Η αναζήτηση βρήκε 658 εγγραφές

από Nick1990
Σάβ Νοέμ 07, 2020 12:40 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2020
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 880

Re: BMO 2020

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους. Έκατσα κάποιες ώρες να ασχοληθώ με το 3, που απ' όσο βλέπω είναι της Κύπρου (Δημήτρη δικό σου να υποθέσω;). Ωραίο πρόβλημα, από αυτά όπου ακόμα και όταν δεις "τι παίζει" χοντρικά και πως αυτό προκύπτει, χρειάζεσαι αρκετή ώρα για να φτάσεις με ακρίβεια στο ζητούμενο, και ...
από Nick1990
Τρί Μαρ 24, 2020 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1045

Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Θα παρακαλούσα επίσης να καρφιτσωθεί στην κορυφή, ώστε οι νέοι να μη χρειάζεται να ψάχνουν σε προηγούμενες σελίδες για να βρουν συμβουλές.
από Nick1990
Δευ Μαρ 23, 2020 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1045

Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Ανοίγω αυτό το topic καθώς από μηνύματα που λαμβάνω, βλέπω πως υπάρχει έντονο ενδιαφέρον από νέους φοιτητές, και λόγω ερευνητικής δραστηριότητας δεν έχω πλέον χρόνο να απαντώ σε όλα τα μηνύματα. Καλό είναι λοιπόν όσοι έχουμε μια εμπειρία και θέλουμε να βοηθήσουμε τους νεότερους, να γράψουμε εδώ τι π...
από Nick1990
Πέμ Μαρ 12, 2020 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2709

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Μάλιστα παραπάνω λες με μεγάλη σιγουριά ότι αυτή η άποψη που συχνά έχεις εκφράσει δεν είναι απλώς η δική σου γνώμη αλλά ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός. Αν ήταν αδιαμφισβήτητο γεγονός μάλλον δε θα υπήρχαν οι απόψεις του Δημήτρη (αργυρό στην ΙΜΟ και πολλές διακρίσεις σε JBMO,BMO,SEEMOUS,IMC) και του Σωτή...
από Nick1990
Πέμ Μαρ 12, 2020 7:55 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2709

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Η μειωμένη συμμετοχή στο διαγωνισμό είχε ρίξει πολύ τη γενικότερη δυσκολία των θεμάτων τα τελευταία χρόνια. Μέχρι που μια χρονιά έπαιρνες χάλκινο λύνοντας ένα θέμα Λυκείου και αργυρό αν έλυνες επιπλέον και ένα θέμα απλών πράξεων με 2χ2 πίνακες. Φέτος όμως, αν και απουσίαζε το εξαιρετικά δύσκολο πρό...
από Nick1990
Τετ Μαρ 11, 2020 5:55 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2709

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...
από Nick1990
Τρί Μαρ 10, 2020 9:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2709

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχου...
από Nick1990
Κυρ Φεβ 23, 2020 11:49 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 7576

Re: Αρχιμήδης 2020

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές και καλή επιτυχία στον προκριματικό! Παραθέτω αρχικά μια λύση στο θέμα 4 των μεγάλων που βλέπω πως δεν έχει απαντηθεί, μαζί με τον τρόπο σκέψης: Σαν πρώτο βήμα, κοιτάμε να βρούμε θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους το $A(k, a, b)$ μπορεί να είναι σύνθετος...
από Nick1990
Παρ Αύγ 02, 2019 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1870

Re: IMC 2019

3, 5, 9 παραείναι εύκολα για τη θεση τους. 6, 7 παραείναι ευκολα για το διαγωνισμο γενικά (έπρεπε να μπει μονο 1 εκ των 2). Κατ' εμέ χρειάζεται να υπαρχει και στην Ευρωπη ένας φοιτιτικος διαγωνισμος υψηλού κύρους, οπως είναι ο πατναμ στην Αμερική, αλλά αυτο προϋποθέτει καλύτερο evaluatiοn στη δυσκολ...
από Nick1990
Τρί Ιούλ 16, 2019 4:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 7965

Re: IMO 2019

Το πρώτο πρόβλημα είναι. Αν $\mathbb{Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει , $f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))$ για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$ Για $y=0$ έχουμε $f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1)$, ενώ για $y=0$ έχουμε $f(0) +...
από Nick1990
Πέμ Μάιος 02, 2019 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 4969

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 3: Ας είναι $ABC$ σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι $X$ και $Y$ δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $BC$, για τα οποία ισχύει $\angle CAX = \angle YAB$. Υποθέτουμε ότι: 1) $K$ και $S$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το $B$ στις ευθείες $AX$ και $AY$ αντίστοιχα 2) $T$...
από Nick1990
Σάβ Μαρ 16, 2019 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2019/3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 774

SEEMOUS 2019/3

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί. Έστω ένα θετικος ακέραιος $n \geq 2$ και $n \times n$ πίνακες $A, B$ με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε $B^2 = B$. Να δείξετε οτι: $Rank(AB - BA) \leq R...
από Nick1990
Δευ Φεβ 25, 2019 12:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 12119

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

αν και μόνο αν ο [/b] $\displaystyle \left ( 1+\frac{b}{a} \right )^b $ είναι $a-$ οστή δύναμη ρητού δηλαδή $b=ka$ Βασικά δεν ισχύει αυτο διοτι μπορεί απλά η βάση να είναι $a$-οστή δύναμη ρητού, και αυτο συμβαίνει αν $a > 1$ αφού $a, b$ είναι σχετικά πρώτοι. Κοβοταν μισή με μια μονάδα για μη επαρκή...
από Nick1990
Τετ Ιαν 30, 2019 4:12 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1635

Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS

Πρόβλημα 4: Για ποιά $p \in \mathbb{Q} $ υπάρχει $3 \times 3$ πίνακας $X$ με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε: $X^{2}= \left({\begin{array}{ccc} p & 1 &1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & p & 1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & 1 & p \end{array}}\right )$ Αυτό είναι ζόρικο για 3ωρο διαγωνισμό, υπό την έννοια ότ...
από Nick1990
Σάβ Ιαν 19, 2019 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 23409

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Διαφορετικά η Γεωμετρία της Γ, μαζί με μια ανάλυση της σκέψης: Γενικά, όταν ζητείται τέτοια καθετότητα σε σχήμα αυτού του τύπου, η εμπειρία οδηγεί στο να εξετάσουμε μήπως υπάρχει ορθόκεντρο. Στο συγκεκριμένο σχήμα, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη λύση, οι άλλες 2 καθετότητες που χρειάζονται ισοδυναμο...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 767

Re: IMC 2018/2/1

Ας δούμε και αυτό: Αν έχουμε τα $k$ διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$. Ο $\math...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 671

Re: IMC 2018/2/2

Αυτό μου άρεσε. Πρωτα απ' όλα παρατηρούμε ότι $a_{n+1} \geq -2$ για κάθε $n$, καθώς διαφορετικά θα είχαμε $a^2_n < 0$. Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή $a_1 = -2$, υπάρχει $m$ με $a_m \leq 0$ και $a_{m+1} > 0$, οπότε $a^2_{m} = a^3_{m+1} + 8 > 8$, άρα $a_{m}...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:55 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 694

Re: IMC 2018/1/2

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του; Θα γράψω τη σκέψη που κρύβεται πίσω από τη λύση πρώτα: Προφανώς το σώμα θα είναι άπειρο διότι διαφορετικά οι 2 ομάδες δεν είναι ισοπληθικές, άρα ούτε ισόμορφες. Κοιτάμε τώρα να δούμε τι γίνεται σε ένα κλασικό ...
από Nick1990
Σάβ Μαρ 03, 2018 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 8556

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Η λύση μου στη Γεωμετρία των μεγάλων βασίζεται στην παρατήρηση του κ. Λουρίδα, το οποίο δεν ξέρω πόσο γνωστό θεωρείται, αλλά δοκίμασα να εξετάσω αν ισχύει όταν είδα πως αρκεί να αποδειχτεί αυτό. Η πρώτη σκέψη είναι πως τα σημεία είναι συνευθειακά όταν και μόνο όταν το $A$ ανήκει στο ριζικό άξονα των...
από Nick1990
Σάβ Ιαν 20, 2018 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 96
Προβολές: 19908

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Εύκολα βλέπουμε πως αν ονομάσουμε $a,b,c$ τους 3 αριθμούς, ώστε $a \leq b \leq c$, τότε $a^3, b^3, c^3$ είναι ακέραιοι και $2b = a + c$ Νίκο, δεν λέει πουθενά "διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου". Ωχ πράγματι. Θα επανέλθω πιο μετά. Edit: Επανέρχομαι: Είναι $a = xn + y, b = xm + y, c = xk + y$ με $...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση