Πολύ ωραία.
Και όμως η εκφώνηση γράφει για καθε χεR.

Αν και να δείξετε ότι κυρτή.

Αν f (x) f (y )=f (x+y) για κάθε x,yεR ,f (1)=e,f παραγωγίσιμη στο R ,και f (x) διάφορο του μηδενός
για κάθε χεR να βρείτε την f.

Το προβλημα μου ήταν στην ευρεση του c όταν φθάσεις στο σημείο f(x)=c(x-1) xε[0,1)
Θάνο την σχέση (1) για να την χρησιμοποιήσεις δεν πρέπει η f που βγάλαμε να ορίζεται στο1.

Έστω η συνάρτηση f:[0,1]-->R.Αν f ΄(χ)f (1-x)=-x για κάθε χ στο[0,1] και f (1)=0 ,να βρείτε την f.

Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν με την συγκεκριμένη άσκηση .
Η λύση μου είναι ίδια με του Μίλτου(έχοντας υπόψιν και την
άσκηση των πανελληνιών που αναφέρθηκε).Με προβλημάτισε όμως
η απάντηση του συγγραφέα η οποία σημειωτέον προκύπτει
για Δ>=0.

Έστω ε:χ+ψ+λ^2-λ+1=0 (1), λεR, η εξίσωση μιας οικογένειας ευθειών.
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ,από τα οποία διέρχεται μια
μόνο ευθεία,που ορίζεται από την(1)

Η απάντηση λέει οτι είναι ημιεπίπεδο με ακμή την ευθεία 4ψ=-4χ-3 αλλά κάτι
δεν μου πάει καλά..

Για την ερώτηση 13 του σχολικού στην σελίδα 355 υπάρχει
απόδειξη εκτός απο αυτήν με άτοπο.Σαν την είχε πάρει κάπου
το μάτι μου αλλά δεν μπορώ να την βρώ.

Απο την αρχη σκεφτηκα μηπως δουλευει να δ.ο m=M =0 οπου m το ελαχιστο και Μ το μέγιστο της f στο [α,β].Μου
το χάλαγε όμως η f΄΄(Χ).Νομίζω με το κριτήριο της f''(x) και με την εις ατοπον καθαρίζεις.Αν δεν κανω λάθος
τα ακρότατα είναι τα f(α),f(β).

Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f,που είναι συνεχής στο [0,1],
παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει ότι f΄(x)<=f(1)-f(0) για κάθε
χε(0,1).

Δίνεται η συνάρτηση f : [0,1]-> [0,+o0 ) με f(0)=0,που είναι παραγωγίσιμη και
δεν είναι η σταθερή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι :
Α)Υπάρχει ξε(0,1) ώστε (1-ξ) f ΄(ξ)=f(ξ).
Β) Yπάρχουν α,β με 0<α<β<1,ώστε Re(z1z2)<0 me z1=β+i,z2=f΄(α)+if΄(β).
Με έχει δυσκολέψει το β.Συγνώμη για τη γραφή.