Πώς ακριβώς ερμηνεύεται το παρακάτω γεωμετρικά;

Αν , τότε .

Επαναφορά.

Ελπίζω να μη χάνω. Είναι $\displaystyle{f(x)g(x) = x^2 - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2}}$. Όμως, $\displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2}$ για κάθε $x \neq 0$ και $\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq \frac{x}{x^2+1} \leq \frac{1}{2}}$ για κάθε $x \neq 0$. Τότε, $\displaystyle{f(x) g(x) = \left ( x^2...

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$, $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$. Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα $y'y$, ώστε η παράσταση $\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamma...

... νομίζω ότι έχει έρθει η ώρα να μάθω και να σχεδιάζω σε κατάλληλο πρόγραμμα. Το LaTeX είναι η ιδανική επιλογή για συγγραφή (επιστημονικού) κειμένου σε συνδυασμό με το tikz /tkz-euclide/pstricks. Δίδει εκπληκτικά αποτελέσματα . με ποιον τρόπο εισάγουμε σε κείμενο στο Word μια γραφική παράσταση ή ...

Χαλό Θανάση, (αυτή η άσκηση μου θύμισε μία άσκηση ίδιου τύπου που έχω βάλει στο βιβλίο της Γ) $\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[->] (-0.5, 0) -- (2.5, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -0.5) -- (0, 7.5) node[left]{y}; \draw (0, 0) node[below left]{O}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \d...

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ για τα οποία ισχύει $\left | \vec{\alpha} \right | = x$, $\left | \vec{\beta} \right | = 3x-4$ και $\left | \vec{\alpha} + \vec{\beta} \right |=x^2$ όπου $x \in \mathbb{R}$. Να βρεθεί η τιμή του $x \in \mathbb{R}$. Να δειχθεί ότι $\vec{\al...

Ουσιαστικά πρόκειται για γραφή απ' την αρχή. Έχουν ενσωματωθεί αρκετές αλλαγές, έχουν διορθωθεί τα παροράματα, έχουν φύγει ασκήσεις, έχουν προστεθεί ασκήσεις, έχει γίνει retina touch στα σχήματα, καθώς επίσης και άλλες ήσσονος σημασίας αλλαγές. Τέλος, έχουν αφαιρεθεί οι λύσεις και πλέον θα γίνουν ξε...

Στο παρακάτω σχήμα οι κύκλοι εφάπτονται, το $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ είναι τετράγωνο και $\Gamma \Delta = 20$ εκατοστά. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου χωρίου. $\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=1.2, rotate=-40] \draw (0, 0) circle(1cm); \draw (0, 2) circle(1cm); \draw[line wid...

Είμαι στην ευχάριστη θέση να ανακοινώσω ότι κυκλοφορεί με αυτοέκδοση το βιβλίο "Μαθηματικά Γ' Λυκείου". Είναι αναθεωρημένη έκδοση στην οποία μέσα σε μόλις 554 σελίδες αναπτύσσεται η ύλη των μαθηματικών της Γ' Λυκείου. Περιέχονται εκτός των άλλων 18 κριτήρια αξιολόγησης και 34 επαναληπτικά θέματα. Μπ...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrig...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrigh...

Ένα πρόβλημα που δημιουργείται με το tcolorbox είναι με τις υποσημειώσεις οι οποίες δεν μπαίνουν στο τέλος της σελίδας αλλά στο τέλος του tcolorbox. Λύνεται εύκολα με τις ακόλουθες εντολές στο προϊμιο. \usepackage{footnote} \BeforeBeginEnvironment{tcolorbox}{\savenotes} \AfterEndEnvironment{tcolorbo...

Επαναφορά.

Έστω $\displaystyle f(x)=\ln x$ με $\displaystyle x\in (0,e)$. Θεωρούμε την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ σε τυχαίο σημείο $\displaystyle M$ της γραφικής παράστασης. Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x,{y}'y$ στα σημεία $\displaystyle A,B$ , αντίστοι...

Δίδεται ο κύκλος $x^2+y^2 = 1$ και η έλλειψη $x^2+4y^2=4$. Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες που φέρονται απ' τις εστίες της έλλειψης προς τον κύκλο σχηματίζουν ρόμβο. Αν $\mathrm{E}_1$ το εμβαδόν του του παραπάνω ρόμβου και $\mathrm{E}_2$ το εμβαδόν που σχηματίζεται απ' τα σημεία επαφής, να δειχθεί ότι...

Δίδεται η παραβολή με εξίσωση . Να βρεθεί η ευθεία της δέσμης που ορίζει η εξίσωση


η οποία είναι εφαπτόμενη στην υπερβολή.

Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή $xy-1=0$. Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2...

Η εφαπτόμενη και η κάθετη αυτής στο σημείο της παραβολής τέμνουν τον άξονα στα σημεία και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το περίκεντρο του τριγώνου είναι σταθερό (ανεξάρτητο του ).