Δείτε και εδώ:
viewtopic.php?f=6&t=65828&p=318796&hili ... en#p318796

Επαναφορά! Έγινε μια μικρή αλλαγή στην εκφώνηση. Στο τέλος έγινε .
Ευχαριστώ τον Βαγγέλη για την επισήμανση.

Έστω ένας απειροδιάστατος διαχωρίσιμος χώρος Banach έτσι ώστε για κάθε υπόχωροό του με να υπάρχει ένας φραγμένος τελεστής ώστε . Να αποδείξετε ότι υπάρχει φραγμένος τελεστής ώστε .

Αυτό είναι ένα ωραίο άρθρο. https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... lleqn1.pdf
Έχει αρκετές περιπτώσεις που λύνονται στοιχειωδώς, αυτή την έχει στις περιπτώσεις που χρειαζόμαστε αλγεβρική θ.α.

Για την ανισότητα δείτε εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 48p1297645
Η λύση στο ποστ#11 νομίζω είναι η καλύτερη δυνατή.

Ένα αρχαίο ποστ από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 829p332359

Ίσως αν είχαμε πρόσβαση στα τεύχη του Ευκλείδη εκείνης της περιόδου θα γινόταν πιο καθαρά τα πράγματα.
κ. Μπάμπη, μπορείτε να ανεβάσετε τα θέματα του 94 για να τα δούμε;

Για το Θέμα 3 δείτε και εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 715p875055

Πολύ ωραία, Γιώργο!

Να σημειώσω εδώ δύο ακόμη πράγματα.

1) Τα παραπάνω ισχύουν γενικά για simplex στον .
2) Το θεώρημα Καραθεοδωρή ισχύει προφανώς και για τα κανονικά πολύγωνα (για παράδειγμα), αλλά εκεί ο υπολογισμός των συντελεστών γίνεται αρκετά δυσκολότερος.

Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις! Γιώργος Μπαλ...

Μπορούμε να προσδιορίσουμε όλους τους αριθμούς που είναι δυνατόν να μείνουν στο τέλος στο πρόβλημα 3 των μεγάλων;

Άλλη μια σκέψη

αφού το τριώνυμο στην παρένθεση έχει αρνητική διακρίνουσα.

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα. Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το $p_1(x)$ έχει κοινό σημείο είτε με την $y=x$ είτε με την $y=-x$. Ας πούμε ότι έχει με την $y=x$ και έστω $k$ ώστε $p_1(k)=k$. Τότε για $x=k$ στην σχέση παίρνο...

Αχιλλέα καλησπέρα,

Είναι πολύ ωραία αυτή η άσκηση (και δύσκολη). Είναι η άσκηση 3.98 στο βιβλίο "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ". Εκεί παραθέτουμε συνθετική λύση.

Μία προσπάθεια χωρίς πράξεις πολύ κοντά σε αυτό που έκανε ο Θάνος. Από την ταυτότητα Euler θέλουμε το καλύτερο $m$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) &\geqslant m|(a-b)(b-c)(c-a)|.}$ Θέτουμε $b=a+x, c=a+x+y$ με $a\geq 0$. Οπότε αρκεί $\displaystyle{(3a+2x+y)(x^2+xy+y^2) ...

Μία προσέγγιση για τη 2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει $a$ ώστε $a > f(a).$ Τότε $f^2(a) < a$ και με επαγωγή $f^{(k)}(a) < a$ για κάθε $k>0$, όπου με $f^{(k)}$ συμβολίζω τη σύνθεση. Επειδή όμως έχουμε πεπερασμένους ακεραίους μικρότερους από $a$, άρα θα υπάρχουν $0<m<n$ such that $f^{(m)}(a) = f^{(n)}(a) = ...

Αν είναι μοναδιαία διανύσματα που είναι γραμμικά ανεξάρτητα, να υπολογίσετε την ορίζουσα

, όπου για το , δείτε εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product

Έστω και πραγματικοί αριθμοί ώστε

όπου . Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης

Μπορούμε να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα πριν τις δοκιμές του Σταύρου. Από την $a+b=11$ έχουμε $11^2-2ab=9b+1$ οπότε $2ab+9b=120$. Αν γράψουμε $b=2k$, έχουμε $2ak+9k=60$. Από εδώ ο $k$ βαίνει ότι διαιρείται με το 4, άρα γράφοντας $k=4m$ φτάνουμε στην $2am+9m=15$, οπότε $m(2a+9)=15$, οπότε $2a+9=15$, κ...

Αυτό που μπορείς να πεις είναι ότι τα και πρέπει να είναι ομόσημα, που ισχύει προφανώς μόνο όταν .