Η αναζήτηση βρήκε 1235 εγγραφές

από silouan
Τετ Ιαν 22, 2020 1:33 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 689

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

Μία προσπάθεια χωρίς πράξεις πολύ κοντά σε αυτό που έκανε ο Θάνος. Από την ταυτότητα Euler θέλουμε το καλύτερο $m$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) &\geqslant m|(a-b)(b-c)(c-a)|.}$ Θέτουμε $b=a+x, c=a+x+y$ με $a\geq 0$. Οπότε αρκεί $\displaystyle{(3a+2x+y)(x^2+xy+y^2) ...
από silouan
Τετ Δεκ 11, 2019 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Πραγματικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 858

Re: Πραγματικές συναρτήσεις

Μία προσέγγιση για τη 2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει $a$ ώστε $a > f(a).$ Τότε $f^2(a) < a$ και με επαγωγή $f^{(k)}(a) < a$ για κάθε $k>0$, όπου με $f^{(k)}$ συμβολίζω τη σύνθεση. Επειδή όμως έχουμε πεπερασμένους ακεραίους μικρότερους από $a$, άρα θα υπάρχουν $0<m<n$ such that $f^{(m)}(a) = f^{(n)}(a) = ...
από silouan
Πέμ Νοέμ 21, 2019 2:43 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Υπολογισμός ορίζουσας
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 149

Υπολογισμός ορίζουσας

Αν w_1,\ldots, w_n\in\mathbb{R}^n είναι μοναδιαία διανύσματα που είναι γραμμικά ανεξάρτητα, να υπολογίσετε την ορίζουσα

\det(nI-\sum_{i=1}^nw_i\otimes w_i), όπου για το w_i\otimes w_i, δείτε εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product
από silouan
Τρί Οκτ 01, 2019 11:30 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέγιστο πολλών μεταβλητών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 286

Μέγιστο πολλών μεταβλητών

Έστω \frac{1}{n}\leq a_1,...,a_m\leq 1 και 0\leq b_1,...,b_m\leq 1 πραγματικοί αριθμοί ώστε
\displaystyle{\sum_{i=1}^m a_i^2b_i=k,}
όπου k\in\mathbb{N}. Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης
\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^m b_i\right)^{k+1}\left(\prod_{i=1}^m a_i^{b_ia_i^2}\right).}
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ορθογώνιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 377

Re: Ορθογώνιο

Μπορούμε να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα πριν τις δοκιμές του Σταύρου. Από την $a+b=11$ έχουμε $11^2-2ab=9b+1$ οπότε $2ab+9b=120$. Αν γράψουμε $b=2k$, έχουμε $2ak+9k=60$. Από εδώ ο $k$ βαίνει ότι διαιρείται με το 4, άρα γράφοντας $k=4m$ φτάνουμε στην $2am+9m=15$, οπότε $m(2a+9)=15$, οπότε $2a+9=15$, κ...
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 5:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 517

Re: Εξίσωση

Αυτό που μπορείς να πεις είναι ότι τα x-1 και 2-2^χ πρέπει να είναι ομόσημα, που ισχύει προφανώς μόνο όταν x=1.
από silouan
Τετ Σεπ 25, 2019 3:27 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 692

Re: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης

Σας ευχαριστώ θερμά όλους για τις ευχές σας!
από silouan
Παρ Σεπ 20, 2019 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 416

Re: Είναι ακέραιος

Και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p12942041
Με λύση ουσιαστικά σαν του Κώστα.
από silouan
Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1064

ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Με λίγη καθυστέρηση η αλήθεια είναι. Πρόβλημα 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους $k$ cm. Με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του, το χωρίζουμε σε $k^2$ το πλήθος μικρά ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα τριγωνικό πλέγμα. Σε κάθε μικρό ισόπλε...
από silouan
Τρί Σεπ 17, 2019 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυμεταβλητή ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 429

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Ουσιαστικά αυτό που γράφει ο Δημήτρης, αλλά άμεσα. Από Minkowski,

\displaystyle{\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} \geq\sqrt{x+(\sqrt{y}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{z}+\sqrt{z}+\sqrt{z})^2}=\sqrt{x+4y+9z}.}

Οπότε πρέπει να έχουμε ισότητα στην παραπάνω και τα υπόλοιπα είναι απλά.
από silouan
Κυρ Σεπ 01, 2019 6:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 562

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Λίγο διαφορετικά. Λόγω ομοιογένειας, θέτω $x+y=1$. Τότε $\displaystyle{(x^3+1)(y^3+1)=x^3y^3+x^3+y^3+1=(xy)^3+(x+y)((x+y)^2-3xy))+1$ $=(xy)^3-3xy+2=(xy-1)^2(xy+2)}$. Προφανώς το μέγιστο ισχύει όταν $xy\geq -2$. Επιπλέον $xy\leq\frac{1}{4}$ οπότε και ο όρος $1-xy$ είναι θετικός. Επομένως εφαρμόζουμε ...
από silouan
Πέμ Αύγ 22, 2019 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή με παράγωγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 603

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Επαναφορά.
από silouan
Τετ Αύγ 07, 2019 5:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συναρτησιακη σχεση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 332

Re: Συναρτησιακη σχεση

Νίκο, φαντάζομαι ότι εννοείς αυτή την άσκηση https://artofproblemsolving.com/communi ... 98p2363539
Όμως, έχεις διατυπώσει λάθος την εκφώνηση.
Δεν νομίζω όμως ότι είναι στο σωστό φάκελλο.
από silouan
Παρ Ιούλ 26, 2019 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5324

Re: IMO 2019

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα. Καταρχάς να δώσω συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά, διότι θεωρώ την επίδοσή τους τουλάχιστον αξιοπρεπή. Η αλήθεια είναι ότι συμφωνώ με τον Σταύρο για την κατάταξη. Δεν είμαστε ούτε για 12οι (όπως πριν δύο χρόνια στο Ρίο), αλλά πιστεύω ότι η εδραίωση στην 25άδα ή 30άδα είναι...
από silouan
Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5324

Re: IMO 2019

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας: Αν η $QP$ τμήσει τις $AC, BC$ στα σημεία $B_1 , A_1$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A^' \ C B^’$ που εφάπτονται στο $C$ και στα τρίγωνα $PB^' \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$, οδηγούν στην λύση. Θα μπορούσατ...
από silouan
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 685

Re: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα

Καλησπέρα Στάθη, ευχαριστώ για την ενασχόληση! Ο λόγος για τον "λόγο" ήταν ότι επιχείρησα μια διαφορετική προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=185&t=64441&p=311708#p311708 Ήλπιζα ότι θα γίνονται απλοποιήσεις σε αυτό που έβγαζα με κάποια διαφορετική προσέγγι...
από silouan
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:34 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι απαραίτητα σταθερή;
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1001

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

Μου θύμισε κάτι από πολύ παλιά αυτό.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1073419
από silouan
Δευ Ιούλ 01, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1008

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.
από silouan
Κυρ Ιουν 23, 2019 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4836

Re: JBMO 2019

Αλέξανδρε, πολύ ωραία νέα μας φέρνεις! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές, αλλά και σε εσένα και τον Ανδρέα, που ως αρχηγός και υπαρχηγός παλέψατε και καταφέρατε τη μέγιστη δυνατή συγκομιδή μεταλλίων. Σε ευχαριστώ και προσωπικά για την υποστήριξη και την επιλογή του προβλήματος που είχα στείλε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση