Στον δρόμο που χάραξε ο Νίκος πιο πάνω.

Από τα όμοια τρίγωνα και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Νομίζω ότι η ομοιότητα των ως άνω τριγώνων είναι προφανής ( για τον συγκεκριμένο φάκελο ) και συγχωρήστε με αν χάνω κάτι.

Κώστας Βήττας.

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι ισχύει $AE\perp DF$. $\bullet$ Έστω $G$, το σημείο τομής της $CD$, από την δια του σημείου $F$ κάθετη ευθεία επί την $AC$ και έχουμε $\angle AFB = \angle AGD\ \ \ ,(1)$ λόγω συμμετρίας του σχήματος ως προς την ευθεία $AC$ ( προφανές ). Από $AF\perp BE$ ...

Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους. Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα $A,\ D$, σημεία του κύκλου $(K)$. Έστω τα ...

Αλλιώς, με βάση το Θεώρημα Desarques , που "φωνάζει". $\bullet$ Τα τρίγωνα $\vartriangle X_{1}X_{2}X_{3},\ \vartriangle Z_{1}Z_{2}Z_{3}$ είναι προοπτικά λόγω $X_{1}Z_{1}\parallel X_{2}Z_{2}\parallel X_{3}Z_{3}$. Συμπεραίνεται έτσι ότι τα σημεία $Y_{2}\equiv X_{1}X_{3}\cap Z_{1}Z_{3}$ και $S\equiv X_...

Από $BK = KB'$ και $CK = KC'$ και $SK = KA$, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή και ισχύει$A'B'\parallel BC\parallel MN$ και $AB' = AC'$ λόγω $SB = SC$. Στο τραπέζιο $B'C'MN$ τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του αν...

Από $BK = KB'$ και $CK = KC'$ και $SK = KA$, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή και ισχύει$A'B'\parallel BC\parallel MN$ και $AB' = AC'$ λόγω $SB = SC$. Στο τραπέζιο $B'C'MN$ τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανή...

$\bullet$ Έστω $Z$, το αντιδιαμετρικό σημείο του $D$ και έχουμε ότι τα σημεία $A,\ Z,\ M$ είναι συνευθειακά, όπου $M$ είναι το μέσον της πλευράς $BC$. Ορίζουμε το σημείο $F$ της εκφώνησης, ως το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $(I)$ στα σημεία $E,\ Z$ και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδ...

Μη σας ξεγελάει το σχήμα του Ανδρέα πιο πάνω. Το σημείο τομής των ευθειών δεν ταυτίζεται απαραίτητα με το σημείο τομής των διαγωνίων του δοσμένου τετραπλεύρου με τις συνθήκες της εκφώνησης.

Κώστας Βήττας.

Στάθη σ' ευχαριστώ για την ( των "Βρυξελλών" ) λύση σου με διαφορετική προσέγγιση. :coolspeak: Ας δούμε και την λύση των "Αθηνών". $\bullet$ Έστω ότι έχει βρεθεί το ζητούμενο σημείο $P\in AB$ και ισχύει $DS = CT$ όπως ορίζεται στην εκφώνηση. Έστω το σημείο $X\equiv AB\cap KL\cap DC$ και στο τρίγωνο ...

Παράλειψη το ότι δεν επισημάνθηκε από τον θεματοδότη η αλλαγή της εκφώνησης σε άλλο πρόβλημα, αλλά η διόρθωση-μετατροπή δεν έγινε σήμερα όπως φαίνεται από την σημείωση στο κάτω μέρος της 1ης ανάρτησης ( Κυρ Δεκ 20, 2020 11:54 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά ), αλλά χθες λίγο μετά την παρατήρη...

Εμπνευσμένο από το πρόβλημα Μεγάλες κατασκευές 41.

Δίνεται τρίγωνο και ζητείται να προσδιοριστούν τα σημεία έστω , επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Επιτρέπεται απάντηση χωρίς διερεύνηση.

Καλημέρα Στάθη και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου. Εάν εννοείς την λύση σου ως συμβατή με το γνωστικό υπόβαθρο της Β' Λυκείου, το ίδιο ισχύει και για την προσέγγιση που έχω κατά νου. Δεν ξέρω όμως αν είναι προσιτή στους σημερινούς μαθητές της Β΄Λυκείου, εκτός εάν εννοείς αυτούς που ορμητικά μας ...

Καλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό και σε συνθήκες του εγκλεισμού. Εύχομαι ότι καλύτερο στις οικογένειές σας. Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα $A,\ D$ σημεία έστω του κύκλου $(K)$. Έστω $P$, μεταβλητό σ...

Γιώργο, σ' ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου και την αναφορά στο δυνατό αυτό θεώρημα που έρχεται από το παρελθόν και βασισμένες σ' αυτό, έχουν δοθεί ενίοτε στοιχειώδεις αποδείξεις σε δύσκολα προβλήματα. Αξίζει να πούμε ότι αυτό το θεώρημα ισχύει για κυρτό ή μη κυρτό αλλά και για στρεβλό τεράπλευρο. Σ...

Σας ευχαριστώ θερμά για τις ευχές σας.

Να είστε όλοι καλά με τους ανθρώπους σας και κάθε χαρά στις οικογένειές σας, με υγεία πάνω απ' όλα.

Ξεχωριστές ευχές στους ( αρκετούς ζωή να έχουμε ) συνονόματους.

Με εκτίμηση, Κώστας Βήττας.

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους. $\bullet$ Για να συντρέχουν οι ευθείες $EF,\ KL,\ BC$, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ F,\ L,\ B$ και $A,\ E,\ K,\ C$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους. Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει $(A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)$ Παρατηρούμε ...

Από $OB = OC$ και επειδή οι προβολές του $O$ επί των $EZ,\ HP$, ταυτίζονται με τα μέσα αυτών των τμημάτων, προκύπτουν άμεσα οι ζητούμενες καθετότητες. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ζητώ συγνώμη, την πάτησα. Η ως άνω τεκμηρίωση είναι σωστή μόνο για την πρώτη καθετότητα $BZ\perp AN$. Θα το ξαναδώ αύριο λαμβάνοντ...

Νομίζω ότι ο έλεγχος του ότι δεν ισχύει, με την χρήση σχεδιαστικού προγράμματος υπολογιστή, θα πρέπει να θεωρείται έγκυρος. Είναι πιο διδακτικό το να διαπιστώνω με το λογισμικό ότι ένα αποτέλεσμα αληθεύει και να προσπαθώ να πετύχω την απόδειξή του, με οποιοδήποτε έστω τρόπο ( μία συνθετική απόδειξη ...

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$, τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\ CF$, αντιστοίχως και ας είναι $D'',\ E'',\ F''$, τα σ...