Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. Κάποιες πληροφορίες σχετ...

Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. Κάποιες πληροφορίες σχετ...

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων $x,y$ που επαληθεύουν την εξίσωση: $(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2$ Πρόβλημα 2: Έστω $ABC$ τρίγωνο με $AB=AC<BC$. Στην προέκταση του $AB$ προς το $B$ βρίσκεται σημείο $D$ ώστε $AD=BC$. Επίσης υπάρχει σημείο $E$ στην ίδια ευθεία στην προέκταση της α...

Δίκαιη μοιρασιά.pngΜε τμήμα $ST \perp BC$ να διαιρεθεί τρίγωνο $ABC$ σε δύο ισεμβαδικές περιοχές . Το πρόβλημα θεωρείται κλασικό , ψάχνουμε για πολλές διαφορετικές λύσεις . Το εμβαδόν του τετράπλευρου $ASTB$ μετατρέπεται σε ισεμβαδικο τρίγωνο δηλαδή πολυγωνο με πλευρα μια λιγότερη από το τετράπλευρ...

Πριν τη νηστεία...png Δύο ίσοι κύκλοι $(O, R), (K, R)$ εφάπτονται εξωτερικά στο $P.$ Από σημείο $S$ του κύκλου $(O),$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SC, SD$ του κύκλου $(K)$ που επανατέμνουν τον $(O)$ στα $A, B$ αντίστοιχα. Αν $SA=AC,$ να δείξετε ότι: α) Τα σημεία $A, P, D$ είναι συνευθειακά, β) $A...

Σχεδόν δίκαιο.pngΣτο ευθύγραμμο τμήμα $AB$ κινείται σημείο $S$ . Προς το ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα $AST , SBP$ . Για ποια θέση του σημείου $S$ , είναι : $(TAP)=(PAB)$ ; Εστω $SB=x,AS=a-x ,E1=(AST)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a-x)^{2},E2=(SPB)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2},$ Το τετράπλευρο...

Δύσκολη αλλά ωραία ευθυγράμμιση.pngΟ ρόμβος $ABCD$ προέκυψε από την συγκόλληση δύο ισόπλευρων τριγώνων . Θεωρούμε σημείο $T$ της διαγωνίου $AC$ και σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο $ATSP$ . Πώς πρέπει να επιλέξουμε το $T$ , ώστε τα σημεία $P, T , D$ να είναι συνευθειακά ; Έστω $AT=x,AP=ST=a-x,\hat{PA...

Ισεμβαδικότητα χωρίς απαιτήσεις.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $CD$ είναι διχοτόμος . Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας $BC$ , τέμνει την $AB$ στο σημείο $S$ . Πώς πρέπει να κατασκευαστεί το τρίγωνο αυτό , ώστε : $(CDS) = (CMS)$ ; Από την υπόθεση $\dfrac{DS}{MS}=\dfrac{a}{2b},(1)$ Από τα όμοια τρί...

Εφαπτομένη χωρίς επαφή.pngΤα σημεία $M , N$ είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Με πλευρές τις $AC , BC$ σχεδιάζουμε τα εξωτερικά τετράγωνα $ACDE$ και $BZHC$ . Αν : $MD=NZ$ , υπολογίστε την $\tan\hat{C}$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο $EDM,DM^{2}=ED^{2}+EM^{2}\Rightarrow D...

Μαθηματικά της προόδου.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2r$ , θεωρούμε σημείο $S$ και από το μέσο $M$ του τόξου $\overset{\frown}{AS}$ , φέρουμε τις $MO , MB$ , οι οποίες τέμνουν την $AS$ στα σημεία $P , T$ αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία τα τμήματα $PT , TS , AP $ , είναι διαδοχ...

Τριπλή ισοβαθμία.pngΕπί των πλευρών $BC=5 , CD=9$ του ορθογωνίου $ABCD$ , θεωρούμε σημεία $P , Q$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BP=CQ=x$ . Η κάθετη από το $A$ προς το $PQ$ , τέμνει την $BD$ στο σημείο $S$ . Βρείτε τις τιμές του $x$ , για τις οποίες το τρίγωνο $SPQ$ είναι ισοσκελές . $TA$ μεσοκάθετη σ...

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΑπό σημείο $ S$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ του τετραγώνου $ABCD $ , φέρουμε την $SD $ , η οποία τέμνει την $BC$ στο $T$ και την $SC$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $ AD $ στο $ P$ . Αν η $PT$ τέμνει την $BS$ στο $Q$ , εξετάστε αν τα τμήματα : $QB , QS , QA$...

Η ζωή τραβάει την κατηφόρα.pngΣημείο $S$ βρίσκεται πάνω στην διχοτόμο $AD$ του τριγώνου $ABC$ . Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το $S$ και τέμνουσα τις πλευρές $AB , AC$ στα σημεία $P ,T$ αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $ST=3SP$ . Το τετράπλευρο $AMEN$ είναι ρόμβος και το σημείο $J$ της $BC$ είναι...

Που είναι το κέντρο ;.png Σημείο $S$ επιλέγεται τυχαία πάνω στην διάμεσο $AM$ προς την υποτείνουσα $BC$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Η κάθετη της $CS$ στο $S$ , τέμνει την προέκταση της $BA$ , στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία $B , C , T$ , έχει το κέντρο του $O$ , πάν...

Γεωμετρική συνάρτηση.pngΣτην διάμετρο $AB=2r$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $AS=k$ . Υψώνουμε το κάθετο προς την $AB$ τμήμα $SQ$ , επί του οποίου κινείται σημείο $P$ . Η κάθετη της $BP$ στο $P$ , τέμνει την προέκταση της $AQ$ , στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $PT$ , συν...

Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο $P$ είναι σημείο της διαμέτρου $AOB=10$ ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : $AP=2$ . Εντοπίστε σημεία $S,T$ του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : $ST=3SP$ . Απο το θεώρημα τεμνόμενων χορδών $AB,SI,SP.PI=AP.PB\Rightarrow x.PI=16,(1)$ Από το ...

Κάθετα σε ορθογώνιο.pngΚύκλος διερχόμενος από τις κορυφές $B , C$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει τις κάθετες πλευρές $AB , AC$ στα σημεία $S, P$ αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιου $ASTP$ . Δείξτε ότι : $\overrightarrow{AT}\perp \overrightarrow{BC}$ . Το τετράπλευρο $CPSB$ είναι εγγεγραμ...

Γεωμετρία των προβολών.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ η προβολή της κορυφής $A$ στην διχοτόμο $BD$ είναι το σημείο $S$ , ενώ η προβολή του $D$ στην πλευρά $BC$ είναι το μέσο της , $M$ . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας : $\widehat{DMS}$ . $BD$ είναι μεσοκάθετη στην $AL$ άρα $AD=DL$ και απο το εγγράψιμο τετράπλ...

Λαϊκή ισεμβαδικότητα.png$\bigstar$ Στην πλευρά $AB$ του διαστάσεων $7\times 4$ ορθογωνίου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $AP=5$ . Να ορίσετε σημείο $S$ στην προέκταση της πλευράς $AD$ , τέτοιο ώστε : $(SAP)=(SCP)$ . $(SCP)=\dfrac{5(4+x)}{2},(1),(SCP)=(STBP)-(SCT)-(PCB)=x+14,(2), (1),(...

Τμήμα που δίνει μέσο.pngΣτο άκρο της ακτίνας $OA$ του κύκλου $(O,2)$ , φέρουμε κάθετο τμήμα $AB=5$ . Η $BO$ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο σημείο $S$ . Στην προέκταση της $OA$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε η προέκταση της $SA$ , να διέρχεται από το μέσο της $M$ της $BP$. Υπολογίστε το τμ...