Η αναζήτηση βρήκε 1170 εγγραφές

από silouan
Τετ Νοέμ 14, 2018 10:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο τεταροβάθμιων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 412

Re: Γινόμενο τεταροβάθμιων

Άλλη μια λύση: Θέτουμε $x-\frac{1}{x}=u$. Τότε, $x^{8}+98x^{4}+1=x^{4}\left(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+98\right)=x^{4}\left(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}+96\right)=x^{4}\left(\left(u^{2}+2\right)^{2}+96\right)=$ $=x^{4}\left(u^{4}+4u^{2}+100\right)=x^{4}\left(\left(u^{2}+10\right)^{2}-16u^{2}\ri...
από silouan
Δευ Νοέμ 12, 2018 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6817

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Μία λύση ακόμη στο 2ο θέμα της Β Λυκείου.

Έχουμε ότι (5,1,1,1)\succ (x,y,z,w) οπότε από την ανισότητα Karamata για την κυρτή συνάρτηση f(a)=a^2, έχουμε ότι
f(x)+f(y)+f(z)+f(w)\leq f(5)+f(1)+f(1)+f(1)=28.
από silouan
Παρ Νοέμ 09, 2018 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 463

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μπορείτε να δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c6h14151
από silouan
Τετ Ιούλ 11, 2018 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 4853

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στα τμήματα $AB$ και $AC$ αντίστοιχα ώστε $AD = AE$. Οι μεσοκάθετες των $BD$ και $CE$ τέμνουν τα μικρά τόξα $AB$ και $AC$ του $\Gamma$ στα σημεία $F$ και $G$ αντίστοιχα. Να αποδει...
από silouan
Παρ Ιούλ 06, 2018 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 761

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Πρόκειται όντως για αρκετά δύσκολο πρόβλημα.
Δείτε εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1932947
από silouan
Πέμ Ιουν 28, 2018 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Συνέδριο Λογικής και Θεμελίων των Μαθηματικών, Αθήνα 27-28 Ιουνίου 2018
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1465

Re: Συνέδριο Λογικής και Θεμελίων των Μαθηματικών, Αθήνα 27-28 Ιουνίου 2018

Πάντως, όλες οι ομιλίες που έχω παρακολουθήσει ως τώρα, ήταν στα ελληνικά. Και εγώ στα ελληνικά μίλησα.
Οι ομιλητές ρωτάνε στην αρχή της ομιλίας τους αν υπάρχει κάποιος που δεν καταλαβαίνει ελληνικά και αν δεν υπάρχει κάποιος τέτοιος, η ομιλία και η συζήτηση γίνονται στα ελληνικά.
από silouan
Δευ Ιουν 25, 2018 1:44 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 2093

Re: JBMO 2018

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Σάβ Ιουν 23, 2018 12:31 am
Ειδικά για το "φιλαράκι μου" τον Ορέστη. Από εδώ και πέρα για άλλα τρία χρόνια, μόνο χρυσό. :winner_first_h4h:
Μπορεί και σε άλλη κατηγορία όμως ;)
από silouan
Σάβ Ιουν 16, 2018 9:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1104

Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)

Είναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων. Πρόβλημα 1 Αν $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y+z=9xyz$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2yz+2}}+\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}+2zx+2}}+\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+2xy+2}}\...
από silouan
Σάβ Μάιος 12, 2018 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΒΜΟ 2018 - Θέματα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1299

Re: ΒΜΟ 2018 - Θέματα

Άρα ο Δημήτρης κερδίζει για περιττά $a,b$ και για τέτοια ώστε $a=b,\upsilon _{2}(a)\equiv 0mod2$. Τι εννοείς $a=b$; Ότι κάθε στήλη έχει το ίδιο πλήθος νομισμάτων; Για την ιστορία να αναφέρω ότι το όμορφο αυτό πρόβλημα προτάθηκε από τον Δημήτρη (Χριστοφίδη) :clap2: Για μια ακόμη φορά (είναι η 4η σε ...
από silouan
Παρ Μάιος 04, 2018 2:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 619

Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο

Ανασκευάζω λίγο το επιχείρημα της λύσης (αποφεύγω τελείως τους κύκλους και το λήμμα από το σύνδεσμο). Έστω $D$ το συμμετρικό του $B$ ως προς το $S$ και $E$ το συμμετρικό του $C$ ως προς το $T$. Τότε το $P$ ανήκει στη $DE$ και είναι το μέσον της, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο $ADE$ είν...
από silouan
Παρ Μάιος 04, 2018 12:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 619

Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο

sakis1963 έγραψε:
Παρ Μάιος 04, 2018 12:00 am
Οπότε για το τετράπλευρο BDEC, από το αντίστροφο γνωστής πρότασης, το P είναι μέσον της τέταρτης πλευράς του DE.
Καλησπέρα και ευχαριστούμε για το όμορφο αυτό πρόβλημα. Δεν πρέπει να δείξουμε ότι το P ανήκει στη DE ώστε μετά να εφαρμόσουμε το αντίστροφο της πρότασης;
από silouan
Τρί Μάιος 01, 2018 6:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 655

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Πρόβλημα 2 Κάποιος έγραψε σε $\displaystyle{2018}$ χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2018}$. Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει $\displaystyle{2}$ χαρτάκια. Τέλος, έγραψε...
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 238

Re: Διαιρετότητα

Έχουμε 9\mid (a-b)^2+3ab (1), άρα 3\mid (a-b)^2 οπότε 3\mid a-b (2) συνεπώς 9\mid (a-b)^2, και λόγω της (1) θα έχουμε 9\mid 3ab οπότε 3\mid a ή 3\mid b και από την (2) αν διαιρεί τον έναν, διαιρεί και τον άλλο.
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 351

Re: Ανισότητα

Από C-S έχουμε


\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{(1+1+1)^2}{3+ab+bc+ca}}, οπότε αρκεί

\displaystyle{\frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq\frac{3}{2}\iff ab+bc+ca\leq 3},
που ισχύει αφού ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2.
από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:13 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Σκέψεις πίσω από τη λύση: Ένα νέο βιβλίο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1296

Re: Σκέψεις πίσω από τη λύση: Ένα νέο βιβλίο

Νίκο, καλοτάξιδο! Πολύ όμορφη πρωτοβουλία και ιδέα! :)
Μόλις το κατέβασα!
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 431

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Το δεύτερο βγαίνει απευθείας αν χρησιμοποιήσουμε το α).
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απόδειξη Ανισότητας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 505

Re: Απόδειξη Ανισότητας

Και άλλη μία προσέγγιση: Από Holder $\displaystyle \left( 1+ \frac{1}{x} \right)\left( 1+ \frac{1}{y} \right)\left( 1+ \frac{1}{z} \right) \geqslant \left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\right)^3$ Όμως από την ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz}$ Άρα $xyz \leq...
από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 388

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Έκανα κακή μεταφορά στη διατύπωση της εκφώνησης. Δημήτρη, ευχαριστούμε για τη λύση. Η άσκηση είναι από τον φετινό RMM https://artofproblemsolving.com/community/c6h1597666p9926974 Δίνω και τα βασικά βήματα για τη δική μου λύση: Παραγωγίζουμε τη σχέση οπότε $\displaystyle{ P' \cdot P^8 \cdot \left( 10...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση