Η αναζήτηση βρήκε 1249 εγγραφές

από silouan
Τετ Απρ 01, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Φραγμένη ακολουθία τελεστών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 250

Re: Φραγμένη ακολουθία τελεστών

Επαναφορά! Έγινε μια μικρή αλλαγή στην εκφώνηση. Στο τέλος έγινε T: X\mapsto\ell_2.
Ευχαριστώ τον Βαγγέλη για την επισήμανση.
από silouan
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Φραγμένη ακολουθία τελεστών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 250

Φραγμένη ακολουθία τελεστών

Έστω X ένας απειροδιάστατος διαχωρίσιμος χώρος Banach έτσι ώστε για κάθε υπόχωροό του Y με dimY=n να υπάρχει ένας φραγμένος τελεστής T_n: Y\mapsto\ell_2^n ώστε \|T_n\|\cdot\|T_n^{-1}\|\leq K. Να αποδείξετε ότι υπάρχει φραγμένος τελεστής T:X\mapsto\ell_2 ώστε \|T\|\cdot\|T^{-1}\|\leq K.
από silouan
Πέμ Μαρ 26, 2020 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 307

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

Αυτό είναι ένα ωραίο άρθρο. https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... lleqn1.pdf
Έχει αρκετές περιπτώσεις που λύνονται στοιχειωδώς, αυτή την έχει στις περιπτώσεις που χρειαζόμαστε αλγεβρική θ.α.
από silouan
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 422

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

Για την ανισότητα δείτε εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 48p1297645
Η λύση στο ποστ#11 νομίζω είναι η καλύτερη δυνατή.
από silouan
Δευ Μαρ 23, 2020 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 976

Re: Ανισοϊσότητα

Ένα αρχαίο ποστ από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 829p332359
από silouan
Τετ Μαρ 18, 2020 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Αρχιμήδης 1992-1995
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 378

Re: Αρχιμήδης 1992-1995

Ίσως αν είχαμε πρόσβαση στα τεύχη του Ευκλείδη εκείνης της περιόδου θα γινόταν πιο καθαρά τα πράγματα.
κ. Μπάμπη, μπορείτε να ανεβάσετε τα θέματα του 94 για να τα δούμε;
από silouan
Παρ Μαρ 06, 2020 6:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1367

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Πολύ ωραία, Γιώργο!

Να σημειώσω εδώ δύο ακόμη πράγματα.

1) Τα παραπάνω ισχύουν γενικά για simplex στον \mathbb{R}^n.
2) Το θεώρημα Καραθεοδωρή ισχύει προφανώς και για τα κανονικά πολύγωνα (για παράδειγμα), αλλά εκεί ο υπολογισμός των συντελεστών γίνεται αρκετά δυσκολότερος.
από silouan
Τετ Μαρ 04, 2020 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1367

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις! Γιώργος Μπαλ...
από silouan
Πέμ Φεβ 27, 2020 4:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5523

Re: Αρχιμήδης 2020

Μπορούμε να προσδιορίσουμε όλους τους αριθμούς που είναι δυνατόν να μείνουν στο τέλος στο πρόβλημα 3 των μεγάλων;
από silouan
Δευ Φεβ 03, 2020 12:13 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Συνδυαστικό θέμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 486

Re: Συνδυαστικό θέμα

Άλλη μια σκέψη
\displaystyle{{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1=x^2(5x^2+4x+2)+(x+1)^2>0,}
αφού το τριώνυμο στην παρένθεση έχει αρνητική διακρίνουσα.
από silouan
Κυρ Φεβ 02, 2020 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 275

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα. Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το $p_1(x)$ έχει κοινό σημείο είτε με την $y=x$ είτε με την $y=-x$. Ας πούμε ότι έχει με την $y=x$ και έστω $k$ ώστε $p_1(k)=k$. Τότε για $x=k$ στην σχέση παίρνο...
από silouan
Τετ Ιαν 29, 2020 9:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 275

Re: Συνευθειακά σημεία

Αχιλλέα καλησπέρα,

Είναι πολύ ωραία αυτή η άσκηση (και δύσκολη). Είναι η άσκηση 3.98 στο βιβλίο "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ". Εκεί παραθέτουμε συνθετική λύση.
από silouan
Τετ Ιαν 22, 2020 1:33 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 767

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

Μία προσπάθεια χωρίς πράξεις πολύ κοντά σε αυτό που έκανε ο Θάνος. Από την ταυτότητα Euler θέλουμε το καλύτερο $m$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) &\geqslant m|(a-b)(b-c)(c-a)|.}$ Θέτουμε $b=a+x, c=a+x+y$ με $a\geq 0$. Οπότε αρκεί $\displaystyle{(3a+2x+y)(x^2+xy+y^2) ...
από silouan
Τετ Δεκ 11, 2019 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Πραγματικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 903

Re: Πραγματικές συναρτήσεις

Μία προσέγγιση για τη 2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει $a$ ώστε $a > f(a).$ Τότε $f^2(a) < a$ και με επαγωγή $f^{(k)}(a) < a$ για κάθε $k>0$, όπου με $f^{(k)}$ συμβολίζω τη σύνθεση. Επειδή όμως έχουμε πεπερασμένους ακεραίους μικρότερους από $a$, άρα θα υπάρχουν $0<m<n$ such that $f^{(m)}(a) = f^{(n)}(a) = ...
από silouan
Πέμ Νοέμ 21, 2019 2:43 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Υπολογισμός ορίζουσας
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 193

Υπολογισμός ορίζουσας

Αν w_1,\ldots, w_n\in\mathbb{R}^n είναι μοναδιαία διανύσματα που είναι γραμμικά ανεξάρτητα, να υπολογίσετε την ορίζουσα

\det(nI-\sum_{i=1}^nw_i\otimes w_i), όπου για το w_i\otimes w_i, δείτε εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product
από silouan
Τρί Οκτ 01, 2019 11:30 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέγιστο πολλών μεταβλητών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 300

Μέγιστο πολλών μεταβλητών

Έστω \frac{1}{n}\leq a_1,...,a_m\leq 1 και 0\leq b_1,...,b_m\leq 1 πραγματικοί αριθμοί ώστε
\displaystyle{\sum_{i=1}^m a_i^2b_i=k,}
όπου k\in\mathbb{N}. Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης
\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^m b_i\right)^{k+1}\left(\prod_{i=1}^m a_i^{b_ia_i^2}\right).}
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ορθογώνιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 386

Re: Ορθογώνιο

Μπορούμε να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα πριν τις δοκιμές του Σταύρου. Από την $a+b=11$ έχουμε $11^2-2ab=9b+1$ οπότε $2ab+9b=120$. Αν γράψουμε $b=2k$, έχουμε $2ak+9k=60$. Από εδώ ο $k$ βαίνει ότι διαιρείται με το 4, άρα γράφοντας $k=4m$ φτάνουμε στην $2am+9m=15$, οπότε $m(2a+9)=15$, οπότε $2a+9=15$, κ...
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 5:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 528

Re: Εξίσωση

Αυτό που μπορείς να πεις είναι ότι τα x-1 και 2-2^χ πρέπει να είναι ομόσημα, που ισχύει προφανώς μόνο όταν x=1.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση