Η αναζήτηση βρήκε 1285 εγγραφές

από silouan
Τετ Δεκ 16, 2020 9:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πυθαγόρειες Ημέρες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 249

Re: Πυθαγόρειες Ημέρες

matha έγραψε:
Τετ Δεκ 16, 2020 6:04 pm
Νομίζω η 24 Ιουλίου 2025. :D
Θάνο, όπως την έγραψες, λίγο δύσκολο το βλέπω :lol:
από silouan
Δευ Νοέμ 23, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 6522

Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ

Να μια αντίστροφη ΑΜ-GM. Αν $x_1,x_2,\cdots,x_n$ $(n\geq2)$ θετικοί πραγματικοί σε αύξουσα σειρά και οι $x_1,\frac{x_2}{2},\cdots,\frac{x_n}{n}$ είναι σε φθίνουσα σειρά, τότε $\displaystyle{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i }{n\left (\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x_i \right )^{\frac{1}{n}}}\le \d...
από silouan
Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αθροίσματα από άσσους
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 469

Re: Αθροίσματα από άσσους

Η λύση που έχει δημοσιευτεί κάνει το εξής: Παρατηρεί ότι το άθροισμα $1+11+111+1111$ αφήνει υπόλοιπο $22$ κατά τη διαίρεση του με το $101$. Ομοίως και το άθροισμα των επόμενων τεσσάρων όρων του αθροίσματος $11111+111111+1111111+11111111$ κ.ο.κ. Με την καλησπέρα μου στους εκλεκτούς της συζήτησης, να...
από silouan
Παρ Νοέμ 13, 2020 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Η "μεταβατικότητα" της προοπτικότητας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 330

Re: Η "μεταβατικότητα" της προοπτικότητας

Την έχει ο Prasolov αυτή στα παραδείγματα που λύνονται (αμέσως) με αφινικό μετασχηματισμό.
από silouan
Σάβ Νοέμ 07, 2020 3:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 39
Προβολές: 4341

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Γ Γυμνασίου Θέμα 3 Αναλυτικά: Έστω $a$ το πλήθος των μελών που αγαπούν τα Μαθηματικά και $b$ το πλήθος των μελών που αγαπούν τη Φυσική. Τότε το άθροισμα των ηλικιών των μελών που αγαπούν τα Μαθηματικά είναι $25a$* και το άθροισμα των ηλικιών των μελών που αγαπούν τη Φυσική είναι $35b$* Μετά την αλλ...
από silouan
Παρ Οκτ 23, 2020 11:45 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 227

Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα

Filippos Athos έγραψε:
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:03 pm
Δεν είμαι σίγουρος.... αλλά αν το σημείο του Miquel "δουλεύει" και αντίστροφα τοτε είναι προφανές.
Μπορείς να πεις το εξής: Έστω ότι η PS τέμνει την AC στο Q'. Τότε από Miquel (το ευθύ), τα T,S,C,Q' είναι ομοκυκλικά, άρα Q\equiv Q'.
από silouan
Πέμ Οκτ 22, 2020 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Όχι περιοδική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 552

Re: Όχι περιοδική

Εδώ ο Δημήτρης είχε βάλει και μια γενίκευση.

viewtopic.php?f=58&t=60845&p=294611#p294611
από silouan
Πέμ Οκτ 22, 2020 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 438

Re: Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:10 am

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται λογισμικό.
Το ξέρω Σταύρο. Απλά για να ελέγξω την απάντηση που είχα βρει, το έβαλα στο λογισμικό και δεν μου το βρήκε και μου έκανε εντύπωση.
Σταύρο, τα ίδια έχω βγάλει και εγώ. Έχεις κάτι σύντομο;
από silouan
Τετ Οκτ 21, 2020 12:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΩΡΑΙΑ ΕΞΕΛΙΞΗ - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 820

Re: ΩΡΑΙΑ ΕΞΕΛΙΞΗ - ΘΑΛΗΣ 2020

Η λογική λέει ότι θα επιτηρεί ο καθηγητής που εκείνη την ώρα είχε κανονικά μάθημα.
Αυτό συνεπάγεται ότι (δεδομένης της ώρας που γίνεται ο διαγωνισμός) δύσκολα θα είναι μαθηματικός ο επιτηρητής.
από silouan
Τετ Οκτ 21, 2020 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 438

Re: Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό

Ας πάρουμε το a, θετικό.
Δοκίμασα για a=1 και πάλι δεν το υπολογίζει.
από silouan
Τετ Οκτ 21, 2020 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 438

Αποτυχία υπολογισμού από λογισμικό

α) Το παρακάτω ολοκλήρωμα το έβαλα αρχικά στο wolfram και ύστερα στο Sage και απέτυχαν και τα δύο στον υπολογισμό του. Γνωρίζει κάποιος γιατί; β) Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\max\left\{\frac{|x_1|}{a}, a|x_2|\right\}\, e^{-\frac{x_1^2+x...
από silouan
Πέμ Οκτ 15, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αναδρομικες ακολουθιες 2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 414

Re: Αναδρομικες ακολουθιες 2

Και αυτή ήταν άσκηση σε εργασία που "τρέχει".
από silouan
Τρί Οκτ 13, 2020 11:39 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 515

Re: ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Το πρόβλημα που προτάθηκε είναι μέρος εργασίας που "τρέχει" ακόμη.
από silouan
Πέμ Σεπ 17, 2020 2:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 299

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Χρειαζόμαστε τους τύπους του Euler: $OI^2=R^2-2Rr$, $OI_a^2=R^2+2Rr_a$, $OI_b^2=R^2+2Rr_b$, $OI_c^2=R^2+2Rr_c$ και τον τύπο $r_a+r_b+r_c-r=4R$. Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο. Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο :logo: . Για την $r_a+r_b+r_c-r=4R$, δεν ξέρω αν την έχου...
από silouan
Τετ Σεπ 02, 2020 11:11 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ενδιαφέρουσα διάλεξη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 874

Re: Ενδιαφέρουσα διάλεξη

Δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... 68p2403861
Πίσω από το πρόβλημα κρύβεται το Θεώρημα Helly.
από silouan
Πέμ Ιούλ 30, 2020 2:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 648

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Ωραία Δημήτρη!

Να δούμε και το πρόβλημα με τις ίδιες συνθήκες αλλά ψάχνοντας όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}.
από silouan
Τετ Ιούλ 29, 2020 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 648

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Εγώ το σκέφτηκα και με την αρχική. Σύμφωνα με την προσέγγιση του Λάμπρου θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε όλες τις συναρτήσεις με
f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+. Μάλιστα θα ήταν ίδιες με αυτές που ικανοποιούν f(xy)=f(x)f(y), που δεν ισχύει. Παραδείγματα μπορούμε να φτιάξουμε πολλά.
από silouan
Τρί Ιούλ 28, 2020 11:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 648

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Αν θεωρήσουμε την g(y)=\ln(f(e^y)) η δεύτερη δίνει g(2y)=2g(y) η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά g(y)=cy.
Λάμπρο, καλησπέρα. Αυτό δεν το βλέπω που γράφεις με την Cauchy.
από silouan
Τετ Ιούλ 22, 2020 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σχετικά πρώτοι σε ακολουθία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 350

Σχετικά πρώτοι σε ακολουθία

Έστω a_1\in\mathbb{Z}. Ορίζουμε αναδρομικά a_2=a_1^2-a_1-1, \dots ,a_{n+1}=a_n^2-a_n-1. Να αποδειχθεί ότι ο a_{n+1} και ο 2n+1 είναι σχετικά πρώτοι.
από silouan
Τετ Ιούλ 22, 2020 11:47 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα με ημίτονα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 331

Re: Ανισότητα με ημίτονα

Αν κάποιος από τους x+y-z, x+y-y, y+z-x, είναι αρνητικός, είναι προφανές.

H συνάρτηση f(x)=\ln(\sin x) είναι κοίλη και (x+y-z, x+y-y, y+z-x)\succ (x,y,z), οπότε από την ανισότητα Karamata παίρνουμε το ζητούμενο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση