Η αναζήτηση βρήκε 1956 εγγραφές

από vittasko
Παρ Σεπ 13, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: Εξωτική ισότητα

Ας δούμε και άλλη μία σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου $KP = LT\ \ \ ,(1)$. $\bullet$ Για να ισχύει η $(1)$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ P,\ K,\ B$ και $C,\ T,\ L,\ A$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους, λόγω $BK = KA = AL = LC$. Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί ότι ισχύει $(A,P,...
από vittasko
Πέμ Σεπ 12, 2019 12:43 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: Εξωτική ισότητα

Ας δούμε μία άλλη σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου $KP = LT$, εμπνευσμένη από την υπόδειξη του Θανάση για εφαρμογή του Θεωρήματος Newton . f 185_t 65125c.PNG Έστω $Q,\ N$, τα μέσα των διαγωνίων $AS,\ PT$ αντιστοίχως, του περιγεγραμμένου περί τον κύκλο $(M)$ τετραπλεύρου $APST$ και σ...
από vittasko
Τετ Σεπ 11, 2019 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: Εξωτική ισότητα

ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ και έστω $M$, το μέσον της $BC$. Γράφουμε τον κύκλο έστω $(K)$ ο οποίος εφάπτεται των $MA,\ MB$ στα σημεία $A,\ B$ αντιστοίχως και ας είναι $Q$, τυχόν σημείο της πλευράς $AC$. Οι εφαπτόμενες του κύκλου $(K)$ από το σημείο ...
από vittasko
Τετ Σεπ 11, 2019 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: Εξωτική ισότητα

ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB = AC$ και ας είναι $(K)$, ο κύκλος που εφάπτεται των πλευρών του $AB,\ AC$, στα σημεία $B,\ C$, αντιστοίχως. Από τυχόν σημείο έστω $Q$, στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$, φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου $(K)$ οι οποίες τέμ...
από vittasko
Τετ Σεπ 11, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: Εξωτική ισότητα

...Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα ! Θανάση, όντως, πρόσφατα πέρασα το κατώφλι της μεγάλης ηλικίας ( 70+ ), αλλά με παρηγορεί το ότι για τα επόμενα πέντε χρόνια θα ανήκω στους "μικρούς" από τους "μεγάλους" ( πρώτη πενταετία των 70 έως 85 ) και ελπίζω να μπορώ να συμμετέχω σε γεωμετ...
από vittasko
Δευ Ιούλ 15, 2019 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 493

Re: Καθετότητα

Άλλη μία εμπνευσμένη εφαρμογή του Θεωρήματος Κούτρα . :coolspeak: Στάθη, σ' ευχαριστώ από καρδιάς. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Βρήκα μία διέξοδο με ορθολογικά τρίγωνα, αλλά κόλλησα σε ένα Λήμμα. Αν καταφέρω να το αποδείξω, θα βάλω την απόδειξη της πρότασης για να φανεί η σπουδαιότητα του ως άνω θεωρήματος γι...
από vittasko
Σάβ Ιουν 22, 2019 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία με μέσον
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 557

Re: Παραλληλία με μέσον

Για το (β) ζητούμενο. Κατασκευάζουμε το τρίγωνο $\vartriangle DST$ με $DS\parallel = AE$ και $DT\parallel = AB$ και έστω $K,\ L,\ M,\ N,\ P$, τα μέσα των $FS,\ CT,\ AD,\ BC,\ FE$, αντιστοίχως. f 178_t 64716.PNG Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή , προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία $M,\ P,\ N$...
από vittasko
Τρί Ιουν 11, 2019 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη συντρέχεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 610

Re: Περίεργη συντρέχεια

Μίνο, σ' ευχαριστώ πολύ. Eύχομαι σε όλους σας καλή επιτυχία στην ΙΜΟ. ...Αποδεικνύεται $($ όχι δύσκολα και θα ακολουθήσει το σχετικό Λήμμα $)$ ότι ισχύει $MN\perp A'B'$. ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με περίκυκλο $(O)$, έγκυκλο $(I)$ και ας είναι $X,\ Y$, τα σημεία τομής του $(O)$ από ...
από vittasko
Δευ Ιουν 10, 2019 1:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη συντρέχεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 610

Re: Περίεργη συντρέχεια

Έστω το σημείο $K\equiv XY\cap IO$, όπου $I,\ O$ είναι το έγκεντρο και το περίκεντρο αντιστοίχως, του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$. $\bullet$ Αποδεικνύεται $($ η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ως άσκηση στα αρμονικά συζυγή $)$ ότι ισχύει $(KA)^{2} = (KS)(KT)\ \ \ ,(1)$ και επομένως, έχουμ...
από vittasko
Σάβ Ιουν 08, 2019 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κοινό βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 320

Re: Κοινό βαρύκεντρο

Έστω $N_{2},\ N_{5}$, τα μέσα των $M_{1}M_{3},\ M_{4}M_{6}$ αντιστοίχως και ας είναι $S$, το μέσον του $AD$. Στο τετράπλευρο $ABCD$, σύμφωνα με το Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο , έχουμε ότι τα σημεία $M_{2},\ N_{2},\ S$, είναι συνευθειακά και ισχύει $M_{2}N_{2} = N_{2}S$. Ομοίως, στο τετράπ...
από vittasko
Πέμ Μάιος 23, 2019 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου - Ελένης
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 703

Re: Κωνσταντίνου - Ελένης

Σας ευχαριστώ από καρδιάς για τις ευχές σας, αγαπητοί φίλοι.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και ευχές σ' όσους γιόρταζαν χθες.

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Πέμ Μάιος 09, 2019 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 360

Re: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

Ουσιαστικά μιλάμε για άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Newton (b), στο μη κυρτό τετράπλευρο AEDB με παρεγγεγραμμένο κύκλο τον (I), σύμφωνα με το οποίο η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του AD,\ BE, περνάει από το κέντρο I του κύκλου (I).

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Κυρ Μάιος 05, 2019 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τομή στη βάση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 328

Re: Τομή στη βάση

...Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( E,S,C \right)$ και $\left( D,T,B \right)$ τα σημεία $Q\equiv ET\cap DS,W\equiv EB\cap CD,A\equiv SB\cap TC$ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα τρίγωνα $\vartriangle ELB,\vartriangle DNC$ είναι προοπτικά σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarq...
από vittasko
Τρί Απρ 23, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1063

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

$\bullet$ Το τρίγωνο $\vartriangle HAF$ είναι ισοσκελές με $HA = HF$, από $\angle HFA = \angle HCB = \angle HAF$ και άρα, το σημείο $D$ ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος $AF$, λόγω $HD\perp AF$. Έστω $N$ το μέσον του $HF$ και έχουμε $\displaystyle DN // = \frac{AH}{2}\ \ \ (1)$ Από $(1)$ και $\dis...
από vittasko
Δευ Απρ 22, 2019 11:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 341

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Το $(a)$ ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές. Πράγματι, η ευθεία $KM$ περνάει από το μέσον $R$ του τμήματος $PQ$ $($ Ευθεία Gauss-Newton $)$ και άρα, το τετράπλευρο $PQNL$ είναι τραπέζιο με $LN\parallel PQ$. $\bullet$ Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το $ABCD$ είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και...
από vittasko
Δευ Μαρ 18, 2019 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 914

Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik . Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $A',\ B'\ C',$ τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB$ αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα σημεία $D\equiv BA'\cap B'C$ και $E\equiv CA'\cap C'B$ και...
από vittasko
Δευ Μαρ 11, 2019 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρισεφαπτόμενος κύκλος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 527

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Για την κατασκευή του κύκλου $(K)$ εναλλακτικά: Η προβολή του σημείου $D$ επί της $BK$ , ταυτίζεται με το έγκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ $($ γνωστό, οπότε η δια του $I$ κάθετη ευθεία επί την $BI$ μας δίνει το $D\in AC$ και η δια του $D$ κάθετη ευθεία επί την $BC$ μας δίνει το $K\i...
από vittasko
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διασταύρωση σε κύκλο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 388

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

$\bullet$ Η δια του κέντρου $O$ του κύκλου $(O)$ παράλληλη και αντίρροπη ημιευθεία προς την ημιευθεία $LD$ , τέμνει τον $(O)$ στο σημείο έστω $E$ και έστω το σημείο $C\equiv (O)\cap DE$. Η ευθεία $OC$ τέμνει την $LD$ στο σημείο έστω $K$ , το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το κέντρο του ζητούμε...
από vittasko
Τετ Φεβ 20, 2019 9:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γεωμετρικός τόπος ίσων γινομένων αποστάσεων.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 491

Γεωμετρικός τόπος ίσων γινομένων αποστάσεων.

Με αφορμή την πρόταση Εδώ . Επί δοσμένης ευθείας $(\varepsilon)$ δίνεται η σημειοσειρά $A,\ B,\ C$ και ας είναι $AB > BC$. Να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M$ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει $(MA)(MC) = (MB)^{2}$. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Αυτό το πρόβλημα έρχεται από το παρελθόν. Το είχα προσ...
από vittasko
Κυρ Ιαν 20, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλά μέσα και καθετότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 502

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

george visvikis έγραψε:...Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN.
Εδώ νομίζω είναι όλα τα λεφτά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση