Αγαπητέ Νίκο,
πολύ σωστή η επισήμανσή σου.
Εγώ δεν έχω λογαριασμό στο AoPS,όσοι συνάδελφοι έχουν σχετικό λογαριασμό καλό είναι να επισημάνουν ότι δεν υπάρχει κράτος Μακεδονία,
τουλάχιστον στην περιοχή των Βαλκανίων.
Καλά είναι τα Μαθηματικά, αλλά και η Γεωγραφία είναι βασική ανθρώπινη γνώση.

Αγαπητέ Μιχάλη, Θερμά συγχαρητήρια για την απόφασή σου να αναρτήσεις δημόσια τα μαθήματά σου για την Ιστορία των Μαθηματικών. Άκουσα και είδα τα βίντεο 5 και 6 για τις Απαρχές των Ελληνικών Μαθηματικών και έμεινα ενθουσιασμένος. Η διήγηση σου είναι κατανοητή, σαφής, ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα και βασισμ...

Στην εργασία με τίτλο Gerbert of Aurillac and the Transmission of Arabic Numerals to Europe, που δημοσιεύθηκε το 2021 εδώ https://www.jstor.org/stable/48636817 εξετάζεται αν ο Γερβέρτος ήταν αυτός που έφερε στους αραβικούς αριθμούς στην Ευρώπη. Συγκεκριμένα, στην περίληψη της εργασίας αναφέρεται ότι...

Επειδή αυτόν τον καιρό ασχολούμαι με τα Μαθηματικά στον Μεσαίωνα και τα μαθηματικά παιχνίδια της περιόδου αυτής, γνωρίζω πολύ καλά ότι ο Πάπας Συλβέστρος ο 2ος ήταν βαθύς γνώστης των Μαθηματικών. Δείτε το σχετικό λήμμα στην wikipedia, τον έχω και σε γραμματόσημο των Γαλλικών Ταχυδρομείων. https://en...

Μία απόδειξη της ταυτότητας βρίσκεται εδώ:

https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PP ... 3A0.338%7D

Συνήθως δεν γράφω στο Forum για τις διαδικασίες των διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. Αυτή τη φορά όμως θεωρώ επιβεβλημένη μια διευκρίνιση. Η διόρθωση των γραπτών των διαγωνισμών γίνεται κάθε χρόνο με προσοχή και χωρίς ουσιαστική καθυστέρηση. Φέτος, το πρόβλημα που παρουσιάστηκε ήταν από τα γραπτά των Νομών Θε...

Αγαπητοί συνάδελφοι, όλες οι αναρτήσεις που έγιναν με τίτλο "Τρίγωνο με καμπύλες" για το τρίγωνο του Reuleaux έχουν το ενδιαφέρον τους. Θα ήθελα να σταθώ στην προσπάθεια που έκανε ο φίλος μου ο Κώστας Δόρτσιος να αναδείξει τη χρησιμότητα του λογισμικού Geogebra στην κατασκευή της "τετράγωνης τρύπας"...

Απάντηση στον συλλογισμό: Στην δεύτερη περίπτωση νομίζω αφού κάθε χρηματοκιβώτιο μπορεί να μείνει και άδειο έχουμε: Το πρώτο γράμμα έχει 3 επιλογές, το δεύτερο γράμμα πάλι 3 επιλογές. Άρα συνολικά από πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε $3^7$ τρόπους. Όχι, δεν είναι αυτή η σωστή προσέγγιση. Π.χ. στην περίπ...

Για να ολοκληρώσουμε τη λύση του προβλήματος, αν και διαπιστώνω ότι δεν υπάρχει άμεσο ενδιαφέρον. Στην περίπτωση που κανένα γραμματοκιβώτιο δεν πρέπει να μείνει άδειο , υπάρχει έτοιμος τύπος της Συνδυαστικής που δίνει το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των θ...

Φυσικά, δεν είναι αυτός ο σωστός αριθμός. Οι διατάξεις των 7 ανά 3 είναι 210. Μόνο η περίπτωση να έχουμε στο κουτί Α, 2 γράμματα, στο κουτί Β πάλι 2 γράμματα και στο κουτί Γ, 3 γράμματα είναι επίσης 210. Επίσης, στο πρόβλημα δεν αναφέρει αν μπορούμε να έχουμε και κουτί χωρίς κανένα γράμμα. Άρα, απαι...

Επειδή δεν μπορώ να γράψω με το equation editor (υπάρχει πρόβλημα στα προγράμματα μου) περιγράφω μια απλή λύση για το 2ο μέλος του προβλήματος 3 της Α΄ Λυκείου. Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε την απάντηση στο 1ο μέλος. Μας δίνεται μια αρχική σχέση για τον αριθμό $a$ και μια δεύτερη ακριβώς για τον ίδι...

Μπορούμε να αξιοποιήσουμε τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν τριγώνου.
Για το συγκεκριμένο τρίγωνο το εμβαδόν είναι και η περίμετρος .
Οπότε οδηγούμαστε σε μία διττετράγωνη εξίσωση την την οποία επιλύουμε εύκολα.

Στο σχήμα του Stopjohn να μην φέρουμε επιπλέον τμήματα και να κρατήσουμε το αρχικό του Karkar. Ισχύει ότι οι γωνίες $ABC$ και ω είναι παραπληρωματικές, επειδή το τετράπλευρο $ANEM$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Από τα ισοσκελή τρίγωνα $ABS$ και $ATC$ προκύπτει ότι γωνία $ABC = 60o $, άρα η ζητούμενη γων...

Ευχαριστούμε τον mick7 για τη χρήσιμη ανάρτησή του. Θα αναφέρω κάτι. Ο Παναγής Παναγιωτόπουλος του Διονυσίου που υπάρχει στη λίστα, πέθανε σε ηλικία 48 ετών το 1998. Ήταν καθηγητής του Πολυτεχνείου του Α.Π.Θ. ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς - μηχανικούς που πέρασαν από τη Σχολή. Ο πατέρας ...

Αγαπητέ mick7,
σε ευχαριστούμε πολύ για τη συγκεκριμένη γνωστοποίηση
και γενικά για τις πολύ χρήσιμες αναρτήσεις σου.

Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου. Γνωρίζουμε ότι η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου, ισούται με την απόλυτη τιμή της ημιδιαφοράς των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι: Γωνία $\widehat{ACD} = \frac{90-2\vartheta }{2}=45-\vartheta $. Άρα, γ...

Για το θέμα 1β των μικρών. Μία λύση που δεν αξιοποιεί το πρώτο ερώτημα-δεδομένο. Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί $a, b$ είναι θετικοί από τα δεδομένα. Ονομάζουμε για συντομία $x + y + z = A$, $xy + yz + zx = B$, $xyz = C$. Από τα δεδομένα έχουμε $aA = bB = C$ , (1). Το ζητούμενο $a \geq 3\cdot b^{2}$ εί...

Για το 3ο θέμα των μικρών. Οι διαιρέτες του $2024$ είναι οι αριθμοί: $1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 194, 253, 506, 1012, 2024$. Από αυτούς προφανώς κανείς δεν διαιρείται με το $3$. Οι μισοί αν διαιρεθούν με το $3$ αφήνουν υπόλοιπο $1$ και οι άλλοι μισοί αφήνουν υπόλοιπο $2$. Αυτό σημαίνει ...

Για το 2ο θέμα των μικρών.
Έχω εκφράσει όλες τις γωνίες του σχήματος συναρτήσεις των γωνιών x, φ, ω.
Η γωνία α ισούται με α = 90 - χ- φ - ω.
Με πρόσθεση των γωνιών στο τρίγωνο ΔΚΕ προκύπτει ότι χ = φ.
Αυτό σημαίνει ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΒΓ.

Μία λύση που δεν απαιτεί καθόλου φαντασία και δημιουργικότητα. Σύμφωνα με το σχήμα του Μιχάλη έχουμε Τα βασικά σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα έχουν συντεταγμένες. $A(0, 0)$ $ B(-8, 0)$ $C(0, 15)$ $F(15, 0)$ $K(-23, 8)$. Βρίσκουμε τις εξισώσεις των ευθειών BC και FK και από αυτές προσδιορίζω τις συν...