Άρα ο Δημήτρης κερδίζει για περιττά $a,b$ και για τέτοια ώστε $a=b,\upsilon _{2}(a)\equiv 0mod2$. Τι εννοείς $a=b$; Ότι κάθε στήλη έχει το ίδιο πλήθος νομισμάτων; Για την ιστορία να αναφέρω ότι το όμορφο αυτό πρόβλημα προτάθηκε από τον Δημήτρη (Χριστοφίδη) :clap2: Για μια ακόμη φορά (είναι η 4η σε ...

Ανασκευάζω λίγο το επιχείρημα της λύσης (αποφεύγω τελείως τους κύκλους και το λήμμα από το σύνδεσμο). Έστω $D$ το συμμετρικό του $B$ ως προς το $S$ και $E$ το συμμετρικό του $C$ ως προς το $T$. Τότε το $P$ ανήκει στη $DE$ και είναι το μέσον της, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο $ADE$ είν...

Πολύ όμορφη λύση!

sakis1963 έγραψε: ↑

Παρ Μάιος 04, 2018 12:00 am

Οπότε για το τετράπλευρο , από το αντίστροφο γνωστής πρότασης, το είναι μέσον της τέταρτης πλευράς του .

Καλησπέρα και ευχαριστούμε για το όμορφο αυτό πρόβλημα. Δεν πρέπει να δείξουμε ότι το ανήκει στη ώστε μετά να εφαρμόσουμε το αντίστροφο της πρότασης;

Πρόβλημα 2 Κάποιος έγραψε σε $\displaystyle{2018}$ χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2018}$. Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει $\displaystyle{2}$ χαρτάκια. Τέλος, έγραψε...

Έχουμε (1), άρα οπότε (2) συνεπώς , και λόγω της (1) θα έχουμε οπότε ή και από την (2) αν διαιρεί τον έναν, διαιρεί και τον άλλο.

Από C-S έχουμε


, οπότε αρκεί

,
που ισχύει αφού .

Νίκο, καλοτάξιδο! Πολύ όμορφη πρωτοβουλία και ιδέα!
Μόλις το κατέβασα!

Το δεύτερο βγαίνει απευθείας αν χρησιμοποιήσουμε το α).

Και άλλη μία προσέγγιση: Από Holder $\displaystyle \left( 1+ \frac{1}{x} \right)\left( 1+ \frac{1}{y} \right)\left( 1+ \frac{1}{z} \right) \geqslant \left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\right)^3$ Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz}$ Άρα $xyz \leq...

Έκανα κακή μεταφορά στη διατύπωση της εκφώνησης. Δημήτρη, ευχαριστούμε για τη λύση. Η άσκηση είναι από τον φετινό RMM https://artofproblemsolving.com/community/c6h1597666p9926974 Δίνω και τα βασικά βήματα για τη δική μου λύση: Παραγωγίζουμε τη σχέση οπότε $\displaystyle{ P' \cdot P^8 \cdot \left( 10...

Επίσης έχουμε δει παρόμοια θέματα και εδώ, όπου υπάρχει και ένα γενικό πρόβλημα.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09&t=17945

Σταύρο, καλησπέρα. Μία απόπειρα. Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{e^{x+4x^2}(2-e^x)\geq 1.}$ Θεωρούμε $f(x)=e^{x+4x^2}(2-e^x)$. Τότε $f'(x)=e^{x + 4 x^2} (2 - 2 e^x + (16 - 8 e^x) x).$ Για να δείξουμε ότι αυτή είναι θετική αρκεί να δείξουμε ότι $e^x\leq\frac{1+8x}{1+4x}.$ Όμως από την κ...

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

Δημήτρη, ωραία λύση! Δεν την είχα δει και στο artofproblemsolving, μέχρι που έβαλα κάτι παρόμοιο κάποιος σήμερα το πρωί. Το ενδιαφέρον είναι όντως ότι σου χρειάζεται μόνο το και το .

Ένα ερώτημα στο οποίο δεν έχω απάντηση. Είναι η φραγμένη;

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑

Τετ Απρ 11, 2018 7:05 pm

Άρα, από (1), (2), (3) .

Ορέστη, εδώ πρέπει να δείξεις ότι μία από τις ανισότητες είναι αυστηρή. Στην πραγματικότητα πρέπει να δείξεις δηλαδή ότι

Το α) είναι προφανές αφού: $\displaystyle{x = \prod_{i=1}^{x-1}\left(1+\frac{1}{i}\right)}$ Για το β) αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος $(x,y)$ αφού τότε το $(2^n\cdot x,y)$ δουλεύει επίσης. Μία κατάλληλη επιλογή είναι να πάρουμε $xy=2^s+1$, και με δοκιμές βρίσκουμε $(x,y)=(3,11)$ αφού $f(33)\leq 6$ και $f...

Αντιγράφω τη λύση μου από το artofproblemsolving. Έστω $N'$ το συμμετρικό του $O$ ως προς το μέσον $R$ του $CP$. Το $COPN'$ είναι Ρόμβος, άρα η $N'P$ είναι κάθετη στην $AB$. Επομένως αρκεί τα $N'$, $Q$, $M$ να είναι συνευθειακά, που προκύπτει άμεσα από το θεώρημα του Μενελάου στο $CRO$ με διατέμνουσ...

[ Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη $2x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{3}-x_{2})^{2}+....(x_{n}-x_{n-1})^{2}+2(1-x_{n})^{2}\geq \frac{1}{n}$ και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών. Πάνω κάτω όπως ο Ορέστης: Από C-S έχουμε: $2x_{1}^{2}+2(1-x_{n})^{2...

Το δεύτερο ερώτημα το είχαμε δει και εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 99#p296032