Γιώργο, σ' ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου και την αναφορά στο δυνατό αυτό θεώρημα που έρχεται από το παρελθόν και βασισμένες σ' αυτό, έχουν δοθεί ενίοτε στοιχειώδεις αποδείξεις σε δύσκολα προβλήματα. Αξίζει να πούμε ότι αυτό το θεώρημα ισχύει για κυρτό ή μη κυρτό αλλά και για στρεβλό τεράπλευρο. Σ...

Σας ευχαριστώ θερμά για τις ευχές σας.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και κάθε χαρά στις οικογένειές σας, με υγεία πάνω απ' όλα.

Ξεχωριστές ευχές στους ( αρκετούς ζωή να έχουμε ) συνονόματους.

Με εκτίμηση, Κώστας Βήττας.

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους. $\bullet$ Για να συντρέχουν οι ευθείες $EF,\ KL,\ BC$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ F,\ L,\ B$ και $A,\ E,\ K,\ C$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους. Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει $(A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)$ Παρατηρούμε ...

Από $OB = OC$ και επειδή οι προβολές του $O$ επί των $EZ,\ HP$, ταυτίζονται με τα μέσα αυτών των τμημάτων, προκύπτουν άμεσα οι ζητούμενες καθετότητες. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ζητώ συγνώμη, την πάτησα. Η ως άνω τεκμηρίωση είναι σωστή μόνο για την πρώτη καθετότητα $BZ\perp AN$. Θα το ξαναδώ αύριο λαμβάνοντ...

Νομίζω ότι ο έλεγχος του ότι δεν ισχύει, με την χρήση σχεδιαστικού προγράμματος υπολογιστή, θα πρέπει να θεωρείται έγκυρος. Είναι πιο διδακτικό το να διαπιστώνω με το λογισμικό ότι ένα αποτέλεσμα αληθεύει και να προσπαθώ να πετύχω την απόδειξή του, με οποιοδήποτε έστω τρόπο ( μία συνθετική απόδειξη ...

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$, τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\ CF$, αντιστοίχως και ας είναι $D'',\ E'',\ F''$, τα σ...

Ας δούμε μία εναλλακτική γραφή της απόδειξης του Πρόδρομου πιο πάνω. Χρησιμοποιώ το σχήμα του. Από $\angle DPQ = \angle DAE = \angle DYE$ έχουμε ότι το τετράπλευρο $DPZY$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω $(K')$. Προκύπτει έτσι, $BC\cap PZ\cap DY\equiv L$ ως το ριζικό κέντρο των κύκλων $(K),\ (O),\ (K')...

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις σας. Μου δώσατε μεγάλη χαρά και σας είμαι ευγνώμων γιατί περνάω το στάδιο της καραντίνας λόγω κορωνοϊού, με το πρόσθετο φορτίο της ανάρρωσης από ορθοπεδικό ατύχημα πριν τέσσερις εβδομάδες. Δύσκολη περίοδος για μαστορέματα ( εξορκισμός στην καραντίνα ), ότ...

Δίνεται κύκλος $(O)$ χορδής $BC$ και έστω $AD$ η διάμετρός του, μεσοκάθετη του $BC$ και ας είναι $AM>MD$, όπου $M\equiv BC\cap AD$. Έστω $E$, τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου $\overset\frown {AB}$ και $P\in AD$, τυχόν σημείο μεταξύ των $M,\ D$. Έστω $Q$, η προβολή του $P$ επί της $ED$ και $Z$, το σ...

Θερμά συγχαρητήρια στους δημιουργούς! Εύχομαι ολόψυχα η εκδοτική αυτή προσπάθεια να πετύχει τον στόχο της και να έχει συνέχεια.

Μακάρι να κεντρίσει το ενδιαφέρον για αντίστοιχη δραστηριότητα και άλλων ταλαντούχων Μαθηματικών, μελών του .

Κώστας Βήττας

Δεν υπάρχει συνημμένο ή εγώ δεν το βλέπω στον υπολογιστή μου;

Κώστας Βήττας.

Δείτε Εδώ μία παλιότερη συζήτηση για το ίδιο πρόβλημα ( υπολογισμός της ακτίνας και κατασκευή του του κύκλου ).

Κώστας Βήττας.

$\bullet$ Προσδιορίζουμε το σημείο $M$ της εκφώνησης, ως την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $EBLM$, όπου $L$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$ του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Tα $E,\ F$, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου $G$ κάθετη ευθ...

...Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί Λήμμα στο άρθρο " Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant" , Ion Patrascu. Η λύση που υπάρχει στο άρθρο στην ως άνω παραπομπή, είναι ίδια με αυτήν που έδωσα πιο πάνω. Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, δεν μειώνεται η ικανοποίηση του λύτη όταν σκαρφίζεται γνωστή (τελι...

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Πρόδρομου πιο πάνω. $\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv (O)\cap EL'$, όπου $(O)$ είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Με $E'\equiv (O)\cap AL$, από $EE'\parallel BC$ ( λόγω $\angle BAE = \angle CAE'$ ) και $ML = ML'\Rightarrow$ $AZ\parallel BC\ \ \ (1)$...

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle DE F$, τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και ας είναι $S$, η προβολή...

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $P$, η προβολή του $A$ επί της $EF$. Έστω τα τυχόντα σημεία $X\in AF$ και $Y\in AE$ ώστε να είναι $\angle XPY = 90^{o}$ και έστω $Q$, το σημείο τομής της $EF$ από τον περίκυκλο $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle P...

$\bullet$ Οι δια των σημείων $B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω $H$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap CH$ και $N\equiv AC\cap BH$. Το σημείο $H$ ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ALN$ ( προφανές ) και έστω τα σημεία $M\equiv LN\cap ...

Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο :logo: . $\bullet$ Έστω τα σημεία $P,\ Q$, τα σημεία επί της ευθείας $BC$ ώστε να είναι $AP\parallel DF$ και $AQ\parallel DE$ και ας είναι $Z$, το σημείο ώστε το $APZQ$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω τα σημεία $K\equ...

Στην πραγματικότητα έχουμε το σχήμα ενός τριγώνου με τον εγγεγραμμένο κύκλο του. $\bullet$ Έστω $E$, το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ στην ευθεία $A'B'$ και ας είναι $Z$, η προβολή του $E$ επί της ευθείας $KS$. Η ευθεία $EZ$ ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου $S$ ως προς τον κύκλο $(K)$ κα...