Η αναζήτηση βρήκε 1161 εγγραφές

από silouan
Σάβ Μάιος 12, 2018 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΒΜΟ 2018 - Θέματα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 975

Re: ΒΜΟ 2018 - Θέματα

Άρα ο Δημήτρης κερδίζει για περιττά $a,b$ και για τέτοια ώστε $a=b,\upsilon _{2}(a)\equiv 0mod2$. Τι εννοείς $a=b$; Ότι κάθε στήλη έχει το ίδιο πλήθος νομισμάτων; Για την ιστορία να αναφέρω ότι το όμορφο αυτό πρόβλημα προτάθηκε από τον Δημήτρη (Χριστοφίδη) :clap2: Για μια ακόμη φορά (είναι η 4η σε ...
από silouan
Παρ Μάιος 04, 2018 2:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 440

Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο

Ανασκευάζω λίγο το επιχείρημα της λύσης (αποφεύγω τελείως τους κύκλους και το λήμμα από το σύνδεσμο). Έστω $D$ το συμμετρικό του $B$ ως προς το $S$ και $E$ το συμμετρικό του $C$ ως προς το $T$. Τότε το $P$ ανήκει στη $DE$ και είναι το μέσον της, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο $ADE$ είν...
από silouan
Παρ Μάιος 04, 2018 12:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 440

Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο

sakis1963 έγραψε:
Παρ Μάιος 04, 2018 12:00 am
Οπότε για το τετράπλευρο BDEC, από το αντίστροφο γνωστής πρότασης, το P είναι μέσον της τέταρτης πλευράς του DE.
Καλησπέρα και ευχαριστούμε για το όμορφο αυτό πρόβλημα. Δεν πρέπει να δείξουμε ότι το P ανήκει στη DE ώστε μετά να εφαρμόσουμε το αντίστροφο της πρότασης;
από silouan
Τρί Μάιος 01, 2018 6:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 530

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Πρόβλημα 2 Κάποιος έγραψε σε $\displaystyle{2018}$ χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2018}$. Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει $\displaystyle{2}$ χαρτάκια. Τέλος, έγραψε...
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 162

Re: Διαιρετότητα

Έχουμε 9\mid (a-b)^2+3ab (1), άρα 3\mid (a-b)^2 οπότε 3\mid a-b (2) συνεπώς 9\mid (a-b)^2, και λόγω της (1) θα έχουμε 9\mid 3ab οπότε 3\mid a ή 3\mid b και από την (2) αν διαιρεί τον έναν, διαιρεί και τον άλλο.
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 252

Re: Ανισότητα

Από C-S έχουμε


\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{(1+1+1)^2}{3+ab+bc+ca}}, οπότε αρκεί

\displaystyle{\frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq\frac{3}{2}\iff ab+bc+ca\leq 3},
που ισχύει αφού ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2.
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:13 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Σκέψεις πίσω από τη λύση: Ένα νέο βιβλίο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1130

Re: Σκέψεις πίσω από τη λύση: Ένα νέο βιβλίο

Νίκο, καλοτάξιδο! Πολύ όμορφη πρωτοβουλία και ιδέα! :)
Μόλις το κατέβασα!
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 362

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Το δεύτερο βγαίνει απευθείας αν χρησιμοποιήσουμε το α).
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απόδειξη Ανισότητας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 371

Re: Απόδειξη Ανισότητας

Και άλλη μία προσέγγιση: Από Holder $\displaystyle \left( 1+ \frac{1}{x} \right)\left( 1+ \frac{1}{y} \right)\left( 1+ \frac{1}{z} \right) \geqslant \left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\right)^3$ Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz}$ Άρα $xyz \leq...
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 300

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Έκανα κακή μεταφορά στη διατύπωση της εκφώνησης. Δημήτρη, ευχαριστούμε για τη λύση. Η άσκηση είναι από τον φετινό RMM https://artofproblemsolving.com/community/c6h1597666p9926974 Δίνω και τα βασικά βήματα για τη δική μου λύση: Παραγωγίζουμε τη σχέση οπότε $\displaystyle{ P' \cdot P^8 \cdot \left( 10...
από silouan
Παρ Απρ 20, 2018 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 321

Re: Τέλειο τετράγωνο

Επίσης έχουμε δει παρόμοια θέματα και εδώ, όπου υπάρχει και ένα γενικό πρόβλημα.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09&t=17945
από silouan
Πέμ Απρ 19, 2018 2:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 234

Re: Ανισότητα με εκθετικό και λογάριθμο.

Σταύρο, καλησπέρα. Μία απόπειρα. Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{e^{x+4x^2}(2-e^x)\geq 1.}$ Θεωρούμε $f(x)=e^{x+4x^2}(2-e^x)$. Τότε $f'(x)=e^{x + 4 x^2} (2 - 2 e^x + (16 - 8 e^x) x).$ Για να δείξουμε ότι αυτή είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι $e^x\leq\frac{1+8x}{1+4x}.$ Όμως από την κ...
από silouan
Πέμ Απρ 19, 2018 12:52 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 300

Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα P(x), Q(x) με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}
από silouan
Πέμ Απρ 12, 2018 2:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 395

Re: EGMO 2018/1/2

Δημήτρη, ωραία λύση! Δεν την είχα δει και στο artofproblemsolving, μέχρι που έβαλα κάτι παρόμοιο κάποιος σήμερα το πρωί. Το ενδιαφέρον είναι όντως ότι σου χρειάζεται μόνο το f(2) και το f(3).

Ένα ερώτημα στο οποίο δεν έχω απάντηση. Είναι η f(x)+f(y)-f(xy) φραγμένη;
από silouan
Τετ Απρ 11, 2018 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 395

Re: EGMO 2018/1/2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 7:05 pm
Άρα, από (1), (2), (3) f(13 \cdot 2^n)+f(5) \geqslant n+4+f(5) \geqslant n+7 \geqslant f(65 \cdot 2^n).
Ορέστη, εδώ πρέπει να δείξεις ότι μία από τις ανισότητες είναι αυστηρή. Στην πραγματικότητα πρέπει να δείξεις δηλαδή ότι
f(13\cdot 2^n)\geq n+5.
από silouan
Τετ Απρ 11, 2018 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 395

Re: EGMO 2018/1/2

Το α) είναι προφανές αφού: $\displaystyle{x = \prod_{i=1}^{x-1}\left(1+\frac{1}{i}\right)}$ Για το β) αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος $(x,y)$ αφού τότε το $(2^n\cdot x,y)$ δουλεύει επίσης. Μία κατάλληλη επιλογή είναι να πάρουμε $xy=2^s+1$, και με δοκιμές βρίσκουμε $(x,y)=(3,11)$ αφού $f(33)\leq 6$ και $f...
από silouan
Τετ Απρ 11, 2018 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 302

Re: EGMO 2018/1/1

Αντιγράφω τη λύση μου από το artofproblemsolving. Έστω $N'$ το συμμετρικό του $O$ ως προς το μέσον $R$ του $CP$. Το $COPN'$ είναι Ρόμβος, άρα η $N'P$ είναι κάθετη στην $AB$. Επομένως αρκεί τα $N'$, $Q$, $M$ να είναι συνευθειακά, που προκύπτει άμεσα από το θεώρημα του Μενελάου στο $CRO$ με διατέμνουσ...
από silouan
Σάβ Απρ 07, 2018 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 503

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

[ Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη $2x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{3}-x_{2})^{2}+....(x_{n}-x_{n-1})^{2}+2(1-x_{n})^{2}\geq \frac{1}{n}$ και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών. Πάνω κάτω όπως ο Ορέστης: Από C-S έχουμε: $2x_{1}^{2}+2(1-x_{n})^{2...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση