Η αναζήτηση βρήκε 4201 εγγραφές

από Γιώργος Ρίζος
Σάβ Δεκ 05, 2020 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριπλή ισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 75

Re: Τριπλή ισότητα

Για το 1ο ερώτημα: Τριπλή ισότητα.png Έστω $A(0,0), D(0,a), B(\lambda a, 0), C(\lambda a, a), a, \lambda > 0$. Έστω $S(t, 0), 0<t< \lambda a$. $ \displaystyle SB = \lambda a - t\; = \;DT \Rightarrow T\left( {\lambda a - t,\;a} \right)$ Οπότε $ \displaystyle ST = DT \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {...
από Γιώργος Ρίζος
Σάβ Δεκ 05, 2020 8:55 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ακρότατα για τολμηρούς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 90

Re: Ακρότατα για τολμηρούς

Καλημέρα σε όλους. Ξεκινώ με το 2ο ερώτημα . 05-12-2020 Γεωμετρία.png Φέρνουμε $ \displaystyle QK//PT$ , οπότε $QK = 3$. Έστω $ \displaystyle \widehat {KPQ} = \varphi $ . Είναι $ \displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{3}{4},\;\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \...
από Γιώργος Ρίζος
Πέμ Δεκ 03, 2020 11:03 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Το πολυπόθητο 100
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Re: Το πολυπόθητο 100

Σίγουρα η λύση μου δεν ενδείκνυται για Α' Γυμνασίου. Καλησπέρα σε όλους. Θα προσπαθήσω με στοιχειώδη εργαλεία. Αν απαντήσουμε σε όλες σωστά θα πάρουμε $40 \cdot 9 = 360$. Κάθε λάθος μάς κατεβάζει το βαθμό μας κατά $16$ βαθμούς, αφού δεν παίρνουμε τους $9$ βαθμούς και επιπλέον χάνουμε άλλους $7$ βαθ...
από Γιώργος Ρίζος
Δευ Νοέμ 30, 2020 7:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 236

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες!

Στους φίλους Ανδρέα Βαρβεράκη, Ανδρέα Παντερή και Ανδρέα Πούλο εύχομαι ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ, με υγεία, πάντα ευτυχισμένα και δημιουργικά και σύντομα να ανταμωθούμε ξανά!
από Γιώργος Ρίζος
Δευ Νοέμ 30, 2020 1:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Το πείραγμα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 156

Re: Το πείραγμα

Καλημέρα σε όλους. Μάλλον κάτι δεν κατάλαβα καλά. Θέλουμε όλες αυτές οι συνθήκες να ισχύουν; Δηλαδή θέλουμε να είναι $\widehat{B}=2\widehat{C}, \widehat{A}=3\widehat{C}/2$, οπότε $\widehat{C}=\frac{\pi}{9}, \;\; \widehat{B}=\frac{4\pi}{9} \;\;, \widehat{A}=\frac{\pi}{3}$. Επίσης, $b=\frac{3c}{2}$. Ι...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγιστοποίηση και ισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 217

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώντας τον Μανώλη για την άμεση ανταπόκριση, δίνω μια κάπως διαφορετική προσέγγιση: 29-11-2020 Γεωμετρία.png Είναι $BP^2= TP^2+BT^2$. Είναι $TP = 2AD$ (γιατί;), άρα $BP^2= 4AD^2+BD^2= 4BD \cdot DC+BD^2 =BD \cdot (4BC - 3BD)$. Επειδή το άθροισμα $ \displaystyle 3BD + \left(...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 29, 2020 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πλεονεξία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 163

Re: Πλεονεξία

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες. Για λόγους πληρότητας δίνω την προσέγγιση που έχω υπόψιν. Θα χαρώ να δω κι άλλες. Από όλα ισοπεριμετρικά τρίγωνα, το ισόπλευρο έχει μέγιστο εμβαδόν. Απόδειξη: Έστω τρίγωνο $ABC$ με μεταβλητές πλευρές $a, b, c$, ώστε $a+b+c= k$, σταθερό. $ \disp...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πλεονεξία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 163

Re: Πλεονεξία

Καλησπέρα σε όλους. Μια διαφορετική προσέγγιση στο όμορφο θέμα μεγιστοποίησης. 29-11-2020 Γεωμετρία b.jpg Φέρνω τη διάμεσο $BM$. Τότε $AB + BM + MA = 9$, σταθερό. Το τρίγωνο $AMB$ με μεταβλητές πλευρές έχει σταθερή περίμετρο, άρα έχει μέγιστο εμβαδόν όταν γίνει ισόπλευρο.(*) Αυτό συμβαίνει όταν $AB ...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 66
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 112

Re: Ώρα εφαπτομένης 66

Αφού αναρτήσετε την λύση σας , σε λίγο θα εμφανιστεί κι άλλη ! 29-11-2020 Γεωμετρία.jpg Από γνωστή άσκηση σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (αποδ. 4, σελ. 54) τα τρίγωνα $DKA, DSC$ είναι ίσα, οπότε $KB = a$, άρα, από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο $KSB$ είναι $\displaystyle KS=\frac{3a}{5}$. Έτσι, $\d...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 29, 2020 9:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 66
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 112

Re: Ώρα εφαπτομένης 66

Αφού αναρτήσετε την λύση σας , σε λίγο θα εμφανιστεί κι άλλη ! Και η Τριγωνομετρία εν είδει περιστεράς εβεβαίου του λόγου το ασφαλές. Ώρα εφαπτομένης 66.png Από την ισότητα των $DBS, DBA$ είναι $ \displaystyle BS = AB = \frac{{4a}}{5}$ . $ \displaystyle \eta \mu \theta = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{BC...
από Γιώργος Ρίζος
Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγιστοποίηση και ισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 217

Re: Μεγιστοποίηση και ισότητα

Καλησπέρα σε όλους. Αφήνοντας την προτεραιότητα στους μαθητές, ας προσθέσω κι ένα ακόμα ερώτημα. (Απο)δείξτε αυτό που δείχνει ο Θανάσης στο σχήμα: To S, σημείο τομής των CT, BP, είναι σημείο του (C, CD).
από Γιώργος Ρίζος
Σάβ Νοέμ 28, 2020 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Θέση ακροτάτου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 246

Re: Θέση ακροτάτου

Eυχαριστώ τον Κώστα για τη συμπλήρωση. Πράγματι, τα τελευταία χρόνια όταν ζητάμε ακρότατα (σε ασκήσεις στο σχολικό βιβλίο, αλλά και στις εξετάσεις), αναφερόμαστε στα τοπικά. Παλαιότερα δεν συνέβαινε αυτό. Συμπληρώνω τη μελέτη του θέματος: Αν $a>0$, τότε $f(x) = a\left| {2x - 1 - \left| {x - 2} \righ...
από Γιώργος Ρίζος
Σάβ Νοέμ 28, 2020 9:34 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Θέση ακροτάτου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 246

Re: Θέση ακροτάτου

Καλημέρα σε όλους. Στο ίδιο πνεύμα με τον Βασίλη . Δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσε να ζητά ο Θανάσης . Aν $a=0$, $f(x)=0$, σταθερή. Aν $a \ne0$, είναι $f(x) \ge 0$ με το ίσον όταν $2ax - a = \left| {ax - 2a} \right| : S$. $S \Rightarrow 3{a^2}{x^2} - 3{a^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\; \vee x = - 1$....
από Γιώργος Ρίζος
Τετ Νοέμ 25, 2020 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πείραμα σε κύκλους
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 160

Re: Πείραμα σε κύκλους

Kαλησπέρα σε όλους. Θα πάω απ' ευθείας στο "ζουμερό" ερώτημα (γ). 25-11-2020 Γεωμετρία.png Έστω $ \displaystyle \widehat {TSO} = \varphi $ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $TOS$ είναι $ \displaystyle \sigma \varphi \varphi = \frac{{{\rm T}S}}{R} \Leftrightarrow TS = R\sigma \varphi \varphi $ . Επίσης είναι $...
από Γιώργος Ρίζος
Παρ Νοέμ 20, 2020 11:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο άθροισμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 172

Re: Ελάχιστο άθροισμα

Καλησπέρα σε όλους. Ασφαλώς, τις παραπομπές θα τις δώσει ο Γιώργος . 20-11-2020 Γεωμετρία.jpg Έστω $ \displaystyle \widehat {{\rm O}{\rm M}{\rm N}} = \varphi ,\;\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ , οπότε $ \displaystyle {\rm O}{\rm M} = 4 + \sigma \varphi \varphi ,\;\;\;{\rm O}{\rm N} = 1 + 4\varepsilo...
από Γιώργος Ρίζος
Τετ Νοέμ 18, 2020 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 290

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

Και νικήτρια είναι η 3η (τριγωνομετρική λύση...) :lol: 18-11-2020 Γεωμετρία d.png $ \displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }} = \frac{4}{3},\;\;\;\varepsilon \varphi...
από Γιώργος Ρίζος
Τετ Νοέμ 18, 2020 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 290

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

Δεν βλέπω άμεση ανταπόκριση. Δίνω 2η λύση. Πιο κομψή δε νομίζω να βρεθεί. 18-11-2020 Γεωμετρία c.png Το $ADKE$ είναι τετράγωνο. Πράγματι, $ \displaystyle \widehat {BKC} = 90^\circ + \frac{{\widehat A}}{2} \Leftrightarrow \widehat A = 2 \cdot \widehat {BKC} - 180^\circ $ , αφού $K$ έγκεντρο του $ABC$...
από Γιώργος Ρίζος
Τετ Νοέμ 18, 2020 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 290

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

Αναρτώ τούτη τη λύση μήπως και είναι πιο κομψή η 3η.... :D 18-11-2020 Γεωμετρία b.png Έστω κύκλος $C: x^2+y^2=k^2, k>0$ και $B(-2k, -k), C(3k, -k)$. Έστω $ \displaystyle y + k = \lambda \left( {x + 2k} \right) \Leftrightarrow \lambda x - y + 2\lambda \kappa - \kappa = 0$ η εξίσωση της εφαπτομένης $e...
από Γιώργος Ρίζος
Τρί Νοέμ 17, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο εμβαδόν από παλιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 257

Re: Ελάχιστο εμβαδόν από παλιά

Καλησπέρα σε όλους. Η άσκηση παραμένει αναπάντητη , για ( περίπου ) 7 χρόνια ! Πιστεύω ότι ο Θανάσης κράτησε αυτήν την άσκηση για τούτην την μέρα (17 Νοέμβρη), σαν να μάς καλεί: "Τα έξι χρόνια είναι αρκετά, δώστε λύση να μη γίνουν επτά". Στο πνεύμα εκείνων των χρόνων (που δεν πολυχρησιμοποιούσαν παρ...
από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γιατί τέμνονται;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 135

Re: Γιατί τέμνονται;

Στο σχολικό μας βιβλίο στην εισαγωγή του κεφαλαίου "Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια" αναφέρει: Κάθε κυρτό τετράπλευρο $A B \Gamma \Delta$ έχει δύο διαγωνίους $A \Gamma$ και $B \Delta$, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους. Αποδείξτε το. Καλησπέρα. Επιχειρώ μια αιτιολόγηση βασισμένη στους ορισμούς ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση