Άσκηση 14 Στο παρακάτω σχήμα είναι ${\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma$ και η διχοτόμος $\Gamma x$ της γωνίας ${\rm A}\widehat\Gamma \Delta$ είναι παράλληλη στην ${\rm A}{\rm B}$. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$. Ονομάζω $y$ την γωνία $A\Gamma x$ . Τότε $A=x$ ως εντός εναλ...

AΣΚΗΣΗ 921: Σε έναν κήπο υπάρχουν $\displaystyle{12}$ δέντρα στη σειρά. Κάποια από αυτά είναι πορτοκαλιές και τα υπόλοιπα είναι μηλιές. Ο αριθμός των δέντρων ανάμεσα σε οποιεσδήποτε δύο πορτοκαλιές είναι διαφορετικός από $\displaystyle{5}$. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός από πορτοκαλιές ...

3. Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A=\alpha^2-4\beta^2, B=\alpha^3+8\beta^3, \Gamma=\alpha^2+5\alpha\beta+6\beta^2}$ α) Να βρεθούν ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παραστάσεων αυτών β) Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των παραπάνω παραστάσεων για $\displaystyle{\alpha=6}$ και $\displaystyle{\beta=2}$ καθ...

Μόλις πήρα μήνυμα από τον matha, ότι η άσκηση ενοούσε και όχι ότι οι αριθμοί είναι ανά δύο πρώτοι όπως πίστεψα. Οπότε όλα
καλά, στην λύση του κ. Γιώργου.

Εύλογα υποθέτουμε $b=a-k$, όπου $k$ θετικός ακέραιος, οπότε η $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ δίνει $a^2-(2c+k)a+kc=0$ και $a=\displaystyle\frac{k+2c\pm\sqrt{k^2+4c^2}}{2}.$ Για να έχουμε ακέραιη λύση οφείλει να είναι τετράγωνος ο $k^2+4c^2$, άρα μπορούμε, στηριζόμενοι στην θεωρί...

Βρίσκουμε $a+b=\frac{ab}{c} \in N^{*}$ και αφού $(a,c)=1 , (b,c)=1$ άρα $c=1$ είτε $c=a$ είτε $c=b$ Aν $c=1$ τότε $a+b=ab\Rightarrow a(b-1)=b.$ Δεν μπορεί να είναι $b=1$ διότι τότε θα είχαμε $0=1$. Άρα $a=\frac{b}{b-1}=\frac{b-1+1}{b-1}=1+\frac{1}{b-1}$ Aφού όμως $a\in N^{*}$, τότε πρέπει $b-1=1\Rig...

ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΤΗΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{10}$; Α) $\displaystyle{2^{100}+2}$ , Β) $\displaystyle{2^{101}+2}$ , Γ) $\displaystyle{2^{102}+2}$ , Δ) $\displaystyle{2^{103}+2}$ , Ε) $\displaystyle{2^{104}+2}$ Πρέπει να βρούμε ποιος α...

καλησπέρα, εγώ πιστεύω οτι θα πρέπει να βρούμε πρώτα την ακτίνα οπότε θα πρέπει να κάνουμε: έστω $\displaystyle{x}$ η ακτίνα (αφού το εμβαδόν το κύκλου είναι $\displaystyle{\pi r^2}$) $\displaystyle{3,14\cdot x^2=25}$ έτσι θα βρούμε την ακτίνα. Άρα, η ακτίνα $\displaystyle{\cdot 2}$ θα μας κάνει τη...

Ας είναι $A$ το σημείο της Εθνικής που η ταχύτητα γίνεται $80 Km/h$ , $B$ to σημείο που γίνεται $100$ και $C$ το σημείο που γίνεται $120$ Μόλις το πρώτο αυτοκίνητο φτάσει στο $A$, αποκτά ταχύτητα $80$ ενώ το δεύτερο αυτοκίνητο έιναι πίσω του $100 m$ και έχει ταχύτητα $60$. Για να φτάσει το δεύτερο α...

Για την Γ Γυμνασίου και Α Λυκείου Αν $\displaystyle{-1\leq x\leq 0}$ και $\displaystyle{1\leq y\leq 2}$, και αν επί πλέον ισχύει ότι: $\displaystyle{4x^2 +y^2 +16(x+1)\leq 4xy+8y}$, τότε ο αριθμός $\displaystyle{x+y}$ ισούται με: Α) $\displaystyle{0}$ , Β) $\displaystyle{1}$ , Γ) $\displaystyle{-1}...

( Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=n^4 +(-1)^{n-1}.n +(-1)^n -n}}$, όπου $\displaystyle{n\in N}$ Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N-\{1\}}$, ο αριθμός αυτός διαιρείται με τον $\displaystyle{n-1}$ (Mέχρι 10/3/2014) Και αλλιώς. $A=n^{4}-n+(-1)^{n-1}n+(-1)(-1)^{n-1}=n(n^{3...

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu x+2 \sigma\upsilon\nu 2x+ \sigma\upsilon\nu 3x=\sqrt3 (\eta\mu x+2\eta\mu2x+\eta\mu 3x)}$ $\sigma\upsilon\nu x-\sqrt{3}\eta\mu x+2(\sigma\upsilon\nu 2x-\sqrt{3}\eta\mu 2x)+\sigma\upsilon\nu 3x-\sqrt{3}\eta\mu 3x =0\Leftrightarrow$ $\sigma\upsil...

Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας 1. Εαν είναι $\displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{2\beta}{\alpha-\gamma}}$, να υπολογισθούν τα $\displaystyle{y,z}$ που ορίζονται από τις σχέσεις $\displaystyle{y=\alpha\eta\mu^2x+2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x}$ $\displays...

3. Να δειχθεί οτι για κάθε τόξο $\displaystyle{ x }$ εκφρασμένο σε ακτίνια αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\eta\mu (\sigma\upsilon\nu x)}$ Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\eta\mu (\sigma\upsilon\nu x)}$ $\Leftrightarrow$ $\displa...

$x^3+x^2+x=y^2+y$ $x^3=(y-x)(y+x+1)$ $y-x=da^3$ $y+x+1=d^2b^3$ ή $x-y=d^2a^3$ & $x+y+1=db^3$ Εύκολα βρίσκουμε $d=1$ και μένει να λυθεί η εξίσωση $2ab+1=b^3-a^3$ άρα $b-a+2$ διαιρεί το $36$ κ.τ.λ Μοναδικές λύσεις $(x,y)=(0,0),(0,-1)$ Μπορεί κάποιος να δώσει αναλυτική λύση; Γιατί είναι κάποια πράγματ...

$x^3+x^2+x=y^2+y$ $x^3=(y-x)(y+x+1)$ $y-x=da^3$ $y+x+1=d^2b^3$ ή $x-y=d^2a^3$ & $x+y+1=db^3$ Εύκολα βρίσκουμε $d=1$ και μένει να λυθεί η εξίσωση $2ab+1=b^3-a^3$ άρα $b-a+2$ διαιρεί το $36$ κ.τ.λ Μοναδικές λύσεις $(x,y)=(0,0),(0,-1)$ Μπορεί κάποιος να δώσει αναλυτική λύση; Γιατί είναι κάποια πράγματ...

3. Να βρεθούν τα ζεύγη των ακεραίων λύσεων των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ της εξίσωσης $\displaystyle{ xy+\frac{x(x+1)}{2}=17}$ $xy+\frac{x(x+1)}{2}=17\Rightarrow 2y+x+1=\frac{34}{x}\Rightarrow x=1,-1,2,-2,17,-17,34,-34$ Aντικαθιστώ και παίρνω αντίστοιχα $y=16,-17,7,-8,-8,7,-17,16$, ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35 Συζητούν δύο φίλοι και λέει ο ένας στον άλλο: -Αν μου δώσεις τα μισά σου χρήματα τότε θα έχω $100$ ευρώ. Απαντά ο άλλος: -Αν εσύ μου δώσεις το ένα τρίτο των χρημάτων σου τότε θα έχω $100$ ευρώ. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας τους; Μετά από την λύση του Στέργιου, ας δούμε και μια ακόμα, χρη...

$3(a^2+\beta ^2 +\gamma ^2 )=(a+\beta +\gamma )^2\Rightarrow 2a^2 +2\beta ^2 +2\gamma ^2 -2a\beta -2a\gamma -2\beta \gamma =0\Rightarrow$ $a^2 +a^2 +\beta ^2 +\beta ^2 +\gamma ^2 +\gamma ^2 -2a\beta -2a\gamma -2\beta \gamma=0\Rightarrow (a-\beta )^2 +(a-\gamma )^2 +(\beta -\gamma )^2 =0$ Άρα $a=\bet...

Aν $a=b$, τότε εύκολα βρίσκω ότι $a=b=$ άρτιος, που αυτό προκύπτει από τους τύπους που ήδη έχω γράψει, αν θέσουμε $m=n=1$ και $y\in N^{*}$ Tώρα, μπορεί να κάνω και λάθος, αλλά νομίζω ότι οι τύποι που βρήκα $a=yn^2 +ynm$ , $b=ym^2 +ynm$, με $y\in N^{*}$ και $(m,n)=1$, καλύπτουν όλες τις λύσεις. Αν θέ...