Θερμά συγχαρητήρια στους δημιουργούς! Εύχομαι ολόψυχα η εκδοτική αυτή προσπάθεια να πετύχει τον στόχο της και να έχει συνέχεια.

Μακάρι να κεντρίσει το ενδιαφέρον για αντίστοιχη δραστηριότητα και άλλων ταλαντούχων Μαθηματικών, μελών του .

Κώστας Βήττας

Δεν υπάρχει συνημμένο ή εγώ δεν το βλέπω στον υπολογιστή μου;

Κώστας Βήττας.

Δείτε Εδώ μία παλιότερη συζήτηση για το ίδιο πρόβλημα ( υπολογισμός της ακτίνας και κατασκευή του του κύκλου ).

Κώστας Βήττας.

$\bullet$ Προσδιορίζουμε το σημείο $M$ της εκφώνησης, ως την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $EBLM$, όπου $L$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$ του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Tα $E,\ F$, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου $G$ κάθετη ευθ...

...Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί Λήμμα στο άρθρο " Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant" , Ion Patrascu. Η λύση που υπάρχει στο άρθρο στην ως άνω παραπομπή, είναι ίδια με αυτήν που έδωσα πιο πάνω. Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, δεν μειώνεται η ικανοποίηση του λύτη όταν σκαρφίζεται γνωστή (τελι...

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Πρόδρομου πιο πάνω. $\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv (O)\cap EL'$, όπου $(O)$ είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Με $E'\equiv (O)\cap AL$, από $EE'\parallel BC$ ( λόγω $\angle BAE = \angle CAE'$ ) και $ML = ML'\Rightarrow$ $AZ\parallel BC\ \ \ (1)$...

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle DE F$, τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και ας είναι $S$, η προβολή...

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $P$, η προβολή του $A$ επί της $EF$. Έστω τα τυχόντα σημεία $X\in AF$ και $Y\in AE$ ώστε να είναι $\angle XPY = 90^{o}$ και έστω $Q$, το σημείο τομής της $EF$ από τον περίκυκλο $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle P...

$\bullet$ Οι δια των σημείων $B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω $H$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap CH$ και $N\equiv AC\cap BH$. Το σημείο $H$ ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ALN$ ( προφανές ) και έστω τα σημεία $M\equiv LN\cap ...

Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο :logo: . $\bullet$ Έστω τα σημεία $P,\ Q$, τα σημεία επί της ευθείας $BC$ ώστε να είναι $AP\parallel DF$ και $AQ\parallel DE$ και ας είναι $Z$, το σημείο ώστε το $APZQ$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω τα σημεία $K\equ...

Στην πραγματικότητα έχουμε το σχήμα ενός τριγώνου με τον εγγεγραμμένο κύκλο του. $\bullet$ Έστω $E$, το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ στην ευθεία $A'B'$ και ας είναι $Z$, η προβολή του $E$ επί της ευθείας $KS$. Η ευθεία $EZ$ ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου $S$ ως προς τον κύκλο $(K)$ κα...

min## έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm

Βρε άνθρωποι,χαλαρά .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα)

Καλό!

Κώστας Βήττας.

Ας δούμε μία άλλη απόδειξη της γενίκευσης, βασισμένη στο αποτέλεσμα της καθετότητας για την περίπτωση του ορθόκεντρου $H$ του $\vartriangle ABC$ ( αρχικό πρόβλημα ). $\bullet$ Έστω $K\in AH$ τυχόν σημείο και $L\in AO$ το ισογώνιο σημείο του $K$ ως προς το $\vartriangle ABC$ και έστω τα σημεία $M\equ...

Αλλιώς, στο σχήμα του Στάθη. Ορίζουμε το σημείο $F$, ως το συμμετρικό του $E$ ως προς το $N$ και ας είναι $K$ το κοινό μέσον των $DC,\ BE$. Τότε, από $DZ\parallel KN\parallel BF$, στα ομοιόθετα τρίγωνα $\vartiangle BEF,\ \vartriangle DEZ$, η ευθεία $DM$ είναι διάμεσος στο $\vartriangle DEZ$, ως ομόλ...

Είναι και άμεση εφαρμογή ενός χρήσιμου Λήμματος που έχουμε δει αρκετές φορές στο :logo: . Πράγματι, εάν θεωρήσουμε το τραπέζιο $ACFE$ με $AE\parallel CF$ και το σημείο $B\in AC$, τότε το σημείο $D$, τομής των δια των σημείων $A,\ C$ παραλλήλων ευθειών προς τις $BF,\ BE$ αντιστοίχως, ανήκει στην $EF$...

Δίδω μόνο την απάντηση. Αν $O$ το περίκεντρο του τριγώνου $ABC$ και $B'$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την ευθεία $AO$ τότε το σταθερό σημείο , έστω $G$, είναι η τομή των ευθειών : $AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'C$. Με άλλα λόγια, το σταθερό σημείο από το οποίο περνάει η μεταβλητή ευθεία $ST$ ( τ...

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $N$ το μέσον της πλευράς του $AC$ και $D$, τυχόν σημείο επί της $BC$. Στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$ λαμβάνουμε σημείο $E$ ώστε να είναι $CE = BD$ και ας είναι $M$, το σημείο επί της $EN$ ώστε να είναι $DM\parallel BN$. Αποδείξτε ότι $EM = ...

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle D EF$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και έστω $P,\ Q$, οι προβολές του σημεί...

ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και έστω $D$, το μέσον του τόξου $\overset\frown {BC}$ που περιέχει το σημείο $A$. Η ευθεία $DH$ με $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου, τέμνει την διχοτόμο $AZ$ της γωνίας $\angle A$, με $Z\in (O)$, στο σημείο έστω $P$ και ας είναι $...

Χαρούμενες γιορτές και καλή χρονιά σε όλους. $\bullet$ Το σημείο $D$ ταυτίζεται με το μέσον του τόξου $\overset\frown{BC}$ που περιέχει το σημείο $A$ και ας είναι $Z$, το μέσον του τόξου, που δεν περιέχει το $A$. Η ευθεία $DH$ τέμνει την διχοτόμο $AZ$ της γωνίας $\angle A$, στο σημείο έστω $P$ και έ...