Ας δούμε και άλλη μία σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου $KP = LT\ \ \ ,(1)$. $\bullet$ Για να ισχύει η $(1)$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ P,\ K,\ B$ και $C,\ T,\ L,\ A$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους, λόγω $BK = KA = AL = LC$. Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει $(A,P,...

Ας δούμε μία άλλη σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου $KP = LT$, εμπνευσμένη από την υπόδειξη του Θανάση για εφαρμογή του Θεωρήματος Newton . f 185_t 65125c.PNG Έστω $Q,\ N$, τα μέσα των διαγωνίων $AS,\ PT$ αντιστοίχως, του περιγεγραμμένου περί τον κύκλο $(M)$ τετραπλεύρου $APST$ και σ...

ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ και έστω $M$, το μέσον της $BC$. Γράφουμε τον κύκλο έστω $(K)$ ο οποίος εφάπτεται των $MA,\ MB$ στα σημεία $A,\ B$ αντιστοίχως και ας είναι $Q$, τυχόν σημείο της πλευράς $AC$. Οι εφαπτόμενες του κύκλου $(K)$ από το σημείο ...

ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB = AC$ και ας είναι $(K)$, ο κύκλος που εφάπτεται των πλευρών του $AB,\ AC$, στα σημεία $B,\ C$, αντιστοίχως. Από τυχόν σημείο έστω $Q$, στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$, φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου $(K)$ οι οποίες τέμ...

...Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα ! Θανάση, όντως, πρόσφατα πέρασα το κατώφλι της μεγάλης ηλικίας ( 70+ ), αλλά με παρηγορεί το ότι για τα επόμενα πέντε χρόνια θα ανήκω στους "μικρούς" από τους "μεγάλους" ( πρώτη πενταετία των 70 έως 85 ) και ελπίζω να μπορώ να συμμετέχω σε γεωμετ...

Άλλη μία εμπνευσμένη εφαρμογή του Θεωρήματος Κούτρα . :coolspeak: Στάθη, σ' ευχαριστώ από καρδιάς. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Βρήκα μία διέξοδο με ορθολογικά τρίγωνα, αλλά κόλλησα σε ένα Λήμμα. Αν καταφέρω να το αποδείξω, θα βάλω την απόδειξη της πρότασης για να φανεί η σπουδαιότητα του ως άνω θεωρήματος γι...

Για το (β) ζητούμενο. Κατασκευάζουμε το τρίγωνο $\vartriangle DST$ με $DS\parallel = AE$ και $DT\parallel = AB$ και έστω $K,\ L,\ M,\ N,\ P$, τα μέσα των $FS,\ CT,\ AD,\ BC,\ FE$, αντιστοίχως. f 178_t 64716.PNG Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή , προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία $M,\ P,\ N$...

Μίνο, σ' ευχαριστώ πολύ. Eύχομαι σε όλους σας καλή επιτυχία στην ΙΜΟ. ...Αποδεικνύεται $($ όχι δύσκολα και θα ακολουθήσει το σχετικό Λήμμα $)$ ότι ισχύει $MN\perp A'B'$. ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο $(O)$, έγκυκλο $(I)$ και ας είναι $X,\ Y$, τα σημεία τομής του $(O)$ από ...

Έστω το σημείο $K\equiv XY\cap IO$, όπου $I,\ O$ είναι το έγκεντρο και το περίκεντρο αντιστοίχως, του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. $\bullet$ Αποδεικνύεται $($ η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ως άσκηση στα αρμονικά συζυγή $)$ ότι ισχύει $(KA)^{2} = (KS)(KT)\ \ \ ,(1)$ και επομένως, έχουμ...

Έστω $N_{2},\ N_{5}$, τα μέσα των $M_{1}M_{3},\ M_{4}M_{6}$ αντιστοίχως και ας είναι $S$, το μέσον του $AD$. Στο τετράπλευρο $ABCD$, σύμφωνα με το Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο , έχουμε ότι τα σημεία $M_{2},\ N_{2},\ S$, είναι συνευθειακά και ισχύει $M_{2}N_{2} = N_{2}S$. Ομοίως, στο τετράπ...

Σας ευχαριστώ από καρδιάς για τις ευχές σας, αγαπητοί φίλοι.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και ευχές σ' όσους γιόρταζαν χθες.

Κώστας Βήττας.

Ουσιαστικά μιλάμε για άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Newton (b), στο μη κυρτό τετράπλευρο με παρεγγεγραμμένο κύκλο τον , σύμφωνα με το οποίο η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του , περνάει από το κέντρο του κύκλου .

Κώστας Βήττας.

...Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( E,S,C \right)$ και $\left( D,T,B \right)$ τα σημεία $Q\equiv ET\cap DS,W\equiv EB\cap CD,A\equiv SB\cap TC$ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα τρίγωνα $\vartriangle ELB,\vartriangle DNC$ είναι προοπτικά σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarq...

$\bullet$ Το τρίγωνο $\vartriangle HAF$ είναι ισοσκελές με $HA = HF$, από $\angle HFA = \angle HCB = \angle HAF$ και άρα, το σημείο $D$ ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος $AF$, λόγω $HD\perp AF$. Έστω $N$ το μέσον του $HF$ και έχουμε $\displaystyle DN // = \frac{AH}{2}\ \ \ (1)$ Από $(1)$ και $\dis...

Το $(a)$ ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές. Πράγματι, η ευθεία $KM$ περνάει από το μέσον $R$ του τμήματος $PQ$ $($ Ευθεία Gauss-Newton $)$ και άρα, το τετράπλευρο $PQNL$ είναι τραπέζιο με $LN\parallel PQ$. $\bullet$ Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το $ABCD$ είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και...

Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik . Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $A',\ B'\ C',$ τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB$ αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα σημεία $D\equiv BA'\cap B'C$ και $E\equiv CA'\cap C'B$ και...

Για την κατασκευή του κύκλου $(K)$ εναλλακτικά: Η προβολή του σημείου $D$ επί της $BK$ , ταυτίζεται με το έγκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ $($ γνωστό, οπότε η δια του $I$ κάθετη ευθεία επί την $BI$ μας δίνει το $D\in AC$ και η δια του $D$ κάθετη ευθεία επί την $BC$ μας δίνει το $K\i...

$\bullet$ Η δια του κέντρου $O$ του κύκλου $(O)$ παράλληλη και αντίρροπη ημιευθεία προς την ημιευθεία $LD$ , τέμνει τον $(O)$ στο σημείο έστω $E$ και έστω το σημείο $C\equiv (O)\cap DE$. Η ευθεία $OC$ τέμνει την $LD$ στο σημείο έστω $K$ , το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το κέντρο του ζητούμε...

Με αφορμή την πρόταση Εδώ . Επί δοσμένης ευθείας $(\varepsilon)$ δίνεται η σημειοσειρά $A,\ B,\ C$ και ας είναι $AB > BC$. Να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M$ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει $(MA)(MC) = (MB)^{2}$. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Αυτό το πρόβλημα έρχεται από το παρελθόν. Το είχα προσ...

george visvikis έγραψε:...Επειδή τώρα, το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

Εδώ νομίζω είναι όλα τα λεφτά.

Κώστας Βήττας.