Η αναζήτηση βρήκε 649 εγγραφές

από Nick1990
Τρί Ιούλ 16, 2019 4:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 654

Re: IMO 2019

Το πρώτο πρόβλημα είναι. Αν $\mathbb{Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει , $f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))$ για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$ Για $y=0$ έχουμε $f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1)$, ενώ για $y=0$ έχουμε $f(0) +...
από Nick1990
Πέμ Μάιος 02, 2019 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2919

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 3: Ας είναι $ABC$ σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι $X$ και $Y$ δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $BC$, για τα οποία ισχύει $\angle CAX = \angle YAB$. Υποθέτουμε ότι: 1) $K$ και $S$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το $B$ στις ευθείες $AX$ και $AY$ αντίστοιχα 2) $T$...
από Nick1990
Σάβ Μαρ 16, 2019 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2019/3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 483

SEEMOUS 2019/3

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί. Έστω ένα θετικος ακέραιος $n \geq 2$ και $n \times n$ πίνακες $A, B$ με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε $B^2 = B$. Να δείξετε οτι: $Rank(AB - BA) \leq R...
από Nick1990
Δευ Φεβ 25, 2019 12:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 8477

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

αν και μόνο αν ο [/b] $\displaystyle \left ( 1+\frac{b}{a} \right )^b $ είναι $a-$ οστή δύναμη ρητού δηλαδή $b=ka$ Βασικά δεν ισχύει αυτο διοτι μπορεί απλά η βάση να είναι $a$-οστή δύναμη ρητού, και αυτο συμβαίνει αν $a > 1$ αφού $a, b$ είναι σχετικά πρώτοι. Κοβοταν μισή με μια μονάδα για μη επαρκή...
από Nick1990
Τετ Ιαν 30, 2019 4:12 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1093

Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS

Πρόβλημα 4: Για ποιά $p \in \mathbb{Q} $ υπάρχει $3 \times 3$ πίνακας $X$ με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε: $X^{2}= \left({\begin{array}{ccc} p & 1 &1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & p & 1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & 1 & p \end{array}}\right )$ Αυτό είναι ζόρικο για 3ωρο διαγωνισμό, υπό την έννοια ότ...
από Nick1990
Σάβ Ιαν 19, 2019 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 18503

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Διαφορετικά η Γεωμετρία της Γ, μαζί με μια ανάλυση της σκέψης: Γενικά, όταν ζητείται τέτοια καθετότητα σε σχήμα αυτού του τύπου, η εμπειρία οδηγεί στο να εξετάσουμε μήπως υπάρχει ορθόκεντρο. Στο συγκεκριμένο σχήμα, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη λύση, οι άλλες 2 καθετότητες που χρειάζονται ισοδυναμο...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 531

Re: IMC 2018/2/1

Ας δούμε και αυτό: Αν έχουμε τα $k$ διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$. Ο $\math...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 511

Re: IMC 2018/2/2

Αυτό μου άρεσε. Πρωτα απ' όλα παρατηρούμε ότι $a_{n+1} \geq -2$ για κάθε $n$, καθώς διαφορετικά θα είχαμε $a^2_n < 0$. Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή $a_1 = -2$, υπάρχει $m$ με $a_m \leq 0$ και $a_{m+1} > 0$, οπότε $a^2_{m} = a^3_{m+1} + 8 > 8$, άρα $a_{m}...
από Nick1990
Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:55 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 501

Re: IMC 2018/1/2

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του; Θα γράψω τη σκέψη που κρύβεται πίσω από τη λύση πρώτα: Προφανώς το σώμα θα είναι άπειρο διότι διαφορετικά οι 2 ομάδες δεν είναι ισοπληθικές, άρα ούτε ισόμορφες. Κοιτάμε τώρα να δούμε τι γίνεται σε ένα κλασικό ...
από Nick1990
Σάβ Μαρ 03, 2018 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7387

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Η λύση μου στη Γεωμετρία των μεγάλων βασίζεται στην παρατήρηση του κ. Λουρίδα, το οποίο δεν ξέρω πόσο γνωστό θεωρείται, αλλά δοκίμασα να εξετάσω αν ισχύει όταν είδα πως αρκεί να αποδειχτεί αυτό. Η πρώτη σκέψη είναι πως τα σημεία είναι συνευθειακά όταν και μόνο όταν το $A$ ανήκει στο ριζικό άξονα των...
από Nick1990
Σάβ Ιαν 20, 2018 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 17301

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Εύκολα βλέπουμε πως αν ονομάσουμε $a,b,c$ τους 3 αριθμούς, ώστε $a \leq b \leq c$, τότε $a^3, b^3, c^3$ είναι ακέραιοι και $2b = a + c$ Νίκο, δεν λέει πουθενά "διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου". Ωχ πράγματι. Θα επανέλθω πιο μετά. Edit: Επανέρχομαι: Είναι $a = xn + y, b = xm + y, c = xk + y$ με $...
από Nick1990
Σάβ Ιαν 20, 2018 4:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 17301

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Για το 4ο της Γ: Εύκολα βλέπουμε πως αν ονομάσουμε $a,b,c$ τους 3 αριθμούς, ώστε $a \leq b \leq c$, τότε $a^3, b^3, c^3$ είναι ακέραιοι και $2b = a + c$ αν έχουμε αριθμητική πρόοδο. Άρα από Euler: $6\sqrt[3]{2018^2p^2q^2r^2} = 6abc = 8b^3 - a^3 - c^3$ είναι ακέραιος. Όμως εντός της τρίτης ρίζας, το ...
από Nick1990
Παρ Μάιος 05, 2017 6:00 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2017 - Θέματα
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 5942

Re: BMO 2017 - Θέματα

Από τα 3 πρώτα, μόνο η γεωμετρία μου φάνηκε να έχει κάποια δυσκολία (ίσως επειδή δεν έχω ασχοληθεί και τόσο με γεωμετρίες), οπότε θα βάλω μια λύση: Ας υποθέσουμε ότι η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου του $\triangle{ABC}$ στο $A$ τέμνει την $BC$ στο $P$, και η $AL$ τέμνει την $BC$ στο $Q$. Είναι γνωστ...
από Nick1990
Κυρ Απρ 09, 2017 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Απαντήσεις: 39
Προβολές: 7119

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017

Το πρόβλημα 4 είναι καταπληκτικό. Σε τέτοιου τύπου προβλήματα πρέπει να προπονούνται τα νέα ταλέντα αν θέλουμε να ελπίζουμε σε κάτι παραπάνω από χαμηλά αργυρά μετάλλια στην ΙΜΟ. Οι συνδυαστικές του τύπου "βρείτε πόσα τρίγωνα υπάρχουν στην τάδε διαμέριση του παραλληλογράμμου" είναι πλέον για Junior ε...
από Nick1990
Τρί Μαρ 21, 2017 3:48 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Διαγωνισμοί για φοιτητές (IMC)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 718

Re: Διαγωνισμοί για φοιτητές (IMC)

Καλησπέρα φίλε Σωτήρη, Μου κάνει εντύπωση που κανένας δεν απάντησε τόσες μέρες. Ο IMC είναι διαγωνισμός για πανεπιστήμια και για φοιτητές που πάνε ατομικά. Μπορείς να πας μόνος σου αλλά θα πληρώσεις 300+ ευρώ τη συμμετοχή μαζί με τα έξοδα μετακίνησης. Διαφορετικά, μπορείς να ρωτήσεις στο πανεπιστήμι...
από Nick1990
Τετ Δεκ 07, 2016 6:05 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: του Νικολάου
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 2334

Re: του Νικολάου

Θα ήθελα να ευχηθώ κι εγώ με τη σειρά μου χρόνια πολλά με υγεία και ευτυχία σε όλους τους συνονόματους του φόρουμ, αλλά και να σας ευχαριστήσω όλους για τις ευχές σας. Να είστε όλοι καλά!
από Nick1990
Παρ Αύγ 12, 2016 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2016/1/4
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 868

Re: IMC 2016/1/4

Έχω βάλει λύση στα Αγγλικά εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/community/c7h1279183p6722154 Αν θέλει κάποιος μπορεί να τη μεταφέρει. ΥΓ: Είναι καλό πρόβλημα για 4ο καθώς έχει και πολλές παγίδες. Όπως είχα συνηθίσει το διαγωνισμό παλιότερα, σε τέτοιο επίπεδο θα έπρεπε να ήταν και τα 3άρια, και έν...
από Nick1990
Δευ Αύγ 08, 2016 3:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2016
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1822

Re: IMC 2016

Αν και κάπως καθυστερημένα, συγχαρητήρια σε όλους. Δε μπορώ να κρύψω όμως ότι δε μου πολυαρέσει που η δυσκολία του διαγωνισμού έχει μειωθεί τόσο μετά το 2013. Πριν το 2013, δε θυμάμαι κάποια χρονιά που για να πάρει κάποιος χρυσό θα αρκούσε να λύσει 4 εύκολα θέματα + 1 μέσης δυσκολίας θέμα (για κάποι...
από Nick1990
Τετ Ιούλ 27, 2016 12:42 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2016
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1822

IMC 2016

Ανοίγω αυτό το θέμα καθώς αύριο είναι η πρώτη μέρα του φετινού IMC. Εδώ θα λύσουμε και θα σχολιάσουμε τα θέματα. Ελπίζω σε θέματα ποιότητας IMO όπως το 2011 και το 2012, τότε που συμμετείχα και είχα ευχαριστηθεί πραγματικά το διαγωνισμό, σε αντίθεση με τα τελευταία 2 χρόνια που τα θέματα μου φάνηκαν...
από Nick1990
Τετ Ιούλ 27, 2016 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2016
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 6777

Re: IMO 2016

Στα πλαίσια της προσπάθειας να μαζέψουμε όσο πιο πολλές λύσεις γίνεται για κάθε πρόβλημα, βάζω μια μια γρήγορη και κομψή λύση για το 6 α), μαζί με το σκεπτικό μου που με οδήγησε σε αυτή. Δυστυχώς δεν έχω καταφέρει να λύσω το β) βασιζόμενος στην ίδια ιδέα, γι' αυτό αφήνω ως άσκηση την προσαρμογή της ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση