Τι λέτε για αυτό; Ενδέχεται να μην εμπίπτει της σχολικής ύλης αλλά λόγω ημέρας μπορούμε να κάνουμε και καμιά παρασπονδία... :lol: Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{\int_{-x}^{x} \frac{1}{t^2 +1} dt} }$. Η συνάρτηση $\displaystyle{\tan x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{...

Έστω $\displaystyle{A=\sqrt[3]{13+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{13-\sqrt{x}}}$ Αποδεικνύεται εύκολα ότι για κάθε $\displaystyle{a,b \geq 0}$ ισχύει $\displaystyle{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\geq \sqrt[3]{a+b}}$. Άρα: $\displaystyle{A \geq \sqrt[3]{13+\sqrt{x}+13-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{26}>2}$ Ακόμα η συνάρτηση $\displ...

Λόγω περιορισμών είναι $\displaystyle{a>0}$. Αν $\displaystyle{a \in (0,e^{1/e})}$, τότε είναι $\displaystyle{a<e^{1/e}\Rightarrow a^e<e}$ οπότε δεν ισχύει το ζητούμενο για $\displaystyle{x=e}$. Για $\displaystyle{a=e^{1/e}}$ θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^{x/e}-x}$ ορισμένη στο $\displ...

Αποσύρω λόγω λάθους!

Πολλαπλασιάζουμε με $\displaystyle{\frac{\ln^2 x}{x^4}}$ οπότε η διαφορική γίνεται: $\displaystyle{\frac{\ln^3 x}{x^2}f'(x)+\frac{(3x-2x\ln x)\ln^2 x}{x^4}f(x)=0}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\left( \frac{\ln^3 x}{x^2}\right)'=\frac{3x\ln^2 x-2x\ln^3 x}{x^4}=\frac{(3x-2x\ln x)\ln^2 x}{x^4}}$, άρα...

ΑΣΚΗΣΗ 33 Να βρεθούν οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{[\sqrt{n}]+[\frac{n-2}{3}]+1=n.}$ Εύκολα βλέπουμε ότι $\displaystyle{LHS \in \mathbb{Z}\Rightarrow n \in \mathbb{Z}}$ και αφού από τους περιορισμούς $\displaystyle{n\geq 0}$, τελικά $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$. Από τον ορισ...

Διαφορετικά, ελπίζω χωρίς λάθος. Λόγω της ιδιότητας (b) ισχύει η συνεπαγωγή: $\displaystyle{x\notin M \Rightarrow \left[ \frac{x}{4}\right]\notin M}$, αφού αν $\displaystyle{\left[ \frac{x}{4}\right]\in M}$, από (b) $\displaystyle{x\in M}$, που είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης. 1) Έστω $\displaystyle{2...

84. Αν $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους $a+b+c=0$ και $a\geq 1$, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $a^4+b^4+c^4-3abc.$ Μία προσπάθεια με αρκετές πράξεις: Είναι $\displaystyle{c=-(a+b)}$, οπότε αντικαθιστώντας: $\displaystyle{a^4+b^4+c^4-3abc=a^4+b^4+(a+b)^4+3ab(a+b)}$ Θεωρούμε ...

81. Να δείξετε ότι η εξίσωση $4x^3-3x+1=2y^2$ έχει τουλάχιστον $31$ θετικές ακέραιες λύσεις με $x\leq 2005$. Εύκολα βλέπουμε ότι αν $\displaystyle{x}$ άρτιος, η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις, αφού το ένα μέλος είναι άρτιο ενώ το άλλο περιττό. Συνεπώς $\displaystyle{x}$ περιττός, έστω $\displayst...

Για κάθε $\displaystyle{k \in \mathbb{N}}$ ισχύει: $\displaystyle{\sqrt{16k^2+8k+3}=\sqrt{16k^2+8k+1+2}=\sqrt{(4k+1)^2+2}>\sqrt{(4k+1)^2}=4k+1}$ Άρα: $\displaystyle{X>\sqrt{k^2+\sqrt{4k^2+4k+1}}=\sqrt{k^2+\sqrt{(2k+1)^2}}=\sqrt{k^2+2k+1}=k+1}$ Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{k+2>X}$: $\displaystyl...

Ισχύει $\displaystyle{f'(x)=2x}$ και $\displaystyle{g'(x)=\frac{1}{x^2}}$. Για τα σημεία που υπάρχουν στο σχήμα, έστω ότι ισχύει $\displaystyle{A(a,a^2)}$ και $\displaystyle{B(b,-\frac{1}{b}))}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}^{*}$. Η εφαπτομένη της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{A}$ έχε...

Με βάση ένα ποστ του κ. Δημήτρη λίγο πιο πάνω αναπάντητη έχει μείνει η άσκηση 13 . 13. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(a,b)$ τέτοια ώστε ο αριθμός $\displaystyle {\frac{a^3+1}{2ab^2+1}}$ να είναι ακέραιος. Θέλουμε να υπάρχει $\displaystyle{k\in \mathbb{N}^*}$, ώστε να ισχύει: $\displaystyl...

67. Αν $\tau(n)$ το πλήθος και $\sigma(n)$ το άθροισμα των διαιρετών του θετικού ακεραίου $n,$ να δείξετε ότι $\displaystyle \sqrt{n}\leq \frac{\sigma(n)}{\tau(n)}\leq \frac{n+1}{2}.$ Πότε ισχύει καθεμιά ισότητα; Μία προσπάθεια: Αρχίζουμε με την αριστερή Για $\displaystyle{\tau (n)=1}$, πρέπει $\di...

Να συγκριθούν οι αριθμοί $\sqrt[\alpha +1]{a}$ και $\sqrt[\alpha ]{\alpha +1}$ όταν $\alpha \geq 2$ με τον $\alpha$ φυσικό Προφανώς ισχύει $\displaystyle{a+1>a}$ $\displaystyle{\frac{(a+1)^{a+1}}{a^a}>\frac{a^{a+1}}{a^a}=a>1\Rightarrow (a+1)^{a+1}>a^a\Rightarrow \sqrt[a]{a+1}>\sqrt[a+1]{a}}$ Διαφορ...

Άλλη μία προσπάθεια: Αρχικά για κάθε $\displaystyle{x\in [e,+\infty)}$ ισχύει $\displaystyle{\frac{x+1}{x}>\frac{\ln(x+1)}{\ln x}$ Αφαίρεσα την απόδειξη γιατί υπήρχε λάθος βήμα. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω για $\displaystyle{x=8}$ παίρνουμε: $\displaystyle{\frac{9}{8}>\frac{\ln 9}{\ln 8}\Rightarrow...

Για κάθε $\displaystyle{a \in \mathbb{R}_{+}}$ ισχύει: $\displaystyle{(a-1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2}$. Αφού $\displaystyle{2^x>0 \; \forall \; x \in \mathbb{R}}$ Ισχύει $\displaystyle{2^x+2^{-x}=2^x+(2^x)^{-1}=2^x+\frac{1}{2^x}\geq 2 \;\; (1)}$. Άρα $\displayst...

Συγχαρητήρια και από εμένα στον Κυριάκο Αξιώτη για αυτή τη μεγάλη επιτυχία. Συγχαρητήρια και στα υπόλοιπα παιδιά που συμμετείχαν. Εύχομαι καλή συνέχεια και με πολλές επιτυχίες.

1) $\displaystyle{x^4+2x^3+x^2-(4x^2+4x+1)=0\Rightarrow x^2(x+1)^2-(2x+1)^2=0\Rightarrow (x^2+x+2x+1)(x^2+x-2x-1)=0\Rightarrow}$ $\displaystyle{\Rightarrow (x^2+3x+1)(x^2-x-1)=0\Rightarrow x^2+3x+1=0 \; \vee \; x^2-x-1=0}$ Με διακρίνουσα βρίσκουμε ότι έχει λύσεις $\displaystyle{x=\frac{-3\pm \sqrt{5...

Ισχύει: $\displaystyle{a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)=(b-c)a^4+b^4c-b^4a+c^4a-bc^4=(b-c)a^4+(c^4-b^4)a+b^4c-bc^4}$ $\displaystyle{=(b-c)a^4+(c^4-b^4)a+b^4c-bc^4=(b-c)a^4-(b^2-c^2)(b^2+c^2)a+bc(b^3-c^3)=}$ $\displaystyle{=(b-c)a^4-(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3)a+bc(b-c)(b^2+bc+c^2)=(b-c)[a^4-(b^3+b^2c+bc^2+c^3...

Μία λίγο διαφορετική (ελπίζω σωστή) αντιμετώπιση: Χρησιμοποιώντας τη δοθείσα σχέση έχουμε: $\displaystyle{RHS=\sum{\frac{2a+b+c}{b+c}=2\sum{\frac{2a}{b+c}}+3}}$ Άρα αρκεί: $\displaystyle{2\sum{(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})}\geq 3 \Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(a+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\ge...