Η αναζήτηση βρήκε 2006 εγγραφές

από vittasko
Τετ Ιαν 20, 2021 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Επί του εγκύκλου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 126

Re: Επί του εγκύκλου

Στον δρόμο που χάραξε ο Νίκος πιο πάνω.

Από τα όμοια τρίγωνα \vartriangle DSB,\ \vartriangle PEC\Rightarrow \displaystyle \frac{BD}{CP} = \frac{BS}{CE}\Rightarrow \displaystyle CP = \frac{3\cdot 3}{2} = \frac{9}{2} και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Παρ Ιαν 15, 2021 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ομοιότητα τριγώνων στον κύκλο του Conway
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 82

Re: Ομοιότητα τριγώνων στον κύκλο του Conway

Νομίζω ότι η ομοιότητα των ως άνω τριγώνων είναι προφανής ( για τον συγκεκριμένο φάκελο ) και συγχωρήστε με αν χάνω κάτι.

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Δευ Ιαν 04, 2021 10:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 4 ορθές για μια καθετότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 342

Re: 4 ορθές για μια καθετότητα

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι ισχύει $AE\perp DF$. $\bullet$ Έστω $G$, το σημείο τομής της $CD$, από την δια του σημείου $F$ κάθετη ευθεία επί την $AC$ και έχουμε $\angle AFB = \angle AGD\ \ \ ,(1)$ λόγω συμμετρίας του σχήματος ως προς την ευθεία $AC$ ( προφανές ). Από $AF\perp BE$ ...
από vittasko
Πέμ Δεκ 31, 2020 3:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 111

Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους. Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα $A,\ D$, σημεία του κύκλου $(K)$. Έστω τα ...
από vittasko
Τετ Δεκ 30, 2020 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέμνονται επί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 214

Re: Τέμνονται επί

Αλλιώς, με βάση το Θεώρημα Desarques , που "φωνάζει". $\bullet$ Τα τρίγωνα $\vartriangle X_{1}X_{2}X_{3},\ \vartriangle Z_{1}Z_{2}Z_{3}$ είναι προοπτικά λόγω $X_{1}Z_{1}\parallel X_{2}Z_{2}\parallel X_{3}Z_{3}$. Συμπεραίνεται έτσι ότι τα σημεία $Y_{2}\equiv X_{1}X_{3}\cap Z_{1}Z_{3}$ και $S\equiv X_...
από vittasko
Τρί Δεκ 29, 2020 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέμνονται επί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 214

Re: Τέμνονται επί

Από $BK = KB'$ και $CK = KC'$ και $SK = KA$, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή και ισχύει$A'B'\parallel BC\parallel MN$ και $AB' = AC'$ λόγω $SB = SC$. Στο τραπέζιο $B'C'MN$ τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του αν...
από vittasko
Τρί Δεκ 29, 2020 10:33 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέμνονται επί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 214

Re: Τέμνονται επί

Από $BK = KB'$ και $CK = KC'$ και $SK = KA$, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή και ισχύει$A'B'\parallel BC\parallel MN$ και $AB' = AC'$ λόγω $SB = SC$. Στο τραπέζιο $B'C'MN$ τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανή...
από vittasko
Σάβ Δεκ 26, 2020 4:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διέρχεται από το έγκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 216

Re: Διέρχεται από το έγκεντρο

$\bullet$ Έστω $Z$, το αντιδιαμετρικό σημείο του $D$ και έχουμε ότι τα σημεία $A,\ Z,\ M$ είναι συνευθειακά, όπου $M$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$. Ορίζουμε το σημείο $F$ της εκφώνησης, ως το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $(I)$ στα σημεία $E,\ Z$ και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδ...
από vittasko
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 358

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Μη σας ξεγελάει το σχήμα του Ανδρέα πιο πάνω. Το σημείο τομής των ευθειών EF,\ GH δεν ταυτίζεται απαραίτητα με το σημείο τομής των διαγωνίων του δοσμένου τετραπλεύρου ABCD με τις συνθήκες της εκφώνησης. ;)

Κώστας Βήττας.
από vittasko
Δευ Δεκ 21, 2020 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Προσδιορισμός σημείου 5.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 511

Re: Προσδιορισμός σημείου 5.

Στάθη σ' ευχαριστώ για την ( των "Βρυξελλών" ) λύση σου με διαφορετική προσέγγιση. :coolspeak: Ας δούμε και την λύση των "Αθηνών". $\bullet$ Έστω ότι έχει βρεθεί το ζητούμενο σημείο $P\in AB$ και ισχύει $DS = CT$ όπως ορίζεται στην εκφώνηση. Έστω το σημείο $X\equiv AB\cap KL\cap DC$ και στο τρίγωνο ...
από vittasko
Κυρ Δεκ 20, 2020 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 404

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Παράλειψη το ότι δεν επισημάνθηκε από τον θεματοδότη η αλλαγή της εκφώνησης σε άλλο πρόβλημα, αλλά η διόρθωση-μετατροπή δεν έγινε σήμερα όπως φαίνεται από την σημείωση στο κάτω μέρος της 1ης ανάρτησης ( Κυρ Δεκ 20, 2020 11:54 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά ), αλλά χθες λίγο μετά την παρατήρη...
από vittasko
Κυρ Δεκ 20, 2020 11:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προσδιορισμός σημείων 6.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 333

Προσδιορισμός σημείων 6.

Εμπνευσμένο από το πρόβλημα Μεγάλες κατασκευές 41.

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και ζητείται να προσδιοριστούν τα σημεία έστω S,\ T, επί των πλευρών του AB,\ AC αντιστοίχως, ώστε να είναι AS + CT = 2ST.
f 178_t 68584.PNG
Προσδιορισμός σημείων 6.
f 178_t 68584.PNG (11.05 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Επιτρέπεται απάντηση χωρίς διερεύνηση.
από vittasko
Τετ Δεκ 16, 2020 9:57 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Προσδιορισμός σημείου 5.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 511

Re: Προσδιορισμός σημείου 5.

Καλημέρα Στάθη και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου. Εάν εννοείς την λύση σου ως συμβατή με το γνωστικό υπόβαθρο της Β' Λυκείου, το ίδιο ισχύει και για την προσέγγιση που έχω κατά νου. Δεν ξέρω όμως αν είναι προσιτή στους σημερινούς μαθητές της Β΄Λυκείου, εκτός εάν εννοείς αυτούς που ορμητικά μας ...
από vittasko
Δευ Δεκ 14, 2020 11:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Προσδιορισμός σημείου 5.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 511

Προσδιορισμός σημείου 5.

Καλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό και σε συνθήκες του εγκλεισμού. Εύχομαι ότι καλύτερο στις οικογένειές σας. Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα $A,\ D$ σημεία έστω του κύκλου $(K)$. Έστω $P$, μεταβλητό σ...
από vittasko
Σάβ Μάιος 23, 2020 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 2618

Re: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin

Γιώργο, σ' ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου και την αναφορά στο δυνατό αυτό θεώρημα που έρχεται από το παρελθόν και βασισμένες σ' αυτό, έχουν δοθεί ενίοτε στοιχειώδεις αποδείξεις σε δύσκολα προβλήματα. Αξίζει να πούμε ότι αυτό το θεώρημα ισχύει για κυρτό ή μη κυρτό αλλά και για στρεβλό τεράπλευρο. Σ...
από vittasko
Σάβ Μάιος 23, 2020 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου-Ελένης
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1230

Re: Κωνσταντίνου-Ελένης

Σας ευχαριστώ θερμά για τις ευχές σας.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και κάθε χαρά στις οικογένειές σας, με υγεία πάνω απ' όλα.

Ξεχωριστές ευχές στους ( αρκετούς ζωή να έχουμε ) συνονόματους.

Με εκτίμηση, Κώστας Βήττας.
από vittasko
Τετ Απρ 22, 2020 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παράλληλες και κάθετες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1038

Re: Παράλληλες και κάθετες

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους. $\bullet$ Για να συντρέχουν οι ευθείες $EF,\ KL,\ BC$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ F,\ L,\ B$ και $A,\ E,\ K,\ C$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους. Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει $(A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)$ Παρατηρούμε ...
από vittasko
Σάβ Απρ 04, 2020 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Καθέτων ...γεννητούρια!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 667

Re: Καθέτων ...γεννητούρια!

Από $OB = OC$ και επειδή οι προβολές του $O$ επί των $EZ,\ HP$, ταυτίζονται με τα μέσα αυτών των τμημάτων, προκύπτουν άμεσα οι ζητούμενες καθετότητες. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ζητώ συγνώμη, την πάτησα. Η ως άνω τεκμηρίωση είναι σωστή μόνο για την πρώτη καθετότητα $BZ\perp AN$. Θα το ξαναδώ αύριο λαμβάνοντ...
από vittasko
Τετ Απρ 01, 2020 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1263

Re: Μη συνευθειακά

Νομίζω ότι ο έλεγχος του ότι δεν ισχύει, με την χρήση σχεδιαστικού προγράμματος υπολογιστή, θα πρέπει να θεωρείται έγκυρος. Είναι πιο διδακτικό το να διαπιστώνω με το λογισμικό ότι ένα αποτέλεσμα αληθεύει και να προσπαθώ να πετύχω την απόδειξή του, με οποιοδήποτε έστω τρόπο ( μία συνθετική απόδειξη ...
από vittasko
Δευ Μαρ 30, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 906

Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$, τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\ CF$, αντιστοίχως και ας είναι $D'',\ E'',\ F''$, τα σ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση