Η αναζήτηση βρήκε 1232 εγγραφές

από silouan
Τρί Οκτ 01, 2019 11:30 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέγιστο πολλών μεταβλητών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 261

Μέγιστο πολλών μεταβλητών

Έστω \frac{1}{n}\leq a_1,...,a_m\leq 1 και 0\leq b_1,...,b_m\leq 1 πραγματικοί αριθμοί ώστε
\displaystyle{\sum_{i=1}^m a_i^2b_i=k,}
όπου k\in\mathbb{N}. Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης
\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^m b_i\right)^{k+1}\left(\prod_{i=1}^m a_i^{b_ia_i^2}\right).}
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ορθογώνιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 363

Re: Ορθογώνιο

Μπορούμε να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα πριν τις δοκιμές του Σταύρου. Από την $a+b=11$ έχουμε $11^2-2ab=9b+1$ οπότε $2ab+9b=120$. Αν γράψουμε $b=2k$, έχουμε $2ak+9k=60$. Από εδώ ο $k$ βαίνει ότι διαιρείται με το 4, άρα γράφοντας $k=4m$ φτάνουμε στην $2am+9m=15$, οπότε $m(2a+9)=15$, οπότε $2a+9=15$, κ...
από silouan
Δευ Σεπ 30, 2019 5:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 484

Re: Εξίσωση

Αυτό που μπορείς να πεις είναι ότι τα x-1 και 2-2^χ πρέπει να είναι ομόσημα, που ισχύει προφανώς μόνο όταν x=1.
από silouan
Τετ Σεπ 25, 2019 3:27 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 634

Re: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης

Σας ευχαριστώ θερμά όλους για τις ευχές σας!
από silouan
Παρ Σεπ 20, 2019 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 382

Re: Είναι ακέραιος

Και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p12942041
Με λύση ουσιαστικά σαν του Κώστα.
από silouan
Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 943

ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Με λίγη καθυστέρηση η αλήθεια είναι. Πρόβλημα 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους $k$ cm. Με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του, το χωρίζουμε σε $k^2$ το πλήθος μικρά ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα τριγωνικό πλέγμα. Σε κάθε μικρό ισόπλε...
από silouan
Τρί Σεπ 17, 2019 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυμεταβλητή ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 401

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Ουσιαστικά αυτό που γράφει ο Δημήτρης, αλλά άμεσα. Από Minkowski,

\displaystyle{\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} \geq\sqrt{x+(\sqrt{y}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{z}+\sqrt{z}+\sqrt{z})^2}=\sqrt{x+4y+9z}.}

Οπότε πρέπει να έχουμε ισότητα στην παραπάνω και τα υπόλοιπα είναι απλά.
από silouan
Κυρ Σεπ 01, 2019 6:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 520

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Λίγο διαφορετικά. Λόγω ομοιογένειας, θέτω $x+y=1$. Τότε $\displaystyle{(x^3+1)(y^3+1)=x^3y^3+x^3+y^3+1=(xy)^3+(x+y)((x+y)^2-3xy))+1$ $=(xy)^3-3xy+2=(xy-1)^2(xy+2)}$. Προφανώς το μέγιστο ισχύει όταν $xy\geq -2$. Επιπλέον $xy\leq\frac{1}{4}$ οπότε και ο όρος $1-xy$ είναι θετικός. Επομένως εφαρμόζουμε ...
από silouan
Πέμ Αύγ 22, 2019 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συναρτησιακή με παράγωγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 588

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Επαναφορά.
από silouan
Τετ Αύγ 07, 2019 5:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συναρτησιακη σχεση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 314

Re: Συναρτησιακη σχεση

Νίκο, φαντάζομαι ότι εννοείς αυτή την άσκηση https://artofproblemsolving.com/communi ... 98p2363539
Όμως, έχεις διατυπώσει λάθος την εκφώνηση.
Δεν νομίζω όμως ότι είναι στο σωστό φάκελλο.
από silouan
Παρ Ιούλ 26, 2019 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5044

Re: IMO 2019

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα. Καταρχάς να δώσω συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά, διότι θεωρώ την επίδοσή τους τουλάχιστον αξιοπρεπή. Η αλήθεια είναι ότι συμφωνώ με τον Σταύρο για την κατάταξη. Δεν είμαστε ούτε για 12οι (όπως πριν δύο χρόνια στο Ρίο), αλλά πιστεύω ότι η εδραίωση στην 25άδα ή 30άδα είναι...
από silouan
Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5044

Re: IMO 2019

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας: Αν η $QP$ τμήσει τις $AC, BC$ στα σημεία $B_1 , A_1$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A^' \ C B^’$ που εφάπτονται στο $C$ και στα τρίγωνα $PB^' \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$, οδηγούν στην λύση. Θα μπορούσατ...
από silouan
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 675

Re: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα

Καλησπέρα Στάθη, ευχαριστώ για την ενασχόληση! Ο λόγος για τον "λόγο" ήταν ότι επιχείρησα μια διαφορετική προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=185&t=64441&p=311708#p311708 Ήλπιζα ότι θα γίνονται απλοποιήσεις σε αυτό που έβγαζα με κάποια διαφορετική προσέγγι...
από silouan
Κυρ Ιούλ 14, 2019 12:34 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι απαραίτητα σταθερή;
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 976

Re: Είναι απαραίτητα σταθερή;

Μου θύμισε κάτι από πολύ παλιά αυτό.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1073419
από silouan
Δευ Ιούλ 01, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 984

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.
από silouan
Κυρ Ιουν 23, 2019 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4442

Re: JBMO 2019

Αλέξανδρε, πολύ ωραία νέα μας φέρνεις! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές, αλλά και σε εσένα και τον Ανδρέα, που ως αρχηγός και υπαρχηγός παλέψατε και καταφέρατε τη μέγιστη δυνατή συγκομιδή μεταλλίων. Σε ευχαριστώ και προσωπικά για την υποστήριξη και την επιλογή του προβλήματος που είχα στείλε...
από silouan
Σάβ Ιουν 22, 2019 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4442

Re: JBMO 2019

Μία διαφορετική λύση για το δεύτερο πρόβλημα με λίγο πιο προχωρημένα (για τους μικρούς εννοώ) μέσα. Γράφουμε τους τύπους του Vieta και τελειώνουμε. Προφανώς η συνάρτηση $f(x)=x^4-2019x-c$ είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, αυτές είναι οι $a,b$ κα...
από silouan
Τρί Ιουν 18, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: "Ολοκληρωτική" γενίκευση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 700

Re: "Ολοκληρωτική" γενίκευση

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ανισότητα Holder.
από silouan
Κυρ Ιουν 16, 2019 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 823

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2019 10:50 am

Θέμα σε παλιά JBMO νομίζω.
Όχι ακριβώς, αλλά μοιάζει πολύ. https://artofproblemsolving.com/communi ... 653p874754

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση