Καλησπέρα Στάθη, ευχαριστώ για την ενασχόληση! Ο λόγος για τον "λόγο" ήταν ότι επιχείρησα μια διαφορετική προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=185&t=64441&p=311708#p311708 Ήλπιζα ότι θα γίνονται απλοποιήσεις σε αυτό που έβγαζα με κάποια διαφορετική προσέγγι...

Μου θύμισε κάτι από πολύ παλιά αυτό.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1073419

Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.

Αλέξανδρε, πολύ ωραία νέα μας φέρνεις! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές, αλλά και σε εσένα και τον Ανδρέα, που ως αρχηγός και υπαρχηγός παλέψατε και καταφέρατε τη μέγιστη δυνατή συγκομιδή μεταλλίων. Σε ευχαριστώ και προσωπικά για την υποστήριξη και την επιλογή του προβλήματος που είχα στείλε...

Μία διαφορετική λύση για το δεύτερο πρόβλημα με λίγο πιο προχωρημένα (για τους μικρούς εννοώ) μέσα. Γράφουμε τους τύπους του Vieta και τελειώνουμε. Προφανώς η συνάρτηση $f(x)=x^4-2019x-c$ είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, αυτές είναι οι $a,b$ κα...

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ανισότητα Holder.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Κυρ Ιουν 16, 2019 10:50 am

Θέμα σε παλιά JBMO νομίζω.

Όχι ακριβώς, αλλά μοιάζει πολύ. https://artofproblemsolving.com/communi ... 653p874754

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle \dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}. $ Άλλη μια λύση. Από C-S έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^3y+y^3z+z^3x)}$, οπότε μέν...

Προφανώς με το παραπάνω υπονοώ ότι αν χρειάζεται απόδειξη, θα είναι απόδειξη μιας γραμμής, πχ για την παράγωγο της .
Δεν είναι και πολύ δύσκολο αυτό που λέω. Δείτε ενδεικτικά τον τρόπο αυτό στη σελίδα 1 και 2.
http://users.uoa.gr/~apgiannop/AP1-2009-askiseis.pdf

Για μένα τα σωστό λάθος πρέπει να ξεκινάνε ως εξής:
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με Σ ή Λ. Αν επιλέξετε σωστό, δώστε απόδειξη για τον ισχυρισμό σας. Αν επιλέξετε λάθος, δώστε αντιπαράδειγμα που να καταρρίπτει τον ισχυρισμό.

Αυτή τη λύση έχει γράψει και ο Αλέξανδρος σε μια από τις πρώτες δημοσιεύσεις.

Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Αυτό μπορείς να το διαπιστώσεις μόνο γραφικά. Το απέδειξε ο Σταύρος στη δημοσίευση υπ' αριθμόν #28. Ζήτησα στη συνέχεια το ελάχιστο, το οποίο απέδειξε ο Γιώργος στο #39 και στη συνέχεια εγώ έδωσα εναλλακτική στο #41. Κανονικές αποδείξεις, χωρίς γράφ...

Δύο ακόμη πράγματα από εμένα για το συγκεκριμένο ερώτημα.

1) Δεν καταλαβαίνω γιατί ο θεματοδότης ζήτηση το . Δεν βλέπω πουθενά το ρόλο του .

2) Μπορούμε με το ΘΜΤ και κάποια επιπλέον δουλειά να απαντήσουμε στο ερώτημα με το ελάχιστο που έδωσα νωρίτερα;

paylos έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 12, 2019 9:26 am

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον;

Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει.

Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Ωραία! Και γω κινήθηκα παρόμο...

Να δούμε μήπως υπάρχει και καμιά καλή απόδειξη γι'αυτό.

Στο Δ3ii δείξαμε ότι . Επίσης, οι λύσεις του Σταύρου και του Αλέξανδρου δείχνουν ότι η ανισότητα είναι γνήσια. Ποιό είναι λοιπόν το ελάχιστο της παραπάνω παράστασης;

Οι περιπτώσεις όπου τα $x,y$ είναι αρνητικά ή ένας εκ των δύο είναι αρνητικός, είναι τετριμμένες. Αν τώρα $x,y>0$ έχουμε $\mod 3$ ότι $y^2\equiv (-1)^y\pmod{3}$, άρα πρέπει $y$ άρτιος. Τότε όμως από την αρχική εξίσωση $3^x$ άρτιος, άτοπο. Αν τώρα $x=0$, έχουμε $1+y^2=2^y$, που για $y\geq 2$ είναι άτ...

Έστω ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ώστε . Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο και είναι σημείο της πλευράς ώστε . Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί το τμήμα .

Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABCD$ και ονομάζουμε $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του και $K$ το σημείο τομής των $AD$ και $BC$. Έστω ότι η $KE$ τέμνει την $CD$ στο $L$ και $P$ είναι το ίχνος της καθέτου από το $L$ στην $AB$. Να υπολογίσετε (συναρτήσει των στοιχείων του $ABCD$) τον λόγο ...