,\,AC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = a$, ...

Σταθερό μέσα σε χαμό.pngΤα σημεία $B , D , C$ είναι σταθερά και συνευθειακά . Το $A$ κινείται ελεύθερα στο άνω ημιεπίπεδο , ενώ το $P$ κινείται ελεύθερα στο τμήμα $AD$ . Οι ημιευθείες $BP , CP$ τέμνουν τα τμήματα $AC , AB$ στα σημεία $T , Q$ αντίστοιχα , ενώ η $QT$ τέμνει την προέκταση της $BC$ στο...