Η αναζήτηση βρήκε 1992 εγγραφές

από vittasko
Σάβ Μάιος 23, 2020 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1888

Re: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin

Γιώργο, σ' ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου και την αναφορά στο δυνατό αυτό θεώρημα που έρχεται από το παρελθόν και βασισμένες σ' αυτό, έχουν δοθεί ενίοτε στοιχειώδεις αποδείξεις σε δύσκολα προβλήματα. Αξίζει να πούμε ότι αυτό το θεώρημα ισχύει για κυρτό ή μη κυρτό αλλά και για στρεβλό τεράπλευρο. Σ...
από vittasko
Σάβ Μάιος 23, 2020 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου-Ελένης
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 552

Re: Κωνσταντίνου-Ελένης

Σας ευχαριστώ θερμά για τις ευχές σας.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και κάθε χαρά στις οικογένειές σας, με υγεία πάνω απ' όλα.

Ξεχωριστές ευχές στους ( αρκετούς ζωή να έχουμε ) συνονόματους.

Με εκτίμηση, Κώστας Βήττας.
από vittasko
Τετ Απρ 22, 2020 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παράλληλες και κάθετες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 878

Re: Παράλληλες και κάθετες

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους. $\bullet$ Για να συντρέχουν οι ευθείες $EF,\ KL,\ BC$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ F,\ L,\ B$ και $A,\ E,\ K,\ C$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους. Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει $(A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)$ Παρατηρούμε ...
από vittasko
Σάβ Απρ 04, 2020 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Καθέτων ...γεννητούρια!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Re: Καθέτων ...γεννητούρια!

Από $OB = OC$ και επειδή οι προβολές του $O$ επί των $EZ,\ HP$, ταυτίζονται με τα μέσα αυτών των τμημάτων, προκύπτουν άμεσα οι ζητούμενες καθετότητες. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ζητώ συγνώμη, την πάτησα. Η ως άνω τεκμηρίωση είναι σωστή μόνο για την πρώτη καθετότητα $BZ\perp AN$. Θα το ξαναδώ αύριο λαμβάνοντ...
από vittasko
Τετ Απρ 01, 2020 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 870

Re: Μη συνευθειακά

Νομίζω ότι ο έλεγχος του ότι δεν ισχύει, με την χρήση σχεδιαστικού προγράμματος υπολογιστή, θα πρέπει να θεωρείται έγκυρος. Είναι πιο διδακτικό το να διαπιστώνω με το λογισμικό ότι ένα αποτέλεσμα αληθεύει και να προσπαθώ να πετύχω την απόδειξή του, με οποιοδήποτε έστω τρόπο ( μία συνθετική απόδειξη ...
από vittasko
Δευ Μαρ 30, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 408

Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$, τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\ CF$, αντιστοίχως και ας είναι $D'',\ E'',\ F''$, τα σ...
από vittasko
Σάβ Μαρ 28, 2020 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 389

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Ας δούμε μία εναλλακτική γραφή της απόδειξης του Πρόδρομου πιο πάνω. Χρησιμοποιώ το σχήμα του. Από $\angle DPQ = \angle DAE = \angle DYE$ έχουμε ότι το τετράπλευρο $DPZY$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω $(K')$. Προκύπτει έτσι, $BC\cap PZ\cap DY\equiv L$ ως το ριζικό κέντρο των κύκλων $(K),\ (O),\ (K')...
από vittasko
Παρ Μαρ 27, 2020 6:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 389

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις σας. Μου δώσατε μεγάλη χαρά και σας είμαι ευγνώμων γιατί περνάω το στάδιο της καραντίνας λόγω κορωνοϊού, με το πρόσθετο φορτίο της ανάρρωσης από ορθοπεδικό ατύχημα πριν τέσσερις εβδομάδες. Δύσκολη περίοδος για μαστορέματα ( εξορκισμός στην καραντίνα ), ότ...
από vittasko
Παρ Μαρ 27, 2020 1:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 389

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Δίνεται κύκλος $(O)$ χορδής $BC$ και έστω $AD$ η διάμετρός του, μεσοκάθετη του $BC$ και ας είναι $AM>MD$, όπου $M\equiv BC\cap AD$. Έστω $E$, τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου $\overset\frown {AB}$ και $P\in AD$, τυχόν σημείο μεταξύ των $M,\ D$. Έστω $Q$, η προβολή του $P$ επί της $ED$ και $Z$, το σ...
από vittasko
Δευ Φεβ 17, 2020 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1485

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Θερμά συγχαρητήρια στους δημιουργούς! Εύχομαι ολόψυχα η εκδοτική αυτή προσπάθεια να πετύχει τον στόχο της και να έχει συνέχεια.

Μακάρι να κεντρίσει το ενδιαφέρον για αντίστοιχη δραστηριότητα και άλλων ταλαντούχων Μαθηματικών, μελών του :logo: .

Κώστας Βήττας
από vittasko
Τετ Φεβ 05, 2020 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα - Τύπος του Euler
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2462

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

Δεν υπάρχει συνημμένο ή εγώ δεν το βλέπω στον υπολογιστή μου;

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Κυρ Φεβ 02, 2020 11:45 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ο στριμωγμένος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 307

Re: Ο στριμωγμένος

Δείτε Εδώ μία παλιότερη συζήτηση για το ίδιο πρόβλημα ( υπολογισμός της ακτίνας r και κατασκευή του του κύκλου (L) ).

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Πέμ Ιαν 30, 2020 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 356

Re: Καθετότητα

$\bullet$ Προσδιορίζουμε το σημείο $M$ της εκφώνησης, ως την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $EBLM$, όπου $L$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$ του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Tα $E,\ F$, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου $G$ κάθετη ευθ...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισογώνιες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 255

Re: Ισογώνιες ευθείες

...Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί Λήμμα στο άρθρο " Asupra Problemei M.2482 din revista Kvant" , Ion Patrascu. Η λύση που υπάρχει στο άρθρο στην ως άνω παραπομπή, είναι ίδια με αυτήν που έδωσα πιο πάνω. Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, δεν μειώνεται η ικανοποίηση του λύτη όταν σκαρφίζεται γνωστή (τελι...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισογώνιες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 255

Re: Ισογώνιες ευθείες

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Πρόδρομου πιο πάνω. $\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv (O)\cap EL'$, όπου $(O)$ είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. Με $E'\equiv (O)\cap AL$, από $EE'\parallel BC$ ( λόγω $\angle BAE = \angle CAE'$ ) και $ML = ML'\Rightarrow$ $AZ\parallel BC\ \ \ (1)$...
από vittasko
Σάβ Ιαν 25, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 546

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD$ το ύψος του και ας είναι $E,\ F$, τυχόντα σημεία επί των πλευρών του $AC,\ AB$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\angle EDF = 90^{o}$. Ο περίκυκλος έστω $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle DE F$, τέμνει την $BC$ στο σημείο $Z$ και ας είναι $S$, η προβολή...
από vittasko
Παρ Ιαν 24, 2020 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 546

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AD,\ BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $P$, η προβολή του $A$ επί της $EF$. Έστω τα τυχόντα σημεία $X\in AF$ και $Y\in AE$ ώστε να είναι $\angle XPY = 90^{o}$ και έστω $Q$, το σημείο τομής της $EF$ από τον περίκυκλο $(K)$ του τριγώνου $\vartriangle P...
από vittasko
Παρ Ιαν 24, 2020 7:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 546

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

$\bullet$ Οι δια των σημείων $B,\ C$ κάθετες ευθείες επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω $H$ και έστω τα σημεία $L\equiv AB\cap CH$ και $N\equiv AC\cap BH$. Το σημείο $H$ ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ALN$ ( προφανές ) και έστω τα σημεία $M\equiv LN\cap ...
από vittasko
Πέμ Ιαν 23, 2020 2:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 562

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).

Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο :logo: . $\bullet$ Έστω τα σημεία $P,\ Q$, τα σημεία επί της ευθείας $BC$ ώστε να είναι $AP\parallel DF$ και $AQ\parallel DE$ και ας είναι $Z$, το σημείο ώστε το $APZQ$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω τα σημεία $K\equ...
από vittasko
Τετ Ιαν 22, 2020 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανορθόδοξη ορθότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 267

Re: Ανορθόδοξη ορθότητα

Στην πραγματικότητα έχουμε το σχήμα ενός τριγώνου με τον εγγεγραμμένο κύκλο του. $\bullet$ Έστω $E$, το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ στην ευθεία $A'B'$ και ας είναι $Z$, η προβολή του $E$ επί της ευθείας $KS$. Η ευθεία $EZ$ ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου $S$ ως προς τον κύκλο $(K)$ κα...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση