matha έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 16, 2020 6:04 pm

Νομίζω η 24 Ιουλίου 2025.

Θάνο, όπως την έγραψες, λίγο δύσκολο το βλέπω

Να μια αντίστροφη ΑΜ-GM. Αν $x_1,x_2,\cdots,x_n$ $(n\geq2)$ θετικοί πραγματικοί σε αύξουσα σειρά και οι $x_1,\frac{x_2}{2},\cdots,\frac{x_n}{n}$ είναι σε φθίνουσα σειρά, τότε $\displaystyle{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i }{n\left (\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x_i \right )^{\frac{1}{n}}}\le \d...

Η λύση που έχει δημοσιευτεί κάνει το εξής: Παρατηρεί ότι το άθροισμα $1+11+111+1111$ αφήνει υπόλοιπο $22$ κατά τη διαίρεση του με το $101$. Ομοίως και το άθροισμα των επόμενων τεσσάρων όρων του αθροίσματος $11111+111111+1111111+11111111$ κ.ο.κ. Με την καλησπέρα μου στους εκλεκτούς της συζήτησης, να...

Την έχει ο Prasolov αυτή στα παραδείγματα που λύνονται (αμέσως) με αφινικό μετασχηματισμό.

Γ Γυμνασίου Θέμα 3 Αναλυτικά: Έστω $a$ το πλήθος των μελών που αγαπούν τα Μαθηματικά και $b$ το πλήθος των μελών που αγαπούν τη Φυσική. Τότε το άθροισμα των ηλικιών των μελών που αγαπούν τα Μαθηματικά είναι $25a$* και το άθροισμα των ηλικιών των μελών που αγαπούν τη Φυσική είναι $35b$* Μετά την αλλ...

Filippos Athos έγραψε: ↑

Πέμ Οκτ 22, 2020 8:03 pm

Δεν είμαι σίγουρος.... αλλά αν το σημείο του Miquel "δουλεύει" και αντίστροφα τοτε είναι προφανές.

Μπορείς να πεις το εξής: Έστω ότι η τέμνει την στο . Τότε από Miquel (το ευθύ), τα είναι ομοκυκλικά, άρα .

Εδώ ο Δημήτρης είχε βάλει και μια γενίκευση.

viewtopic.php?f=58&t=60845&p=294611#p294611

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Πέμ Οκτ 22, 2020 8:10 am

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται λογισμικό.

Το ξέρω Σταύρο. Απλά για να ελέγξω την απάντηση που είχα βρει, το έβαλα στο λογισμικό και δεν μου το βρήκε και μου έκανε εντύπωση.
Σταύρο, τα ίδια έχω βγάλει και εγώ. Έχεις κάτι σύντομο;

Η λογική λέει ότι θα επιτηρεί ο καθηγητής που εκείνη την ώρα είχε κανονικά μάθημα.
Αυτό συνεπάγεται ότι (δεδομένης της ώρας που γίνεται ο διαγωνισμός) δύσκολα θα είναι μαθηματικός ο επιτηρητής.

Ας πάρουμε το , θετικό.
Δοκίμασα για και πάλι δεν το υπολογίζει.

α) Το παρακάτω ολοκλήρωμα το έβαλα αρχικά στο wolfram και ύστερα στο Sage και απέτυχαν και τα δύο στον υπολογισμό του. Γνωρίζει κάποιος γιατί; β) Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\max\left\{\frac{|x_1|}{a}, a|x_2|\right\}\, e^{-\frac{x_1^2+x...

Και αυτή ήταν άσκηση σε εργασία που "τρέχει".

Το πρόβλημα που προτάθηκε είναι μέρος εργασίας που "τρέχει" ακόμη.

Χρειαζόμαστε τους τύπους του Euler: $OI^2=R^2-2Rr$, $OI_a^2=R^2+2Rr_a$, $OI_b^2=R^2+2Rr_b$, $OI_c^2=R^2+2Rr_c$ και τον τύπο $r_a+r_b+r_c-r=4R$. Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο. Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο :logo: . Για την $r_a+r_b+r_c-r=4R$, δεν ξέρω αν την έχου...

Δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... 68p2403861
Πίσω από το πρόβλημα κρύβεται το Θεώρημα Helly.

Ωραία Δημήτρη!

Να δούμε και το πρόβλημα με τις ίδιες συνθήκες αλλά ψάχνοντας όλες τις συναρτήσεις .

Εγώ το σκέφτηκα και με την αρχική. Σύμφωνα με την προσέγγιση του Λάμπρου θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε όλες τις συναρτήσεις με
. Μάλιστα θα ήταν ίδιες με αυτές που ικανοποιούν , που δεν ισχύει. Παραδείγματα μπορούμε να φτιάξουμε πολλά.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑

Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Αν θεωρήσουμε την η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Λάμπρο, καλησπέρα. Αυτό δεν το βλέπω που γράφεις με την Cauchy.

Έστω . Ορίζουμε αναδρομικά , ,. Να αποδειχθεί ότι ο και ο είναι σχετικά πρώτοι.

Αν κάποιος από τους , , , είναι αρνητικός, είναι προφανές.

H συνάρτηση είναι κοίλη και , οπότε από την ανισότητα Karamata παίρνουμε το ζητούμενο.